APPLICATION AUX PROBLÈMES RÉELS

façon qu'un observateur situé sur celui des x positifs, el regardant l'origine, voie l'aiguille d'une montre se diriger des y positifs vers les : positifs. Cela posé, les sommes A, B, C, A'. B', C de composantes et de moments des forces extérieures agissant à l'extrémité libre, doivent ôlre égalées aux sommes correspondantes que l'on calculera en supposant appliquées, en chaque point de la section transversale libre, des forces précisément égales aux tensions qui s'y produisent. Ces tensions s'obtiennent en faisant ; = / dans les expressions (65) p. 150 (avec b = 0) de t , t , t .

1 ' XZ 1/1 ZZ .

Comme elles sont rapportées à l'unité de surface, si on les suppose appliquées en chaque point sur un élément (h de la section extrême z, on aura les forces "

n libie

t (irr ,

appliquées au point dont les coordonnées sont x, y, /, et sur un éléments. Si maintenant on égale les sommes de ces composantes, et les sommes de leurs moments autour des axes des x, y, ;• dont l'origine est sur la section fixe, aux sommes de composantes et aux sommes de moments de forces extérieures A, B, C, A', B', C, définies par (78 a) et (78 b), on aura les équations suivantes :

fl:rch = \, f (t^-y)<fe=A',

f ' txy <h = îi , j ' (tj — lzsx) <h = B' ,

ftxzdv=c,t f(V~ t*Jf)dr=cfi

où les intégrales doivent s'étendre à toute la superficie a de la section transversale considérée.

Les fonctions t , t . t , ne contiennent les constantes inconnues a, b.... que d'une manière linéaire, et ces constantes s'y trouvent

472 ciiAP. h. — coRrs cylindriques en général.

multipliées par des fonctions que l'intégration définie transforme en coefficients numériques. Les équations (79) forment donc un système de six équations du premier degré qui suffisent pour la détermination des constantes.

S'il n'y a pas de raisons particulières de faire autrement, on peut encore simplifier cette détermination par un choix convenable du point fixe et de la direction des axes dans la première base ou section transversale. Le point qui se présente le plus naturellement pour en faire un point fixe est le centre de gravité de cette section, et alors l'axe des z devient la ligne des centres de gravité, c'est-à-dire la droite qui passe par ceux de toutes les sections transversales. On sait que les coordonnées du centre de gravité d'une section sont toujours données par les équations

fx<t<7 f.'ldv

f,h ' ' fdc

Si donc on prend pour origine des coordonnées le centre de gravité, on annule £, rt, et par suite les intégrales qui forment les numérateurs de ces expressions. On a alors, par conséquent:

(80) Acd<7 = 0, fyd<r = 0.

Enfin on peut encore choisir la direction des axes de manière que

(81) fxyd* = 09

c'est-à-dire prendre pour axes coordonnés les axes principaux d'inertie de la section, liest facile de déterminer de quel angleondoit faire tourner un système quelconque, pour le faire coïncider avec les axes principaux. Supposons donnés deux axes rectangulaires quelconques x et g; posons, en coordonnées polaires

Tour passer à un nouveau système d'axes, faisant avec les premiers un angle a, il suffit de remplacer ç par«(? — a), et les coordonnées, dans ce nouveau système, deviennent :

x' = r cos ( -x* — «) , //' rsin (cp — a).

Pour que ce nouveau système coïncide avec celui des axes principaux