FONCTIONS ARBITRAIRES A DÉTERMINER

tion

(62 reproduite) 0 = trz cos /> -h t//; sin p,

on obtient les équations qui peuvent servir à la détermination de la fonction Q. Cette fonction doit satisfaire, pour tous les points du corps prismatique, à l'équation donnée tout à l'heure

t "il < il

Ja? + JJ-

et, sur la surface latérale de ce corps, ou, ce qui revient au même, sur le contour de ses sections transversales, à l'équation suivante, déduite de celle (62) de la fin du § 22, p. 142, que l'on vient de reproduire, et où nous mettons pour t , t , leurs valeurs (65) :

0=cos/> / — ~bx -h b0y — b[

+ sin /> — ^ bij — b0x — b.

24. — Sur les fonctions arbitraires à déterminer pour la solution du problème dit de Saint-Venant.

On peut démontrer facilement que les équations (60) et (67) suffisent pour déterminer complètement et sans ambiguïté la fonction appelée Q. Cette démonstration se fait par une méthode fort en usage dans la physique mathématique, et qui est analogue à celle que l'on a employée au § 21 pour prouver la détermination des problèmes de l'équilibre d'élasticité en général.

Considérons que, s'il y avait deux fonctions différentes Q qui satisfissent à la fois aux équations (66) et (67), leur différence 0 devrait, d'après ces deux équations, satisfaire aux deux suivantes :

-.„!„. =0, entons les points des sections transversales du corps. \dx- chi-

-TT- cos » -f- 7^— sin p = 0, a leur contour ou périphérie. ex r nj

Si maintenant on considère l'intégrale

iimHwi^

152 ciiAp. h. — conrs cylindriques en général.

étendue à une section entière, et si on effectue par parties l'intégration dans son second membre, comme on a fait au § 16 pour l'intégrale SV, on obtient :

JJ (Ê ) ' ''"'" = / [(• È), - (a ë)J ''» - Ü*e K? •'■"'* i

Les indices 2 et 1, dans la première, répondent aux valeurs que prend

[Q-cj- ) aux deux extrémités d'une bande de largeur dy prise dans la

surface de la section parallèlement à l'axe des a?, bande le long de

laquelle la première équation est intégrée par rapport à x. La seconde

équation, au contraire, est intégrée par rapport à y, c'est-à-dire le long

d'une bande de largeur dx parallèle à l'axe des y, et les indices (2)

/ f(-)\ et (1) indiquent les valeurs prises par I 6^— ) aux points extrêmes de

cette bande.

Si maintenant on représente pards2, ds^ les éléments de la périphérie de la section qui sont interceptés parla première bande, et si on désigne par j92, pn les angles formés avec l'axe des x par les normales à celte périphérie, dirigées vers l'extérieur de la section, on a

(k,2 cos p.2 = dy , dSi cos pt = — dy,

et par conséquent. :

cette intégrale devant être étendue à tous les éléments de la périphérie de la section. On a, absolument de la môme manière :

Si Ton introduit ces valeurs dans les équations ci-dessus, et si on les additionne, on obtient :

/' /;,-) ;<-' • \j ce ('< '<-> ; '«■» \ i i

J = (-) -— cos l) -h — Slll i) <h — / (-) - — ■ -f- -. — ■ d.rdii.

A cause des équations (68), page 151 , les deux expressions placées sous

s< 24. — FONCTIONS ARBITRAIRES A DÉTERMINER. 155

les signes d'intégration sont nulles ; on a par conséquent :

et comme J est une somme de grandeurs posilives, celte condition entraîne forcément l'annulation de chacun des termes isolés de J, c'est-àdire

0 ne peut ainsi contenir ni x ni y. c'est par conséquent une constante. On voit donc que les équations (68) admettent, à la vérité, diverses solutions, mais qui ne diffèrent les unes des antres que par l'addition de constantes arbitraires.

En introduisant la condition que Q s'annule pour un certain poinl, p.ir exemple, pour a?=0, // = 0, on déterminera celte dernière constante, de sorte que la fonction û elle-même se trouvera exprimée sans aucune indétermination. On peut toujours faire cette hypothèse sans porter atteinte à la généralité de la solution, car, en passant de F à Q, on a déjà introduit une constante additionnelle c. Si donc l'on désigne d'une manière trop spéciale ou trop restreinte la valeur de Q, en posant que, pour un certain point (# = 0, ï/=0),Qdoit s'annuler, cette restriction se trouve compensée par l'introduction de la constante arbitraire c qui figure à l'équation ci-dessus (64e),F = Q — (••-•) + c — b'x — b"y, et qu'on retrouve dans la 5e des expressions (65).

La fonction Q se trouvant maintenant tout à fait déterminée, grâce à l'adjonction de cette nouvelle condition, on peut considérer toute forme qu'on peut lui donner comme étant sa forme nécessaire (so fort als die nothwendige betrachten), pourvu qu'elle satisfasse à l'équation (66) indéfinie ou relative à tous les points, ainsi qu'à l'équation (67) définie ou relative aux seuls points des contours des sections; ce qui exige qu'elle contienne les constantes b, bo, b{, b%, figurant dans celle-ci. On obtient cette forme, si l'on pose

(68 a) a = bB-hb0B0-hblBl-hb.2B.î, fl

B, B ,B , B^ étant quatre fonctions de a; et de y astreintes à ce que les équations (66), (67), soient satisfaites par ce quadrinôme mis à la place de Q pour toutes les valeurs des nombres b, 6 , 6 , b t. Ces nombres, qui se

(') Ceci se trouvera, plus loin, complètement éclairci. Le partage que l'auteur tait de Q. en quatre termes vient de ce qu'il s'est proposé de comprendre, dans une même solution, comme nous avons déjà dit, sauf à les distinguer ensuite, les quatre cas d'extension, de flexion en deux sens, et de torsion.

trouvaient nécessairement dans Q, puisqu'ils figurent dans (67), ne se trouvent plus dans les fonctions B, Bo, Bt, ß2, et, par conséquent : 1° l'équation (66) se divise en quatre équations distinctes qui sont les suivantes :

. c'-b mu o=— + -on

ex- ( ;/ï% c*B0

2° l'équation (67) se divise de même en quatre équations dont chacune contient seulement une des fonctions inconnues B et qui s'obtiennent en ne conservant successivement qu'un seul des coefficients b, b , b .b , et en annulant les autres; ce sont :

r p Ci D E1

s-cosp-h-zp sin/j=^(a:cos^-t-//sin/j), (*)

ex v y iu

c'Bq , c B0 .

-ç-z cosp -\- ~ sin;> = x sin;j — y cos p ,

fßt ^ . r .r2 /E 5 \ 1

Chaque couple d'une équation (69) et d'une équation (70) détermine complètement la fonction B correspondante, de même que Q a été, ci-dessus, reconnu complètement déterminé, à la condition d'admettre que, pour x = 0, y = (K ces fonctions s'évanouissent. Or, on peut conclure déjà, de ces équations, que b doit être nul, par la raison que l'équation (69) et l'équation (70) qui contiennent B sont incompatibles. Pour démontrer cela, prenons l'expression

ru ê>*B\

(In

(*) On verra au $ 33 une interprétation des premiers membres de ces quatre équations. Ge Mint, comme le montre l'auteur, des quotiens différentiels des fondions li par rapport à une coordonnée normale à la périphérie de la section transversale du prisme ou cylindre élastique.

^ '2'f. — FONCTIONS ARBITRAIRES a DÉTERMINER. 155

où (h désigne un élément superficiel de la section transversale, et où l'intégration doit rire étendue à toute cette section, et prouvons que celte intégrale est nécessairement égale à zéro. A cet effet, posons dz = <Ixdy, puis intégrons le premier terme sur une bande parallèle à l'axe des.?;, dont les points extrêmes sont, comme tout à l'heure, désignés par les indices inférieurs 1, 2, et le second lerme sur une bande parallèle à l'axe des y, dont les points extrêmes sont désignés par les indices supérieurs (1), (2), nous obtenons ainsi

D'après ce qu'on a dit plus haut, on peut remplacer ce second membre par une intégrale pour le contour, et poser

C l'oB cB . , .

0 — / — cos /> H- — sin v a» .

ou, ce qui revient au même, en vertu de la première équation (70) , 0 = / (x cos p -+- y sin p) <h .

//CD r p \

( f— cosp-f- ^— s'mp )ds

comme provenant de celle

rr {PB 9*B\ . A

et la dernière, 0 = f (x cos p ■+- y sin p) ds , comme provenant de celle

traitée aussi comme nous avons fait ci-dessus.

Mais Iffdz donne le double de la surface z de la section, et il est impossible qu'elle s'annule. La fonction B est donc elle-même impossible (unmögleiche) : or, l'équation (69) et l'équation (70) qui contiennent B sont celles qu'on a tirées de (60) et (07) en ne conservant

156 CHAP. II. — CORrS CYLINDRIQUES EN GÉNÉRAL.

que le coefficient h. Donc on doit avoir nécessairement

Les considérations précédentes sont d'une grande importance parce qu'elles montrent qu'en général les solutions (65) ne contiennent que les constantes

a, ax, a2 , a! , a" , a0 , \ , b% , b' , b" , &0 » c,

et toutes d'une manière linéaire. On voit aussi qu'elles ne contiennent rien d'arbitraire, car la fonction Ü s'est résolue en une expression linéaire par rapport à ces constantes ; expression dont les coefficients sont des fonctions complètement déterminées pour chaque section transversale.

Les douze constantes ci-dessus se réduisent même à six, en introduisant les conditions des équations (57) du § 22, p. 139, qui expriment que l'une des extrémités est fixe:

«.= 0, v = 0, ?u = 0,-êr- = 0, 77- = 0, -ë)-=0, pour.r=0,y = 0,z = 0.

o x o x oy

Si l'on égale à zéro les valeurs des déplacements du point dont les coordonnées sont x = 0, y = 0, z = 0 , on obtient les équations suivants :

Quatre de ces constantes s'évanouissent donc, et les deux équations (71)

(*) On aurait pu faire 6 = 0 dès le commencement, si l'on avait, en posant (65 a) °—- = a-\-aix-\-a.2y-{-zlb-\- b{ x -+- b.,y\, placé de suite, sur chaque section, l'origine des

Pu> x, y, à son centre de gravité : car en multipliant par E^/t cette expression de -^— et intégrant

pour toute l'étendue de la section, on a f \. du = (a-h bz)<7, résultante des forces longitudinales, qui doit être indépendante de s, puisque les forces extérieures sont supposées n'agir qu'aux extrémités de la tige : d'où 6 = 0.

Lorsqu'il y a flexion et que l'origine des x, y, est placée en un autre point, en sorte que a, 6, soient les coordonnées x,y,da centre de gravité, b n'est nul qu'autant qu'on a l'\ * + /',e =0, OU que l'origine en question est l'un des points d'une certaine droite passant par ce centre.

<$ kJ5. — DISCUSSION GÉNÉRALE DK LA SOLUTION. 157

que nous venons d'écrire montrent que, puisque L> est fonction linéaire de b,b,b, les deux dernières constantes b' et b" s'expriment au moyen des trois autres. Il ne reste donc plus, dans le calcul, que six constantes arbilraires

b0 , bt , b% , a , rt, , u., .

Les valeurs des tensions données dans (65) ne sont aucunement modifiées par là, sauf que b doit être effacé de la seconde parenthèse de t . Mais les déplacements n, v, w, se simplifient, et l'on a les expres-

sions suivantes où les indices 0 mis à ( y— et à — signifient que,

dans ces fonctions, il faut faire x = 0, */ = 0 :

ii = — n lax -+- a, ^ !/ -4- a?ry ) — t)z l bt ^ !l + b% ty )

y1 — -1 , „ ,.,\ nJu y1-

v=—f)lay-t-a9 9 * -+- a.xyj — r)z(K fc> ' - 4- />,r;/ /»ON * ' *

— fr^S 4- * I 7S- ) — «2 Q — »2 fi ;

\v y / o -• v «;= 2 (a -h arc + a,//) -h ^ ( //rr H- &#)

— (sG — •)) (W + 6^2) + û - * ( Yx )0

g 25. — Discussion de la solution. Vues générales. — Division des déplacements en trois groupes indépendants. — Premier groupe : Extensions.

Les équations (72), qui donnent la solution du problème, renferment encore six constantes arbitraires, a, aj, «a, &0, b±f &s, qui s'y trouvent engagées d'une manière linéaire. Si on conserve successivement chacune d'elles en annulant les cinq autres, les déplacements u, w, w, se trouvent déterminés, à un facteur constant près, qui est la sixième constante conservée. Ces équations déterminent donc la nature diverse de déplacements pouvant exister ensemble, mais non leurs grandeurs, qui dépendent des valeurs attribuées à ces six constantes. On peut ainsi considérer les déplacements généraux ou totaux donnés par les

équations (72) comme résultant de six déplacements simultanés indépendants, tels que la nature de chacun soit complètement déterminée, mais que sa grandeur absolue reste arbitraire; de sorte que, par une modification des rapports mutuels de ces six déplacements fondamentaux ou composants, on puisse obtenir les déplacements les plus

variés.

On peut facilement se rendre compte de la signification ou de la nature de ces six déplacements fondamentaux. Il n'est pas nécessaire, pour cela, de les considérer isolément tous les six ; il suffit, comme on le verra, d'en considérer quatre groupes ; et même, comme deux de ces groupes conduisent a des résultats tout à fait analogues, le nombre des groupes réellement, différents à examiner se réduit à trois. Nous allons les étudier successivement, mais, auparavant, il est nécessaire de présenter les remarques suivantes.

Lorsque des déplacements quelconques se sont produits dans la tio-e, il y a deux questions géométriques qui attirent particulièrement l'attention : c'est la détermination de la courbe affectée par une fibre qui, primitivement, était parallèle à l'axe des z, et la détermination de la forme d'une section transversale qui, primitivement, constituait un plan perpendiculaire à ce même axe.

Considérons un point qui, originairement, appartenait à la libre (x, y). Après le déplacement, ses coordonnées seront :

X — X -4- Il

(73) y' = y^rv

Dans ces équations, x et y doivent être considérées comme des constantes tout le long de la fibre en question; et z, au contraire, comme une variable. Si donc on élimine z entre les trois équations (75) où l'on ait mis pour m, vrw, leurs valeurs (72), on obtient entre x', y\ :•', deux équations qui représentent la courbe en laquelle s'est transformée la fibre primitivement rectiligne que l'on considère. Cette élimination s'opère facilement, car, u, «, w, étant de très petites grandeurs, on ne commet qu'une erreur d'ordre supérieur en remplaçant, dans u et y, 2 par z', qui en diffère très peu. Si on désigne par u\ v', les valeurs de u et de v après cette substitution de z' à :, les équations

sont, en x\ y', z', les équations de la courbe affectée par la fibre, puis-

§ 25. — discüssiob générale et division dk la solution*. 159

qu'elles ne contiennent plus la coordonée : que la troisième équation (73) n'aura servi qu'à faire remplacer par a'.

Au contraire, pour une section transversale primitivement plane, 2 est constant. Si donc on veut, au moyen des équations (75), obtenir l'équation de la surface en laquelle se transforme, après le déplacement, cette section transversale, il faut, dans ces (7ô), considérer :■ comme constant, et éliminer x et y. L'équation résultante en x', y', z'. sera celle de la surface cherchée. Cette élimination se fait de la même manière qu'on vient de voir pour l'élimination de ;. Il suffit de remarquer que. si dans w on remplace x et y para?' et y', qui en diffèrent très peu d'après les deux premières i7ô), on ne commet qu'une erreur d'ordre supérieur ; de sorte qu'en désignant par w' la valeur de w que donne la troisième) 7*2 1 après cette substitution dex', y', à x, */, l'équation

(75) zf—z-hv/

ne contient plus x ni y : elle est donc, en x', y', z', l'équation de la section transeersale déplacée ou déformée.

Nous pouvons maintenant appliquer ces considérations à l'étude des déplacements fondamentaux isolés.

1er Groupe. — Le premier groupe de ces déplacements s'obtient en annulant toutes les constantes, excepté a. Il reste alors

(75 bis)

Ces déplacements donnent V extension simple. Cbaque fibre, dans la direction de l'axe longitudinal, s'est allongée de az, c'est-à-dire dans le rapport de 1 à (\ + a). Par contre, ses dimensions transversales sont diminuées dans le rapport de 1 : (1 — na). La tige entière supporte une tension uniforme dans la direction longitudinale; toutes les fibres sont demeurées rectilignes. et toutes les sections transversales sont demeurées planes (*).

(*) Vous connaissions déjà ce résultat par le § 2.

11 peut être étendu au cas où la contexture, au lieu d'être la même dans tous les sens transversaux, serait simplement symétrique par rapport aux sections transversales ou aux plans parallèles aux x, y, ce qui est le cas des formules de tensions [f bis) du n° 13 de la Vote du g 16, p. 76.

Seulement, dans les valeurs (75 bis) de u, v, il faudra donner deux valeurs différentes au coefficient numérique rj qui les affecte. Mais il est rare qu'on ait besoin de calculer ces déplacements ou ces contractions de sens transversal dans les problèmes d'extension ou compression simple.

?/= t)(LC ,

v= — t)at/,

lös= az ;