FLEXION. — COURBURE DE* SECTIONS TRANSVERSALES

La normale à celte courbe plane l'orme avec l'axe des ./-• un angle a dont la valeur est donnée par

tang« = — -r-Falz-+-bl

De sorte qu'entre la direction du plan tangent, c'est-à-dire de l'élément (x = 0, y = 0) de la section transversale et la direclion de la normale à cette fibre, il y a un angle a — a dont la valeur, en tenant compte de ce que * et % sont très petits, est exprimée par

et est, par conséquent, indépendante de z.

On voit que la théorie usuelle de la flexion, qui suppose que les sections transversales restent normales aux fibres, est inexacte.'

Les libres situées dans le plan yz, c'est-à-dire dans le plan mené, par l'axe :-, perpendiculairement au plan de flexion oez, ne subissent ni extension ni compression; car, pour a: = 0, la valeur de t devient nulle. Si (ax ~\- by :•) ne change pas de signe dans toute la longueur de la tige, il y a contraction pour les fibres situées d'un côté de ce plan (*), et dilatation pour celles qui sont situées de l'autre côté. Si au contraire, pour une certaine valeur de z, la grandeur (a, -h btz) s'évanouit, ce qui annule en même temps t , il existe une section transversale, définie par cette valeur de~-, à travers laquelle les fibres n'éprouvent ni contraction ni extension (**) ; et le plan de cette section transversale, avec le plan yz d'extensions et de contractions nulles, par-

O Ce plan, qui coupe longitudinalemenl le prisme, est le plan appelé neutre, ou den fibres invariables, dans la théorie ordinaire qui, comme le montre l'auteur au i- 38, concorde en quelques points avec la théorie ici exposée, où tout est exact, sous la condition que les forces appliquées aux bases soient distribuées de la manière qu'on verra, telle qu'on ait t =0. t =0. t =0 partout.

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(**) C'est une section à travers laquelle la libre moyenne, ou ligne des centres de gravité, devenue courbe, a un point d'inflexion. C'est la section même ou base de l'extrémité libre de la tige, si les forces qui font fléchir sont appliquées à cette extrémité, forces qui, pour l'exactitude de la solution, ou pour l'accomplissement rigoureux des conditions

t =0, t =0, t =0 partout, ont besoin de n'être appliquées qu'aux points de cette xr il il xi/ r . .

section et dans son plan, avec des intensités se distribuant sur ses divers éléments, d'une certaine manière que déterminent les valeurs de t . t comme l'auteur va le dire.

On peut consulter, à ce sujet, mon mémoire sur la flexion, inséré au Journal de Lion* ville en 1856, déjà cité, ou bien les notes et appendices cités aussi, de l'édition de 1864 des Leçons de Kavier.

tagent le corps en quatre parties (*) dans lesquelles, alternativement, il y a contraction et extension. Les points dans lesquels l'extension est d'égale intensité sont situés sur des surfaces cylindriques hyperboliques représentées par l'équaliori

t = Er (a, -f- b,z) = constante ,

et qui ont pour asymptotes les deux plaiïs de non-extension (**).

Pour qu'il se produise des déplacements conformes à ceux qui viennent d'être décrits et calculés, il faut que l'extrémité libre de la tige cylindrique soit soumise à des forces qui, en chaque point de la base ou section transversale extrême, aient leurs composantes suivant les x, i/, 2, égale aux valeurs données (formule 75 a) pour t , t , t par unité superficielle des éléments. La répartition des forces t agissant dans le sens longitudinal s'obtient facilement. En effet, on peut observer que, d'après la dernière formule (75 a), t^ est proportionnel à x; si donc, aux divers points de la base ou section transversale extrême, on mène des lignes parallèles à la direction de ces forces, c'est-à-dire à l'axe des 2, et proportionnelles à leurs intensités, les extrémités de toutes ces lignes constitueront un plan parallèle à l'axe des y, et qui coupera la section suivant une droite parallèle à ce même axe. La répartition des forces t , et t , dont les expressions contiennent la fonction fît, dépend de la forme du contour des sections transversales. Il sera question plus loin de ces forces, dont la première, surtout, a une influence essentielle sur la nature de la flexion. Si, au lieu de conserveries constantes a±, b±, on avait conservé seulement a , b , on aurait obtenu des phénomènes tout à fait analogues, à cela près que le plan yz aurait été le plan de llexion au lieu du plan xz. C'est ce qu'on reconnaît facilement en observant que les formules qui expriment w, v, w sont symétriquement construites par rapport à x et à y et par rapport aux constantes a{, ^ d'une part, «2, \ de l'autre (***).

(') Ou, évidemment en deux parties seulement, si la tige, comme il arrive d'ordinaire,

se termine là.

(•) Ce sont les cylindres hyperboliques dont il ne faut pas confondre les bases ou coupes par des plans parallèlesaus xz,ou au plan de flexion, avec les hyperboles (équation 75a') ,l 'égal déplacement transversal y' — y, et qui, tracées sur les sections, ont pour asymptotes leurs deux axes principaux, cm des parallèles aux x et aux y.

Ces deux sortes d'hyperboles, la seconde surtout, me paraissent, au reste, peu intéressantes .i cor idérer; il n'en est jamais question dans les problèmes de pratique.

("•) C'est à cause de cela que l'auteur a dit, au commencement du § 25, que deux des quatre groupes de déplacements fondamentaux peuvent être regardés comme n'en faisant

\ 27. TORSION. — FORMES AFFECTÉES l'Ait LES FIBRES. 165

\ 27. — Suite de la discussion. — Torsion. — Théorème général

sur les tensions.

5e groupe. — Il n'y a donc plus à examiner que les états représentés par les termes qu'affecte la constante bn. En la conservant seule, les expressions (72) p. 157 pour les déplacements u, v, w, et (65) p. 150 pour les tensions t__, t( , t \, eu égard à ce que (('»8 a), p. 155, se réduit alors à il = bQ BQ, deviennent :

(75,, ,=-,v[,(^)o] . lvs=a„(,^),

Ces formules, qui expriment la Torsion, sont, après celles qui expriment l'extension simple, les moins compliquées. Le cylindre n'éprouve, suivant sa direction longitudinale, aucune traction, puisque t = 0. L'état exprimé par les formules se trouve produit uniquement par des forces agissant sur la section transversale extrême, parallèlement à la surface de cette section. Les équations (74) des courbes affectées par les fibres après les déplacements sont les suivantes où,

qu'un : ce sont ceux des déplacements venant de flexions dans deux sens transversaux perpendiculaires entre eux.

On voit aussi que le coefficient i) de contraction transversale n'entre point dans la dernière équation (75 a), t = Ex (at-î- btz). Comme c'est la seule de ces équations qui serve à la solution des problèmes pratiques de flexion, la théorie qui va amené s'étend à des tiges dont la cou texture est symétrique seulement par rapport à leurs sections transversales, et peut être différente dans les diverses directions latérales.

;') Dans le livre de Clebsch, au lieu de G il y a — . On a vu, à la fin du § 1, que ces

deux quantités sont égales dans les corps isotropes ou d'égale contexture en tous sens, les seuls que Clebsch ait considérés. Nous avons dit, à plusieurs reprises, et déj;) à notre Avertissement, que la matière des tiges, c'est-à-dire des pièces de bois ou de métal, pouvait bien être regardée comme d'élasticités peu différentes dans les sens transversaux; mais, ainsi qu'on a vu surtout à la fin de la grande Note du § 16, que l'élasticité longitudinale en différait énormément pour l'ordinaire. C'est pourquoi nous avons constamment regardé le coefficient G d'élasticité de glissement comme ayant une grandeur indépendante de celles de

E et de r). C'est ce qu'il importait surtout, de mettre en évidence quand il s'agit de la

torsion; nous avons donc dû mettre ici G à la place de t— , et, dans diverses éouations

ci-dessus, affecter certains termes de Lyjr — f)\ qui n'est égal à 1 que pour une tige

isotrope.

166 CHAP. il. — CORPS CYLINDRIQUES l'.N GÉNÉRAI,.

comme nous avons dit, x\ y\ z' représentent les coordonnées de leurs points, et où x, y, coordonnées transversales primitives de points de chaque fibre, doivent être regardées comme des constantes :

Parmi toutes les fibres, il y en a une qui a conservé exactement sa position initiale, c'est celle qui est définie par les coordonnées primitives

Après les déplacements, toutes les autres fibres affectent la forme de lignes droites inclinées (*), caries équations (76) sont du premier degré en x', y\ z'. La position de ces lignes est déterminée, d'une pari, parce que les points de la section transversale extrême, qui n'est pas libre, ne sont pas, en général, déplacés dans le plan de cette section, puisque u et v s'annulent avec z. D'autre part, on peut voir que toutes les fibres originairement placées sur la surface d'un même cylindre circulaire, ayant son axe parallèle aux z, forment, après les déplacements des points, une liyperboloïde à une nappe. C'est ce que l'on démontre très facilement, si l'on prend l'équation suivante d'un pareil cylindre formé par des fibres dans leur position primitive

et si, dans cette équation, où a et ß sont les coordonnées transversales quelconques de l'axe de ce cylindre, de rayon r aussi quelconque, on met à la place de x, y leurs valeurs en x', y'. Ces valeurs se tirent simplement des équations (76) en négligeant les quantités d'ordre supérieur, car on peut alors, dans les derniers termes de ces deux équations, remplacer x et // par a.', y', ce qui donne :

(') Cela est vrai de leurs éléments, ou de leurs tangentes prolongées; mais la suite de ces éléments, pour chaque libre, forme une liélicc.