C. = Ert

g 26. — Suite de la discussion. — Deuxième groupe : Flexion.

2e Groupe. — Annulons maintenant toutes les constantes des équations (72). p. 157, employées pour les déplacements, et (05), p. 150, pour les tensions, en exceptant de cette annulation les constantes a, et br II reste, eu égard à ce qu'on a d'après l'équation (68 a), il = b{ B{ lorsque b, b0, è2, sont nuls :

nu-— y

-'il

ex /0J

v=— ï)xy{ai + byz) -+-zbt -^-

t„ = Ex(ai-hbli

Le caractère général de l'état désigné par ces formules est celui de la flexion. Remarquons que d'après les équations (74), x = x -+- u', ;/ = y -h v', et d'après ce que nous avons dit de la substitution à faire de z' à z, la courbe affectée par une fibre après le déplacement est représentée par les équations :

ni'' — .'/'>-+- s'"

y' =u- yxy (ai+MO+^i (je \t •

..,■>■'—!/'- .Wy

dans lesquelles x et y non/ des constantes représentant les coordonnées delà fibre dans son étal primitif, el ./•'. //', z', les coordonnées d'un point quelconque de la fibre déplacée et déformée.

La seconde équation, qui ne contient pas x' el qui est du premier degré en ?/, z', représente un plan parallèle à L'axe des x : chaque fibre, originairement rectiligne, devient donc une courbe plane dont le plan est parallèle à l'axe des #. Cette courbe, d'après la première équation en r'et en :•'. est une parabole du 5e degré; et, lorsque b, est égal à

§ 26. — FLEXION. — COURKU11E DES FIHRES. ICI

zéro, une parabole du 2e degré. Mais même lorsque bl est différent de zéro, la parabole du 3e degré, 'pour les faibles flexions, ne s'écarte de celle du 2e degré, ou même d'un arc de cercle, que de petites quantités d'ordre supérieur.

Il y a, en particulier, des fibres dont le plan reste, après le déplacement, parallèle à Taxe des i. Ce sont celles pour lesquelles la valeur de y' , donnée par la seconde des équations ci-dessus, devient indépendante de »', c'est-à-dire celles pour lesquelles :

car. on a alors :

(75a') y' = ,j{[—y).,;al) .

L'équation ci-dessus, considérée comme en x et y, représente une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont les axes des x et des y. Les fibres qui satisfont à celte condition (de rester dans un plan parallèle aux z), rencontraient donc, dans leur position primitive, les plans de chacune des sections transversales en des points appartenant à cette hyperbole équilatère.

La grandeur de la llexion peut se déterminer par la quantité dont l'extrémité de la fibre [x = 0, y = 0) se trouve déplacée. La valeur correspondante de?«, pour z = l, devient :

*' = -2'--H6~fe)o-

et peut, conformément à la désignation usuelle, recevoir le nom de (lèche delà flexion, de même que le plan xz dans lequel se maintient cette libre peut s'appeler plan de flexion.

Les sections transversales, d'abord planes, sont courbes après le déplacement, et leur forme, d'après (75 a) est donnée par l'équation

Dans cette équation, B\, conformément aux notations ci-dessus, désigne la valeur que prend la fonction Bt lorsque l'on y remplace x et y par x' et y'. On voit que l'équation de la surface courbe affectée par la section transversale dépend de Blt par conséquent de la forme de la périphérie de cette -section (voyez plus loin). On voit aussi que les

formes des diverses sections transversales devenues courbes ne sont pas toutes les mêmes (*).

Les plans tangents à ces surfaces, aux points qui, originairement, appartenaient à l'axe des z, ne sont pas non plus parallèles au plan xy, c'est-à-dire à la direction du plan de la section transversale primitive. Pour le démontrer, supposons x et y très pciits, et développons, au moyen du théorème de Taylor, par la série connue qu'on en déduit avec Mac-Laurin, la fonction B{ qui doit s'annuler pour x=zO, y = 0, nous aurons :