TORSION. — COURBURE DES FIBRES ET DES SECTIONS

Introduisant ces valeurs de x et de y dans l'équation (78) du cylindre formé de fibres du solide élastique, et négligeant de nouveau les termes d'ordre supérieur, savoir ceux qui viendraient des carrés des seconds termes de ces mômes valeurs de x et de y, on a, pour l'équation de la surface en laquelle le cylindre primitif s'est transformé :

..)»+(y-«--^|^-^+(^-.)(^)+.ûr-B(^)ij

Les termes du troisième ordre ayant disparu, cette équation est celle d une surface du second ordre. C'est l'équation de l'hyperboloïde dont il s'agit, qui a son centre dans la section extrême non libre, et au point où cette section extrême est rencontrée par l'axe du cylindre (78); car si l'on pose :

■r' — oc =;Ç , y' — ß = y ,

l'hyperboloïde se trouve rapporté à son centre, et son équation devient :

où les termes du premier degré ont complètement disparu. Cet hypcrboloïde a toujours deux génératrices parallèles à l'axe du cylindre (78) qui l'a engendré, car si l'on pose les deux équations suivantes :

— (tkt)

dont la première n'est autre chose que l'équation du cylindre, et dont la seconde représente un plan passant par son axe, les valeurs de £ et de rj qui satisfont à ces deux équations satisfont aussi à l'équation de l'hyperboloïde ; d'où il suit que les deux génératrices de ee cylindre, suivant lesquelles il est coupé par le plan, et qui sont parallèles à l'axe des z, se trouvent tout entières sur l'hyperboloïde.

Enfin, si l'axe du cylindre (78) coïncide avec la fibre immobile (77) mentionnée ci-dessus, c'est-à-dire si (formule 77) L'on a

l'hyperboloïde se confond avec le cylindre lui-même, à des grandeurs

d'ordre supérieur près. Dans ce cas, chaque génératrice du cylindre est seulement un peu déplacée dans le plan langent qui lui correspond, mais ne sort pas de ce plan, si on néglige les grandeurs d'ordre supérieur de petilesse (*).

On a vu au g 21 qu'une petite rotation d'un corps autour de l'axe des z, si a représente l'angle de celte rotation, est définie par les déplacements :

11 = otl/ , l> = — y.r .

Cela concorde rigoureusement avec les formules ci-dessus, si au lieu de prendre comme axe de rotation l'axe des z qui est une parallèle quelconque aux arêtes du cylindre, l'on prend la droite immobile (77) qui est parallèle à cet axe, et si, par conséquent, l'on met

PBXj

au lieu de y .

au lieu de .r

On voit alors que, pour établir la concordance rigoureuse, il faut que l'angle de rotation ait la valeur

Chaque section transversale se trouve donc avoir tourné, autour de la droite (77), d'un angle proportionnel à sa distance à la section extrême fixe; et la constante b^ désigne l'angle de torsion correspondant à la seclion située à l'unité de dislance de cette section lixc. Enfin, si / désigne la longueur de la tige, bj est la rotation de la base ou section extrême mobile par rapport à la base ou section fixe.

Chacune des sections transversales, d'abord plane, est maintenant une surface courbe, et toutes ces surfaces courbes ont une même forme, puisque w est indépendant de z. La forme de ces surfaces courbes dépend de la fonction B0, par conséquent. de la forme périphérique de la section transversale du prisme.

(") Les fibres ou files de molécules primitivement parallèles à l'axe de s, formant les »ônératrices d'un cylindre ayant pour axe cette fibre immobile (77) qui peut être considérée comme l'axe de torsion, restent bien effectivement, après les déplacements de leurs points, des lignes droites si l'on n'en prend que de faillies portions. Mais si on les considère sur toute leur longueur supposée n'être pas très petite, ces fibres transformées tonnent des hélices, toutes de même pas, quel que soit le rayon de leur cylindre primitif. C'est un des caractères de la torsion, ici considérée, que ce changement de toutes les fibres en hélices.

Les curieux hyperboloïdes à nue nappe, considérés ici par l'auteur, ayant pour axes des libres quelconques, nie paraissent avoir peu d'intérêt.