CORPS PRISMATIQUES OU CYLINDRIQUES EN GÉNÉRAL

g 22. — Équilibre des corps cylindriques ou prismatiques. — Problème de Saint-Venant (Da* de Saint-Venantsche Problem).

Les corps cylindriques ont dans les applications une telle importance que Ton comprend que l'on ait cherché à établir d'une manière complète la théorie des déformations de ces corps. C'est aux recherches de M. de Saint-Venant que l'on est redevable d'une connaissance plus approfondie des phénomènes qu'ils présentent (*). Partant de points de vue qui lui sont particuliers, de Saint- Venant a appris à connaître une série d'états d'équilibre de corps en général et de corps prismatiques en particulier. Il va être donné plus loin un exposé de ses travaux, modifié dans les points principaux qui ont rapport à l'objet que nou& avons en vue.

Considérons un corps cylindrique ou prismatique de section quelconque, et d'une substance homogène qui soit, comme nous avons dit à la fin du § 5, d'égale contexture dans les divers sens transversaux ou perpendiculaires aux arêtes de sa surface et pouvant, du reste, offrir une contexture et des résistances différentes dans le sens longitudinal

(*) Mémoire sur la torsion des prismes, au tome XVI (1855) des Savants étrangers. Mémoire sur la flexion des prismes, au Journal de Liouville, 2e série, t. I (1856). (Note de Clebsch).

Ces deux Mémoires ont été lus à l'Académie, l'un le 13 juin 1853 (torsion), l'autre le 20 juillet 1855 (flexion). Un premier extrait de celui-ci avait paru le 20 novembre 1854 aux Comptes rendus des séances, t. XXXIX, p. 1027. Voyez au même recueil, t. XXXVI, p. 1028 et t. XLI, p. 145. Voyez encore le lumineux rapport de M. Lamé, 26 décembre 1853, t. XXXVII, p. 984, et aussi îa troisième édition, annotée (1864), du llétumé des Leçons de Navier sur l'application de la mécanique à l'établissement des constructions et des machines.

ou parallèle aux mêmes arêtes (*). Conformément aux conditions rappelées à la fin du § précédent, supposons le corps fixé de telle manière que dans l'une des deux bases ou sections transversales qui le limitent, un point, un élément de ligne et un élément de surface soient assujettis à conserver des positions données. Prenons l'axe des z parallèle aux arêtes du cylindre, de manière que les sections transversales soient primitivement parallèles au plan des xy: prenons pour origine le point de la base ou section extrême dont on vient de parler, qui doit rester fixe; et prenons, pour axe des x, la direction de l'élément de ligne dont la position est également invariable; l'élément de surface de la même base, voisin de l'origine, devra encore, après le déplacement, se trouver dans le plan xy. D'après cette hypothèse on voit que

pour x = Q, y = 0, z = 0,

on doit avoir u = 0, v = 0, w = 0.

Si dans cette section extrême, qui forme. le plan des xy, nous considérons un point voisin de l'origine et ayant pour coordonnées dx, dy, ses déplacements seront exprimés, les indices 0 signifiant des quantités particularisées pour 2 = 0, par

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