APPLICATION U'X PROBLÈMES RÉELS

Résumons la discusion des §§ 25, 26, 27. Elle nous a manifesté les trois déformations principales d'une tige élastique : l'extension, la flexion et la torsion. Elle nous a donné aussi un point de départ certain pour les problèmes réels [wirklicher) que nous aurons à étudii r, et une base solide sur laquelle nous pourrons, en les traitant, appuyer une suite de développements ayant forcément une rigueur mathématique moins grande, mais qui suffit au but proposé.

Comme conclusion de ces considérations, on peut encore énoncer le théorème suivant qui résulte de ce que les tensions tangentielles t , t [formules (65), (75 a), (75 b)\ ne contiennent pas la variable z.

Les tensions qui résultent du déplacement latéral des fibres les unes par rapport aux autres sont constantes pour chaque fibre, en tous les points de sa longueur.

% 28. — Application approximative à des problèmes réels [wirkliche).

Dans les applications pratiques, le problème posé est ordinairement inverse de celui des §§ précédents, à savoir : pour des forces quelconques appliquées à l'extrémité d'une tige, déterminer les extensions, flexions, torsions qu'elle éprouve. Mais, jusqu'à, présent, c'est à peine si l'on a réussi à résoudre exactement ce problème pour un seul cas ; on doit donc considérer comme un résultat important, de pouvoir ramener approximativement aux déformations qui viennent d'être étudiées les déformations quelconques, en ne faisant que modifier la répartition des forces agissant sur la surface d'extrémité libre. Dans la théorie des corps rigides, on sait que l'action d'un système de forces quelconques dépend simplement de six combinaisons de ces forces, savoir, les trois sommes de leurs composantes parallèles aux axes des coordonnées, et les trois sommes de leurs moments autour des mêmes axes. Si donc on a, d'un côté, un système donné de forces agissant à l'extrémité libre d'une tige, et d'un autre, les déformations qu'on vient d'étudier, rigoureusement produites par un certain système de forces agissant aussi sur la section formant la même extrémité, et dans l'expression desquelles il entre un certain nombre de constantes arbitraires, on pourra disposer de ces constantes pour rendre ces deux systèmes équivalents l'un à l'autre, comme on dit en statique, c'est-àdire ayant, non seulement en grandeur, mais encore en direction, la même résultante géométrique, et le même moment ou couple résultant, Pour cela, l'on égalera les unes aux autres les six expressions de sommes de composantes et de sommes de moments qui suffiraient à

définir l'action de chacun de ces deux systèmes, s'il s'agissait d'un corps rigide. Sans doute, l'action des deux systèmes de forces sur le corps élastique n'esl pas identiquement la même ; toutefois, on peut admettre que l'on obtiendra une grande approximation en substituant au système qui est donné celui qui résulte de la discussion et des calculs des §§ 25, 26 ou 27, en y donnant des valeurs convenables aux constantes arbitraires, et en considérant ensuite les déformations et les tensions, résultant de l'analyse de ces g§, comme celles qui seraient produites par le système des forces données et qui constitueraient la solution rigoureuse et inconnue du problème (*) .

On a donc à déterminer les constantes de manière à satisfaire à six équations.

Rappelons (commencement du § 22) que l'axe des :• étant dirigé parallèlement aux arêtes du corps cylindrique ou prismatique que nous considérons, et le plan des xij étant celui de la base qui doit rester fixe, l'axe des x est supposé le prolongement de l'élément linéaire de la même base qui doit conserver sa direction. Décomposons toutes les forces données, agissant sur l'extrémité libre, en leurs composantes parallèlement aux axes coordonnés; désignons par

, A la somme de leurs composantes parallèlement aux x .

(78 a) < B aux y ,

( C aux s .

el par

A' la somme de leurs moments autour de l'axe des x ,

(78 b) < B' des y ,

( C des ; ;

ceux des se, des y étant l racés sur la base fixe, distante de/ de la base libre où les forces ont leurs points d'application.

Les moments positifs seront ceux des forces qui tendraient à faire tourner le corps dans le sens des aiguilles d'une montre, pour un observateur regardant l'origine et adossé sur Taxe positif des coordonnées; et nous admettrons aussi que les axes sont disposés de telle

(') Voir, à la Note de la lin du présent paragraphe 28, les diverses preuves qui seront données de la possibilité, sans altérer sensiblement les résultats, d'une pareille substitution mutuelle de systèmes de forces staliquement équivalents; et l'inutilité probable de recherches qui seraient faites de solutions convenant à des tensions données quelconques, appliquées sur les bases et les laces des prismes.