DÉTERMINATION COMPLÈTE DES PROBLÈMES D'ÉLASTICITÉ

les points de l'axe des x pour lesquels ;=0, ,?y = 0, sont donc demeurés en repos; mais si nous considérons un point éloigné de l'axe des a? d'une dislance r, formant primitivement avec la direction des z un angle ?, et dont les coordonnées sont par conséquent

z = r cos y , y = v sin y .

et si nous donnons au corps une petite rotation a autour de l'axe des x, les coordonnées de ce point deviendront

z -+- w = r COS (y -f- a) , >/ -h r = r sin (y + a) ;

ou bien, si l'on suppose a très petit, de sorte que son sinus puisse être remplacé par a et son cosinus par i ,

Z -+- W == ?' (COS y — a sin y) ,

y+"ï = r (sin y H- a cos o) .

En retranchant respectivement les valeurs ci-dessus de z et de //, il reste

w = — ur sin y = — a// r =a)' COS a=«2.

Les déplacements trouvés ci-dessus correspondent donc à une petite rotation autour de l'axe des x. De même, ß et y représentent des rotations autour des axes des y et des z. Par conséquent les équations (56) n'indiquent pas autre chose que l'ensemble des déplacements que pourrait prendre le corps supposé rigide.

Il résulte de là que les problèmes de V équilibre des corps élastiques sont complètement déterminés lorsque Von ajoute, aux équations différentielles exprimant cet équilibre, autant de conditions qu'il en faut pour déterminer complètement la position d'un corps rigide.

Ces conditions sont les suivantes :

1° Qu'un point du corps demeure fixe, en sorte que, pour ce point, u, v, w disparaissent;

2° Qu'un élément de ligne mené par ce point conserve sa direction ;

5° Qu'un élément de surface, infiniment pe*it, passant par cet élément de ligne, conserve sa direction.

Avec ces conditions complémentaires, le problème se trouvera déterminé sans aucune ambiguïté.

La situation du système des coordonnés n'est déterminée que par

CHAI'. I. FOliMII.ES FONDAMENTALES.

des nombres finis, c'est-à-dire par des grandeurs vis-à-vis desquelles on néglige les petits déplacements ; c'est cette situation qui donne d'abord les éléments de détermination du problème, qu'on vient de rappeler. Si, après que les déplacements se sont produits, on les prend en considération, on devra apporter, dans ces éléments de détermination, de petites corrections qui seront données par ce qui précède. Ces corrections, à vrai dire, ne se rapportent qu'à la détermination du système des coordonnées, et il n'y a qu'une illusion dans l'apparence que le corps pourrait être un peu déplacé sans que l'équilibre cessât d'exister, ce qui, évidemment, est une absurdité. Ce n'est pas le corps, mais c'est la position du système de coordonnées par rapport au corps qui peut être un peu déplacée, sans que la forme des conditions d'équilibre cbangc le moins du monde; et c'est seulement cette circonstance qui est indiquée par l'arbitraire dont restent affectées les formules (56).

en wtiui; m