PARTAGE DK LA FORGE VIVE VIBRATOIRE DES CORPS

Comme on a d'ailleurs

l'expression qui, multipliée par dxdydz, esl à intégrer dans l'équation (55), fff( )dxdydz = 0, prend la valeur

qui ne dépend plus que de r.

Pour intégrer celte expression multipliée par dçdydz et étendue au corps entier, on peut d'abord intégrer sur une couche sphérique dont lerayonesl r et dont l'épaisseur est(/r. Comme R Rt r a la mémo valeur pour, tous ses points, on obtient la valeur de l'intégrale pour toute cette même couche sphérique en multipliant R R. r2 par

son volume i-r' rfr. On a donc, en supprimant le facteur 4-, puis en ajoutant les intégrales relatives à toutes les couches sphériques, eleu tenant compté de l'équation (55).

(40 a) J,,' li«U<</'1"

(*)-En multipliant par le rayon vecteur r l'expression ^49 a) de p, p. 124, on a le déplacement moléculaire à la distance r du centre; et en différentiant le produit par rapport au temps t on a la vitesse à cette même distance /'. Si on l'appelle V, on obtient une expression qui peut être écrite

\=~—\ Ai cos (ki) — B k sin (A- t) n [ -5- ) •

Si, après avoir élevé cette expression au carré, on la multiplie par m. %cr%dr moitié de la masse de la couche sphérique d'épaisseur dr, qui est animée de la vitesse V, et si l'on intègre de r = 0 à r = a, on a la demi-force vive de la sphère entière. En l'appelant <i>, et en désignant par Tm le binôme entre parenthèses qui est une fonction de t seul, l'on aune expression

*=„» 2t; f ,*[¥, '{tyJ+^Mfafê) ». (*) •

le premier 2 comprenant tout ce qui vient des carrés des divers termes de l'expression de la vitesse V, et le second comprenant tout ce qui vient de leurs doubles produits ; de sorte que ce second z s'étend à toutes les combinaisons deux à deux dos indices inégaux n, n' de k. Or, la seconde des

Si, au lieu de Rn et de Rfc, on met leurs valeurs tirées de l'équation (47), Rk=Akçt(-ï), on trouve l'équation (49) du g 19, qui n'avait pas été démontrée.

g 21. — Les problèmes de l'équilibre des corps élastiques sont complètement déterminés.

De ce qui précède on peut, de la manière la plus simple, déduire une démonstration de ce fait général, que les problèmes concernant l'équilibre des corps élastiques sont entièrement déterminés, si les forces extérieures agissant tant sur l'intérieur du corps que sur sa surface, sont données.

Admettons, en effet, que le problème de l'équilibre comporte deux solutions différentes. Soit Tune de ces deux solutions représentée par les déplacements u, v, iv, l'autre par les déplacements iï, v\ w' . Écrivons les équations de condition du problème une première fois avec u, i>, w, une seconde fois avec u', v', w'. Soustrayons l'une de l'autre les équations correspondantes des deux systèmes, nous obtiendrons évidemment un système semblable dans lequel, à la place des variables u, v, w, se trouveront les différences u — u', v — v', w — w'. Mais les forces extérieures qui dans les deux systèmes étaient repré-

deux intégrales I est zéro d'après l'équation (49), qui a été démontrée au

J o § 19; * se réduit donc à la première de ses deux parties. Donc la demi-force vire due au mouvement vibratoire total, qui résulte de la superposition d'une infinité de mouvements vibratoires simples ou pendulaires, est égale, à chaque instant, à la nomme des demi-forces vives dues à ces mouvements vibratoires composants.

J'ai reconnu, en 1865-66, que ce théorème s'observe dans le mouvement vibratoire de solides de formes diverses, autres que la forme sphérique, et dont quelques-uns étaient réunis à des masses rigides, vibrant avec eux. Cela tient à ce que, pour tous, il y a une équation comme (49) ou (49 a) qui annule la somme des doubles produits des termes entrant dans la composition du carré de la vitesse résultante (Comptes rendus, 5 juillet 1865, p. 25, et 28 mai 1866, p. 195). Sur mon invitation, M. Félix Lucas en a cherché une démonstration générale qui a été insérée au tome XXII des Savants étrangers. (Voyez aussi un article : Partage de la force vive, etc., aux Comptes rendus, 2 et 9 décembre 1872, t. LXXV, p. 1425 et 1567.)

§21. — DÉTERMI>ATIO>T COMPLÈTE DES PROBLÈMES d'ÉLASUCTTÉ. 153

sentées identiquement par les mômes termes, auront complètement disparu par la soustraction. Ainsi

sont des déplacements qui peuvent se produire dans le corps sans qu'aucune force extérieure n'agisse ni sur l'intérieur, ni sur la surface. Il suffira de montrer que de tels déplacements sont nécessairement nuls pour avoir prouvé que

c'est-à-dire que les deux solutions admises n'en font qu'une et qu'il n'y a qu'un seul et unique état d'équilibre.

Admettons donc qu'aucune force extérieure ne soit appliquée au corps; alors, les déplacements qui peuvent s'y produire doivent satis-

faire aux mêmes équations (51) — mk uH=z--^ — h et (52),

t(";cos/J-h ==0, employées dans le § précédent. Seulement les

premiers membres des équations (51) doivent être remplacés par zéro (*) ; ou, en d'autres termes, nous aurons les équations convenables pour le cas qui nous occupe, si dans les équations du § précédent nous posons kn= 0. L'équation (54) mkni'=ffj , où F

représente le travail de déformation par unité de volume de l'élément dxdydz du corps, se réduit immédiatement à

F dxdydz = 0 .

D'après sa signification, on peut reconnaître que cette intégrale a toujours une valeur positive, quelles que soient les fonctions u, v, w. En effet cette intégrale exprime le travail extérieur nécessaire à la production de ces déplacements. Mais ce caractère de l'intégrale s'applique aussi, nécessairement, à la fonction F, attendu qu'on peut choisir le corps à volonté, et par conséquent le réduire à un espace infiniment petit pour lequel cette intégrale n'est autre chose que F

(*) Car ces premiers membres — mk^uu, — mJtnvn^m^nwn provenaient de ceux des équations de mouvement (30) m — -, m — , '"— T» ^Ul nexistent Pas dans les questions

dlT et dt

d'équilibre.

multiplié par le volume, et par conséquent, dans tous les cas, par une prandeuf positive; F est donc nécessairement positive.

Comme l'intégrale dont il s'agit est une somme de quantités positives, elle ne peut s'annuler qu'avec ces quantités elles-mêmes. Il faut donc que l'on ait, pour les déplacements en question, F = 0. Et comme F est une fonction essentiellement positive, cela ne peut arriver que si les termes dont elle se compose s'évanouissent tons ensemble, c'està-dire si on a, à la fois,

Considérons par exemple la fonction n. D'après la première équation, elle ne peut contenir x, de môme que v ne peut contenir y, ni

iv, z. De plus la dernière équation montre que — ne peut contenir y,

de sorte que u doit être linéaire en y. I/avant-dernière équation montre de même que u doit être linéaire en z. On peut faire un raisonnement analogue sur les fonctions v et w, et poser alors, a,b, c, a. (3, y étant des quantités constantes :

(Il

rX ~

(IV fil

< y + dx

a±iy-

Pr »

= c -+-px —

ocy .

Les coefficients de x,y, z dans les seconds membres ont dû être pris deux à deux égaux et de signes contraires pour satisfaire aux trois dernières équations (55). ,

Les équations (56) ne représentent rien autre cliose que les déplacements que pourrait prendre le corps s'il était considéré comme absolument rigide. On peut facilement s'en assurer. SiTen;effet^ des six constantes a, b, c, a,ß,y, on en fait disparaître cinq, en ne conservant que a, on a v = iv — (),u = a. Tous les points du corps sont donc déplacés, parallèlement aux x, de la distance a. De même b indique un déplacement du corps parallèlement à l'axe des ?/, et c un déplacement parallèle à l'axe des z. Si, au contraire, on ne laisse subsister que a, <>n a

» 0 . /' = ocZ , 10= — a y ;