APPLICATION AUX PROBLÈMES RÉELS

il faudra que l'on ait :

0= j .r'ij'ih = * f r* sin 2 (a — «) da •

Si l'on développe la valeur de sin (2 9 — 2 a) et si l'on remarque que l'angle ce étant le même pour tous les points de la surface, il doit sortir du signe de l'intégration, cette équation devient :

0 == cos 2a / r1 sin 2<pd<r — sin 2« / »■-' cos 2-Wt ,

ce qui donne :

, fr* sm2qda

tang 2« = y-; -^-p .

fr2 cos 2çrtff

En remplaçant maintenant r cl œ par leurs valeurs en a; et en >/, on a évidemment

r2 sin 2y = 2xy , >•- cos 2s = x- — //- ;

et par suite

. Q 2 f xuda

tang 2a = — ^ — *— .

J {x* — lf)da

Le second membre ne contient que des quantités données : ce sont des intégrales définies, s'étendant à toute la section considérée, de fonctions de coordonnées rapportées au système d'axes considéré. L'angle a est donc déterminé par celle équation. Cependant elle donne pour cet angle plusieurs valeurs et il parait subsister une certaine indétermination; mais on voit facilement que ces diverses valeurs ne diffèrent entre elles que de multiples d'un angle droit. Si donc, par le clioix de l'une de ces valeurs de a, on a déterminé un système d'axes, les autres systèmes possibles s'obtiendront en faisant tourner celui-là d'un certain nombre d'angles droits. Tous ces autres systèmes coïncideront donc avec le premier: il n'y aura de changé, pour quelques-uns, que la désignation des deux axes. On doit donc considérer la position du système d'axes coordonnés comme déterminée sans aucune ambiguïté.

Représentons maintenant par % et X les rayons dègyrationde la section s par rapport aux axes principaux x et y\ nous aurons les équations :

(82) ( j x2da = ~kîa ,

l y-da = xra ;

et si maintenant, dans les équations (79) de la page 171, on exprime les tensions t au moyen des trois dernières formules (65) de la page 150 avec b= Oet :• = /, si l'on effectue les intégrations en tenant compte de(80) fxch = 0, fyda = 0, de (81) fxy da=0 et de (82) que nous venons d'écrire, enfin si l'on remarque que la deuxième et la quatrième équation (79) reviennent à

/ t . . yda — Bl H- A' , j 1 . : xd<r = M — B' ,

l'on obtient facilement les résultats suivants :

a, -(- bsl a. -hb,l =

- ÇWà.

er J c .r

1 /Vu , B - i —da = — ;

B/ + A/ kl — B'

EaV

\\ — L'auteur avance dans ce £ 28 (p. 469), et nous pensons que c'est avec raison, que les solutions données du g 23 au § 58, bien qu'elles exigent, pour être rigoureuses, un mode particulier, jamais réalisé, d'application et de distribution des forces aux extrémités des tiges qu'elles étendent, fléchissent ou tordent, conviennent néanmoins, avec toute l'approximation désirable, si des forces qui leur soient statiquement équivalente* sont appliquées et distribuées d'une autre manière quelconque vers ces extrémités; c'està-dire que les dernières forces donneront les mêmes extensions, flexions et toisions que les premières, tout le long de la lige qu'elles sollicitent, en exceptant toutefois des portions très petite- de sa longueur, comptées à partir des points où elles agissent.

KOTE DU § 28. — INDIFFÉRENCE Du MODE D'APPLICATION DES FORCES. 175

Ainsi que nous l'avons promis à la Note de la fin du § 22, nous allons rapporter les motifs de penser qu'il en est bien ainsi.

D'abord, des expériences assez nombreuses tendent à prouver ce fait de la presque indifférence du mode d'application et de distribution des forces vers les extrémités des tiges, pourvu que leur longueur contienne un grand nombre de fois leurs dimensions transversales.

Ainsi déjà, la formule de l'extension simple, exprimant sa proportionnalité à la longueur de la tige étendue et à la résultante des tractions longitudinales qu'elle éprouve, rapportée à l'imité superficielle de la section, n'est analyliquement vraie que si les tractions sont appliquées aux points mêmes des bases, et uniformément distribuées sur leurs éléments ; et pourtant la loi que la formule exprime s'observe quand les forces agissent autrement auprès des extrémités de la tige, par exemple, comme le plus ordinairement, sur les faces latérales.

Ainsi, la formule de la flexion égale, ou en arc de cercle, n'est fournie par l'analyse qu'autant que les deux roupies fléchissants soient formés de forces appliquées normalement sur les bases de la tige fléchie, et distribuées, quant aux intensités, d'une manière linéaire, c'est-à-dire proportionnellement aux distances de leurs points d'application à une même droite : pourtant cette formule s'observe encore quand chaque couple est formé seulement de deux forces appliquées dans deux sens opposés sur les côtés de la tige fléchie.

On peut en dire autant de la formule connue de la flexion inégale ou ordinaire, qui donne des résultats conformes à de nombreuses expériences, quoiqu'elle exige, analytiquement, pour l'application et la répartition des forces, sur les seules bases, un mélange complexe d'actions normales et d'actions tangentielles encore plus irréalisables.

Ainsi encore, la formule très simple de la torsion d'un cylindre à section circulaire est exacte seulement sous la condition que les forces qui l'opèrent agissent tangenliellement aux bases, perpendiculairement à leurs rayons, d'une manière égale sur toute zone annulaire ayant le même centre qu'elles, et proportionnellement au rayon moyen de cette zone de largeur très petite. Et cependant cette formule donne, pour tout autre mode d'application des forces ayant même couple résultant, des angles de rotation reconnus depuis longtemps conformes à ce que fournit l'expérience, dans les limites très suffisantes de l'approximation qu'elle comporte.

Nous pourrions citer aussi la confirmation, fournie par les expériences de Duleau, de Savart, de Wertheim, des formules de torsion de prismes « base carrée, à base rectangle, pinces ou sollicités latéralement au lieu dé l'être sur leurs seules bases de la manière compliquée que les formules indiquent. (Mémoire sur la torsion et notes sur Xavier, déjà cités.)

2. — Des observations très simples, qu'on peut faire sur des prismes de caoutchouc, si l'on n'a point à sa disposition des moyens de mesurage des déformations imperceptibles de matières raides (même Navier annoté § 6

de la note du n" 80, p. 40) rendent raison, en quelque manière, de cette possibilité de substituer, à de certains systèmes de forces agissant aux extrémités des tiges, des systèmes statiquement équivalents, ou qui n'en diffèrent que par des forces en équilibre, sans que cette substitution change les effets produits sur la presque totalité de la longueur; car ces observations montrent que les impressions et autres déformations purement locale* que produisent ces forces qui se font équilibre sur une même petite partie de tige, ne se font jamais sentir que très peu en deçà et au delà des points où les forces sont appliquées.

Ces faits nombreux tendent à prouver que, quel que soit le mode d'application et de distribution des forces extérieures qu'on fait agir sur les extrémités des prismes élastiques, les tensions intérieures, tant normales que tangentielles, qui en résultent, se répartissent naturellement sur leurs diverses sections transversales, même assez peu distantes des bases, presque exactement comme les formules exigent qu'elles soient réparties sur les bases elles-mêmes pour que les effets qu'elles indiquent s'observent dans toute la rigueur analytique; d'où il suit qu'en soustrayant, parla pensée, de très petites portions des tiges, ou en substituant, à leurs bases, des sections qui en sont assez proches, les forces se trouvent appliquées et réparties, sur ces bases fictives, à très peu près conformément à ce que les formules indiquent et régissent.

5. — D'autres observations ou expériences, faites sur des pièces qui s'étendaient ou iléchissaient sensiblement, soit sous leur poids propre, soit par l'effet d'une charge répartie sur toute leur longueur, et aussi, des expériences de mouvements vibratoires, où l'inertie se trouvait en jeu comme une force animant tous les éléments du volume, ont prouvé même que les formules de l'extension, de la flexion, de la torsion, dont nous parlons, peuvent être employées très approximativement lorsqu'il y a des forces agissant ailleurs qu'aux extrémités ou à des endroits très distants les uns des autres. Il suffit, pour pouvoir y appliquer ces formules, de prendre pour base ou extrémité fictive de la pièce une section transversale quelconque, en supposant cette sectimi sollicitée par la résultante des forces extérieures ou d'inertie qui agissent sur toute la partie de la tige se trouvant en deçà. ' Bien plus : les formules s'appliquent, presque avec la même approximation, ou représentent à peu près aussi bien les résultats observés et mesurés, lorsque la pièce, toujours de forme allongée, n'est pas prismatique, mais est un peu tronconique, ou courbe, ou torse; une section quelconque riant toujours prise pour une des extrémités de la portion de pièce au delà, et soumise aux forces s'exerçanl sur la portion en deçà de la section quelconque ainsi choisie.

4. — El il est fort heureux, on peut le dire, qu'il en soit ainsi; car, comme nous l'avons remarqué plusieurs fois (Historique, n° XXV et Appendice II, g 7, p. 525 de la même réédition des Leçons de Navier), si le pro-

NOTE DU §28. — INDIFFÉRENCE Dû MODE d' APPLICATION DES FORCES. 177

blême de Lamé (énoncé à la noie ci-dessus du § 23), de l'état d'équilibre d'un prisme rectangle dont les face* seraient soumises à (lex forces données, recevait jamais cette solution qu'il a inutilement cherchée et longtemps demandée au monde savant, on ne serait très-vraisemblablement pas plus avancé. En effet, si l'on excepte le seul cas d'une pression uniforme communiquée par un fluide, les données mêmes de ce prohléme, savoir les pressions ou tensions exercées sur les divers éléments des faces extérieures, ne sont jamais connues; c'est par l'intermédiaire d'autres solides qu'on les exerce sur ces faces, et l'on n'en connaît dans la pratique que les résultantes et les moments résultants. Il est donc à penser que les solutions du genre de celles dont on s'est occupé depuis le § 22, et dont on va s'occuper encore, offrent tout ce qu'on peut espérer obtenir d'utile pour la détermination, tout au moins approchée, des modifications ou déformations de pièces élastiques, dues à des forces quelconques, dans les limites qu'on est supposé ne pas franchir et qui sont celles de la stabilité de la contexture de la matière et de ses propriétés élastiques.

5. — Mais il convient de donner aussi des raisons théoriques et générales de cette applicabilité, comme approximation, des formules des §§ 23 à 38, tirées de la supposition du § 22 (p. 140) :

(a) [(57 b) reproduite] t,, = 0. \ytJ = 0, ^ = 0, partout ,

aux effets produits par des forces agissant d'une manière quelconque sur des tiges ou pièces de forme allongée, dont les faces latérales, ainsi que les molécules de l'intérieur sont, ou libres de toute action extérieure, ou soumises seulement à des actions réparties d'une manière continue et ne donnant ainsi qu'un faible contingent sur chaque tronçon ou portion de ti°-e, d'une longueur ne surpassant pas la dimension transversale movenne.

Il convient de prouver que, dans ces conditions-là, ce que donnent les formules pour les trois autres composantes de tension, t.., t. , t ., représente très approximativement la manière dont celles-ci s'établissent et se distribuent sur les diverses sections, excepté sur celles qui sont fort proches des extrémités; de manière qu'on puisse, avec assurance, et indépendamment de tout empirisme, étendre l'emploi de ces formules à l'appréciation d'effets sur lesquels les expériences citées n'ont point porté (tels que les flexions accompagnées de torsion), ainsi que de ceux qu'elles n'ont point révélés (tels que les glissements qui accompagnent la flexion inégale, etc.).

11 semble au premier abord que cette petitesse relative ou cette presque nullité des composantes transversales de tension t -, t , t,. est facile à prouver ; qu'elle résulterait de ce que chacune de ces trois composantes est nulle à la surface latérale de la tige, à la fois d'un côté et du côté opposé du contour de chaque section ; d'où suivrait, si les dimensions transversales sont très petites du premier ordre, que les composantes en question le sont du second ou du quatrième. C'est ce qu'on peut voir, en prenant pour fixer

^78 CHAI1. II. — CÖRtS CYLlNDBIQUES EN GÉNÉRAL.

les idées une section rectangle ; car si ses côtés sont la parallèlement aux x, et 2 & parallèlement aux y, comme t xx, t s'annulent pour x = a et x= — a, t#| et t pour y = b et y = —b, lo., t^, t doivent avoir leurs expressions en x et ?/ respectivement divisibles par a- — x-, b2 — y2 et (a2 — x-) (fr — y«), facteurs qui sont du deuxième et du quatrième ordre. On met même ces trois facteurs en évidence si. comme ont fait Poisson et Cauchy dans leurs tentatives de 1828. déjà citées (Mém. de l'Institut, t. VIII. — Exercices de mathématiques), l'on admet que les tensions sont exprimables en séries procédant suivant les puissances et produits de puissances entières de x, y (Mémoire sur la llexion, 1854, au Journal de Liouville, 1850, n° 5). Mais il faut convenir que cette supposition des deux illustres géomètres, essayée en 1828, est bien arbitraire; elle est même sujette à égarer : et fûtelle juste, il faut remarquer que ce qu'on dit ainsi de ixr, lj/f/, tr(/ s'appliquerait également à t^, t qui s'annulent aussi sur les bords. On annulerait donc toutes les composantes excepté t... Cela est supposable pour les tiges longues et minces, quand on ne s'occupe que de leur flexion ; mais cela ne s'applique plus quand il y a torsion, cas où t(:, t subsistent et sont très grands devant t(i, t . t;:; et cela ne fournirait pas non plus, pour la flexion inégale, les glissements qui l'accompagnent et qui dépendent des efforts tranchants, sommes des intensités de t,.. ou t sur tous les éléments de chaque section.

II. — Aussi M. Kirchhoff a présenté des considérations (*) destinées, en partie, au même but, et où il laisse subsister les tensions transversales t , t , bien que l'illustre Correspondant de l'Institut suppose infiniment petites les dimensions transversales des tiges élastiques auxquelles elles se rapportent. Clebsch reproduit, aux £§ 47, 48, 49 ci-après, son analyse, que j'ai lâché aussi de présenter d'une manière claire à la fin de l'Appendice complémentaire de l'édition annotée (1864) de Navier. Elle consiste surtout dans des calculs de pure cinématique, d'où il conclut que si la tige mince est divisée, par la pensée, en tronçons ayant des longueurs du même ordre de petitesse que les dimensions transversales, et si l'on représente par x, y, ; avant les petits déplacements éprouvés, x-\-u, y-\-v, Z-+-W après, les coordonnées d'un point M par rapport à des axes locaux accompagnant dans ses mouvements le tronçon dont ce point M fait partie, l'axe des i étant longitudinal ou dirigé suivant la ligne des centres de gravité des sections, on a les expressions suivantes, où rM r„ r, S, sont quatre quantités sensiblement constantes pour chaque tronçon, et pouvant varier d'un tronçon à l'autre [Expressions (11) § 49] :

[b) T% = r,j - r* , t% = r* - rx Tz=* + V - r* .

(*) Cette discussion est une sorte d'anticipation, que j'ai cru utile de l'aire ici, des considérations de la deuxième partie, cli. IV, §§ 47 à 50.

NOTE DU §28. — RAISONS DE LA NULLITÉ DES TENSIONS fRANSVERSALES. i 7U

Elles signifient, comme il n'est pas difficile de le reconnaître, que, par cela seul que les dimensions transversales d'une tige élastique sont infiniment petites, les déplacements de ses points, produits par des forces appliquées et distribuées n'importe de quelle manière, sont, s'ils opèrent avec continuité, réductibles, dans chacune de ses petites parties :

1° A une dilatation longitudinale D;

2' A des flexions rt autour d'une parallèle à l'axe transversal des .r, et r2 autour d'une parallèle à celui des y; flexions faisant prendre, en cet endroit, aux projections de l'axe de la tige sur les plans nj et zx, des cour-

bures dont les rayons sont et -;

5° A une torsion r, faisant tourner une des bases du tronçon, devant l'autre base, d'un angle égal à r multiplié par leur distance.

D'où M. Kirchhoff déduit par intégration, en appelant u, v, w les valeurs de u, v, w pour x — 0, c'est-à-dire les petits déplacements des divers points d'une section quelconque prise pour base d'un tronçon aussi quelconque, des expressions de u, v, w qui, différentiées en x, y, :, donnent les suivantes pour les dilatations et glissements :

#W r\V Ml Pv

[ h*=Ty-rX> *« = te+'». ** = * + **■

La troisième de ces formules justifie en quelque sorte le fondement principal de la théorie de la flexion, à savoir la linéarité de l'expression de la dilatation des fibres ou éléments longitudinaux de la tige, en fonction des coordonnées transversales x, y. Les quatrième et cinquième fournissent aussi le fondement principal de la théorie de la torsion. Et si l'on met toutes ces expressions de D g dans celles qui donnent t .., t , t ,puis

x y ./« yz sa

c t c l Ol

celles-ci dans — — "+~-q -h~ôp = 0 qui es^ la troisième des équations de

l'équilibre intérieur, ainsi que dans une de celles qui sont relatives à la surface latérale, on obtient l'équation indéfinie du second ordre, et l'équation définie, aussi en w, qui donnent ce déplacement longitudinal, ou le gauchissement des sections, dû à la torsion ; et cela, comme on voit, indépendamment de tout mode particulier d'application et de distribution des forces sur la tige, à la seule condition que ses dimensions transversales puissent être regardées comme infiniment petites.

7. — Mais deux objections peuvent être faites à la remarquable et délicate analyse de M. Kirchhoff, en tant que présentée comme propre à conduire au but ici désiré.

L'une est que les résultats qu'elle fournit sont achetés par trop de suppositions restrictives. Les formules (c) donnent, en effet, zéro pour les dérivées,

par rapport à z, des six quantités àz gx , et par conséquent aussi des six

composantes de tension tr/., t , t.., t(/i, t.,., t/(/. Or, pareille chose n'a pas lieu avec les formules (65) de la fin du g 25, car la cinquième donne, eu égard à ce qu'il est démontré au § 25 [équation (70 a)] qu'il faut faire 6 = 0,

quantité petite sans doute, vu la petitesse supposée des coordonnées transversales, en sorte qu'on peut la faire nulle pour obtenir certaines évaluations de première approximation; mais quantité à laquelle il faut, pour d'autres, de deuxième, attribuer une valeur finie; car dans la flexion inégale^ c'est-àdire variable d'un bout à l'autre de la tige, et qui est constamment déterminée par les forces ne faisant pas couples, Eb{, Eè, peuvent avoir des

. , et,. .

valeurs très grandes, et il faut tenir compte de la dérivée -f! pour obtenir

OZ

les glissements transversaux et longitudinaux qui se combinent, d'une manière souvent sensible et influente, avec les dilatations t). des fibres; circonstances que la théorie de M. Kirchhoff, qui vient d'être présentée, serait impuissante à fournir.

L'autre objection, nous le croyons, est plus grave :

L'expression (c), S=S + ri;-rj ou = d -4- — -h M/>, et h étant los

rayons de courbure des deux projections de l'axe de la tige sur les plans uz, xz passant par sa tangente) donne bien la loi des dilatations des fibres à travers chacune de ses sections; mais, pour calculer les flexions, il faut aussi autre ebose; il faut connaître les tensions t.. de ces fibres, ou savoir par quoi on doit multiplier les S3 pour avoir les t..; si c'est bien, par exemple, le coefficient ou module d'élasticité E, comme si chaque fibre ne recevait aucune action transversale de la part des fibres voisines. Gela exige qu'on connaisse les rapports des dilatations ou contractions transversales aux dilatations longitudinales, et, par conséquent, que l'on détermine les déplacements latéraux u, v.

Aussi, M. Kirchhoff substitue les t/(., t , t.., t#/5, lzc, tn/ résultant des valeurs (c) des S, g, dans les équations de L'équilibre des éléments intérieurs, ainsi que dans celles qui sont relatives aux points de la surface latérale de la tige; ce qui lui donne des équations différentielles, tant indéfinie* que définies, en u, v, comme en w. On ne peut pas les intégrer toutes, connue on fait pour celles qui ne contiennent que w. Mais il observe qu'on y satisfait on posant t,.,.-— 0, tyy — 0, ^ = 0 (comme il dit que je l'ai remarqué le premier, et ce qui a pour conséquence t., = E?.).

En effet, ajoute-t-il, si l'on résout par rapport à Zx, Dff, g,(/ les trois équations ainsi posées, on a, pour leurs valeurs, cZz, c'<>;, c"?3 ; c, c', c" étant

des constantes, même dans les cas où il n'y a de plans de symétrie de contexture que perpendiculairement à l'axe de la lige ou des s; d'où il suit, d'après la valeur linéaire (c) de D en x: y, que tes dérivées secondes, en x. y. de D , ?(, g sont toutes =0; elles satisfont, ainsi, identiquement à

c-d e>23 #sg

(d) ■ — L~{ y = rU ;

ce qui est la condition (appelée quelquefois de compatibilité) pour que les

grandeurs u, v, puissent être déterminées conformément aux deux premières

et à la sixième des égalités (c).

Or, cette manière de prouver, par une do ses conséquences, savoir, par

une possibilité, ou une non-incompatibilité, la nullité qu'on veut établir

de t;(., t , t , n'est, évidemment, point satisfaisante, bien ne dit qu'aucune

autre hypothèse ne remplirait la condition (d). Bien plus, observons que, si

les inégalités posées : t =0, t =0, t =0, permettent de satisfaire aux o r xx yy ' xy l

équations d'équilibre intérieur, et d'équilibre sur la plus grande partie de la surface latérale, elles ne satisfont nullement aux conditions et équations d'équilibre aux extrémités, c'est-à-dire sur les bases, et sur les petites parties latérales qui les avoisinent, car il peut y agir de pareilles composantes de tension non nulles, puisque aucune hypothèse n'a été faite sur le mode d'action et de distribution des forces appliquées en ces endroits. La réduction des dimensions transversales à des lignes infiniment petites, et ce qu'on en déduit, n'ajoutent donc que peu de chose à ce qu'on avait tiré, aux g$ précédents (et qui était même plus complet à certains égards) de la même supposition de composantes transversales de tension nulles, faite comme essai dès le début.

8. — M. Boussinesq nous paraît être parvenu plus complètement et plus assurément au même but qui est surtout, répétons-le, la justification du point de départ d'une analyse comme celle des g§ 23 à 58, savoir la supposition exacte ou approchée

(«) t,,, = Ü , tyy = Û , tXy = 0

de nullité des actions mutuelles des fibres longitudinales dans les sens transversaux.

Nous allons exposer, en le développant, son procédé que nous rendrons aussi clair que nous pourrons, en l'appliquant, pour cela, au cas simple d'une tige pleine, de matière homogène, offrant trois plans de symétrie de contexture, et en renvoyant au Mémoire du savant professeur de la Faculté de Lille (Journal de mathématiques pures et appliquées, 1871, première partie, les tiges), ainsi qu'à son complément inséré en 1879 au même journal, pour sa généralisation; car il l'applique à un corps allongé, pouvant être évidè tubulairement en plusieurs endroits, ayant ses sections transversales

pour seuls plans de symétrie de conlexture, et composé d'une matière dont la nature peut changer, même brusquement , dans les sens transversaux.

Ce qu'a de spécial sa méthode, et ce qui permet, lorsqu'on l'emploie, de tirer des conclusions plus générales et plus certaines que par les autres, c'est qu'il met en œuvre non seulement les équations de l'équilibre des éléments, mais encore le principe non moins incontestable du potentiel d'élasticité, ou le fait connu et généralement admis que ce travail de déformation élastique, déjà considéré au § 16 ci-dessus, est toujours positif, quelles que soient les petites déformations, à partir de l'état naturel ou sans tensions, que l'on fasse subir à un corps élastique; fait évident, car il n'est autre que celui de la consommation nécessaire, pour tout corps qu'on écarte de cet état primitif, d'un certain travail dont le potentiel mesure la grandeur.

Le double de ce potentiel ou de ce travail, depuis l'état où les tensions étaient zéro, jusqu'à celui où leurs six composantes sur trois petites faces

perpendiculaires aux x, y, z ont acquis les intensités t^., t , par suite

des déformations t»r g de l'élément dont le centre est au point (x, y, z),

a, si on le divise par le volume de l'élément, et si on le représente par 2 <l>, la valeur suivante :

(/') 2* = t3+t3+t3-Mg + 1 g + t g ;

\i i xx x ijij ij * zz z yzPij.z sx°zx xy°xy

car, d'après ce qu'on a vu à ce g 16, p. 61, le travail élémentaire qu'exige, par exemple, la production d'une portion infiniment petite Sdr de la dilatation S, est t SZ ; par conséquent, jusqu'à ce que dx ait acquis sa valeur totale, et t . , sa valeur finale, en passant uniformément par tous les degrés

d'intensité depuis zéro, il y aura eu travail total opéré -, l, (. <\., dont le double

est le premier terme de l'expression (/) de 2 <l> ; et la même chose peut être dite pour les autres termes.

1). — C'est cette quantité qui doit rester positive pour toutes les valeurs, soit positives soit négatives, de dr, g .

Si l'on y met, pour ces six déformations élémentaires, 3, g, les valeurs qu'on tire pour elles en résolvant, comme équations du premier degré, les six formules (lJÔ) txx = axxxxZx-+-...., t ...., du § 11, s'appliquant à des corps de toute contexture, 2* se trouvera exprimé eu une fonction homogène du second degré des six quantités t , I ,„.

O oi XX' xij

On sait qu'une pareille, fonction est toujours partageable en autant de carrés parfaits de polynômes du premier degré qu'elle a de variables, ces carrés étant affectés de coefficients qui doivent être tous positifs si la fonction elle-même est astreinte à rester positive pour toutes les valeurs de ses variables; et c'est ici le cas, ainsi qu'il vient d'être dit, Comme nous nous

bornons au cas de trois plans de symétrie perpendiculaires aux x, y, z, ou

au cas des formules (h), t^, = a<^.+ fc^-h e'D,, t = , t^ = fg de la

grande Note de la fin du § 10, nous aurons à substituer dans (f) les expressions (r) du n° 15 de cette note :

-> *"XX '*/// ^zz -. v/// 'aa -rr ^ *:: V/.r *i/i/

(</) <J en y joignant

Ej., E , E. étant des modules d'élasticité; et Fr, F , F,, trois quotients, par des binômes tels que ad' — e'f, du déterminant quintinôme appelé D (voir page 80).

Les trois termes fournis par la substitution des g seront déjà des carrés; disposons de la composition des trois autres carrés de manière que le premier contienne les trois tensions t(;,, t , t.., le second tr n t , le troisième t seul, nous aurons :

-, -, t= étant trois quantités qu on déterminera facilement en E , E , F

A li C l ! * n

si, après avoir développé les carrés du binôme et du trinôme, on égale ce qui multiplie les carrés et les produits deux à deux des tensions t , t , t,., à ce qui affecte les carrés et produits pareils dans l'expression (e) de 2*, après qu'on y a mis pour les 2)x, D , <\ leurs valeurs trinômes (g).

Quelle que soit leur composition, on peut affirmer que p-, -r, ^ sont des

quantités positives, ainsi que d, e, f. En effet, 1° si l'on suppose, ce qui est possible, toutes les composantes t(/, nulles excepté t„, 2<t> se réduit à

p-t;. ; et, 2* devant être positif, rr doit l'être aussi.

2° Comme on peut faire t nul, ainsi que les t , t , t , et faire, en

r y y ' n y-c »x' jj/'

même temps, 1.. = -^^., ou, autrement dit, comme on peut disposer de

tous les t, hors tJV(., de manière que 2* se réduise à -t^., on voit que -

doit être positif aussi.

5U Gomme on peut annuler tous les t, hors t , r encore doit être

positif.

10. — Ceci établi, mettons dans l'égalité (h), à la place de 2 4>, le sextinôme (f) qu'il représente; effaçons, dans chacun des deux membres de l'équation qui en résultera, les deux avant-derniers termes, car ils ont, de part et d'autre, les mêmes valeurs; puis, dans le premier terme du second membre, remplaçons l'un des deux facteurs trinômes du carré parE,c^, qui est sa valeur d'après la troisième formule (g) ; ce premier terme deviendra

Hz f Vf p hjy

Faisons-le passer dans le premier membre; le produit t ö disparaîtra, et l'équation se réduira à

(j) t,A + tyyZy + t,,^.,.,, -f ^ t,., + ^ tyg ) ?.. = i (l^ £ t ^ + j ^ + | ^

Or, je dis que si l'on multiplie les deux membres de cette équation par l'élément d<r = dxdy de la superficie, que nous appellerons <r, de la section ayant la coordonnée longitudinale quelconque 3, et si on les intègre ensuite pour toute l'étendue de cette superficie, on aura zéro dans le premier membre.

11. — Pour le démontrer, examinons d'abord comment les tensions intérieures, les dilatations, etc., doivent, d'une manière générale, se comporter et se régler dans une tige mince et allongée, prismatique ou bien presque prismatique, c'est-à-dire très peu courbe et très peu torse, dont les dimensions transversales, si elles ne sont pas constantes, ne varient que lentement d'un bout à l'autre; tige qu'on suppose soumise à des forces extérieures agissant les unes localement, c'est-à-dire aux extrémités, ou bien à des endroits isolés, où elles sont réparties sur de très faibles longueurs, les autres s'exerçant entre ces endroits-là, tant à l'intérieur de la masse que sur sa surface latérale, mais distribuées ou uniformément ou continûment et graduellement; et dont l'intensité totale, sur chacune des longues portions de la tige ainsi partagée, n'excède point celle des forces isolées ou locales qui sont appliquées vers les extrémités de cette portion.

Prenons pour axe des z, en chaque endroit, la ligne des centres de gravité des sections transversales, et les axes des x, y, rectangulaires entre eux et à cette ligne sur une des sections. Dans une quelconque des portions dont nous parlons, que nous appelons longues parce qu'elles sont supposées l'être beaucoup par rapport aux dimensions transversales, il est facile de reconnaître que les composantes t de tension et les dilatations ou glissements 3, g, varient d'une manière incomparablement moins rapide dans le sens longitudinal ; que dans les sens .r et y, de sorte que, si nous exceptons de petites portions de tige a voisinant les extrémités, où se trouvent les points d'application des forces locales ou discontinues, les dérivées de ces déformations ö, g par rapport à j seront, de nécessité, considérablement moin-

NOTE DU § 28. — RAISONS DE LA NULLITÉ DES TENSIONS TRANSVERSALES. 18o

dresque ce que sont ou peuvent être leurs dérivées par rapport à x et à y.

En effet, pour g.r, par exemple, __2 sera de l'ordre de grandeur du quo-

tient, par la longueur de la tige ou de la longue portion de la tige considérée, de celte déformation g,r, ou de la différence des valeurs qu'elle a

aux extrémités ; tandis que -~ pourra être de l'ordre de grandeur du quotient de gzx par la demi-épaisseur, qui n'est, disons-nous, qu'une fort petite fraction de la longueur. Autrement dit, si pour fixer les idées nous divisons la tige, par la pensée, en tronçons dont la longueur soit de l'ordre de grandeur de la dimension transversale moyenne, les D, g auront des valeurs extrêmement peu différentes en deux points homologues des bases de chaque tronçon, tandis qu'ils pourront avoir, du centre au périmètre des sections, des différences de valeur aussi considérables que d'une extrémité à l'autre de la tige. Nous pouvons donc, comme approximation, déterminer la loi de variation des déformations <\ g transversalement, ou en fonction de x et //, comme si leurs dérivées par rapport à :• étaient nulles. Cette hypothèse, ou ce point de départ, n'est que comme une traduction analytique de l'énoncé de la question même qui nous occupe, et qui est de déterminer ce qui se passe dans une tige allongée et très mince sollicitée de la manière continue que nous venons de supposer.

12. Il nous suffira, toutefois, et ce sera le moyen de rendre nos résultats aptes à fournir, ultérieurement, des secondes approximations, de partir, comme bases de calcul, des suppositions suivantes, fort approchées, disonsnous, quand elles ne sont pas rigoureuses:

erg

oz- ( s- ( z- ( z-

(/) is=o, 122 = 0,

oz dz

et qui sont plus larges ou moins restrictives que ne serait la supposition de nullité de toutes les dérivées du premier ordre en c-; car elles se réduisent, en ce qui concerne di:, D , ?., g , à supposer qu'au lieu de rester sensiblement les mêmes, ces quantités varient linéairement en passant d'un tronçon au suivant; ce qui peut être regardé comme presque rigoureux. Or, les deux (/) et la dernière (k) sont la même chose que

8*w d*-u B*w &*v n o'u , or'v

Si successivement, 1° on différenlie la première de ces trois équations (m) par rapport à x, 2° on différenlie la seconde par rapport à y, 3° on retranche la troisième de la somme des deux premières différentiées respecti-

vement par rapport à y et à "x, l'on obtient, eu égard aux deux premières

... , du dv

(A) où l'on mettrait pour o. ? leurs valeurs -n—, ~- :

v ' l •*• y vx c y

pour tous les points [x, y) des diverses sections ; en exceptant seulement celles qui sont très proches des points d'application des forces que nous avons appelées isolées, agissant discontinuaient, ainsi que des points où les forces qui agissent continûment changeraient brusquement d'intensité par unité de longueur.

Sous cette restriction, qui n'atteindra que de minimes portions de la tige,

Gl

c w on voit, par ces trois équations (w), que la dilatation longitudinale r—=dz

doit être, aux divers points de chaque section, une même fonction du premier degré de leurs coordonnées, en sorte qu'on peut poser

(o) S2=Jb+^+% ;

Jb, fB, $ 4 étant des fonctions de z seul; premier et important résultat qui même aurait pu être obtenu en supposant seulement

-df)=°. «(■£)=•■ »h-*w. i?=«. £=•■

15. Ceci obtenu, pour arriver à reconnaître la nullité, partout, des composantes de tension dans les sens x, y sur toute face parallèle aux fibres ou aux arêtes, il nous faut nécessairement mettre en œuvre :

1° Les équations exprimant leur nullité sur les faces latérales du prisme, équations qui sont celles (07 a) du \ 22, savoir, n désignant la direction d'une normale à ces faces,

(p) t cos (?i,a;) + t cos(n,w) = 0 , t cos(«,a;) + t cos(?i,w) = 0 .

2° Les équations de l'équilibre dans les mômes sens x, y, à partir de ces faces, entre les tensions et les forces extérieures X, Y agissant sur les éléments du volume. Nous pouvons, de ces deux équations (24) du g 12,

c t,.. dt effacer les avant-derniers termes -7-^' -~> puisque les égalités posées (/)

a z oz

supposent ces dérivées en z nulles ou négligeables vis-à-vis des deux termes

précédents qui sont des dérivées en x et y; ces équations d'équilibre sont

ainsi

Pour pouvoir les combiner avec celles [p), nous les multiplierons par l'élément da=dxdy de la section a, et par une fonction quelconque U de./1, y, dont nous disposerons ensuite; puis nous intégrerons pour toute l'étendue de la superficie a, et nous transformerons les intégrales des termes en d'autres qui soient prises pour le contour de <r ou agissent les forces dont les équations de condition (p) annulent les sommes.

Afin de le faire facilement, écrivons ainsi le produit de la première équation (q) par Mdxdy :

rr /0.w i i i -iït „ 2u\ rr

(•■) jflT** br-^iï+^f -W+JJ i:x"!'=e-

11 est facile de reconnaître qu'en vertu de la première des équations (p) relatives au contour de <r, le premier et le troisième terme entre paren-. thèses de celle (r) qu'on vient d'écrire peuvent être effacés.

La chose est évidente si la section est un rectangle ayant pour côtés 2«

parallèlement aux x, 2fr parallèlement aux y, car, en effectuant l'intégra-

c'.\]tn.

lion en x du premier terme c, > on a, en vertu de la première équa-

o ce

tion (p), Ut —0 aux deux bords x = — a, x=a où cos (n, y) est nul et

B.Mix cos (n,x) est = 1 ; et il en sera de même du troisième terme — ~~ — d'après

la première équation (p), car, en intégrant en y on a Ut dont le second facteur est nul aux limites d'intégration ?/ = — b, y=b puisqu'on y a cos (n,x) = 0, cos (n,y) = 1.

14. — Mais on reconnaît la même annulation de ces premier et troisième ternies entre parenthèses de (r) pour une section ayant un contour courbe quelconque s, si l'on fait usage d'un procédé bien connu et fréquemment employé en physique mathématique (notamment par Clebsch aux§§ 21 et 29).

rr ®' Uto-

Il consiste à opérer en x l'intégration // dxdy — y— - ; cela donne

/ dy [(Utra,)" — (Ut(, ,.)'], en désignant par les accents " et ' les valeurs de

Ut., aux points où une droite parallèle aux x, tracée sur la section c- à la distance y de son axe des x, vient rencontrer son contour du côté des x positifs et du côté des x négatifs respectivement. Or, ds représentant les parties du contour interceptées par la bande dont la largeur est dy, on a, d'un des deux côtés, dy—ds cos (n,x), et, de l'autre, dy= — ds cos (n,x) : l'inté-

rr [-Urr grale 1 1 dydx ,, t- prise pour toute la superficie de la section «r revient

donc à l'intégrale / Ut ,r cos (/*,.*) ds prise pour tout son contour.

En y réunissant celle / Ut cos (n,y) ds qu'on obtiendra de même en effectuant en y l'intégration II dxdy — ^— - , on aura, pour la partie du premier membre de l'équation (?•) qui vient du premier et du troisième terme de sa parenthèse, en désignant par I une intégrale s'étendant à tout le contour :

I U [t cos (n,x) + t cos (»,«/)] ds ,

c'est-à-dire zéro d'après la première condition (p). Cette équation se réduit donc, en désignant par / une intégrale prise

pour toute l'étendue de la surface d'une section quelconque <r, à la première des deux équations suivantes, doilt la seconde se tire de la même manière de la deuxième (</), multipliée par V, qui désigne une autre fonction de x, y :

J,\ ■'» $x m ê)yj J,

Faisons successivement, dans ces deux équations, U et V égaux à ,r, y, x*, y*, .ry ; leurs derniers termes pourront être effacés vis-à-vis des premiers, car les forces X, Y qui peuvent être du même ordre de grandeur que les dérivées en x, y, de t^,, t , t , ont des produits, par les petites coordonnées .»-, y, très petits vis-à-vis de ces tensions elles-mêmes. Nous obtiendrons ainsi toutes ces relations, où figurent les trois composantes ti(., t , t dont il s'agit de prouver la nullité :

/ txxdo = Q , I txxxd<j = Q , / i^/<t=0 , / trj yda=.Q, (t xdaz=0 , /t d* = Q , /t ?/</<j = 0,

d'où / t iuh = Q , I t xdo — Q.

Enfin, en faisant ll = u, V = v, petits déplacements des points de la section, on peut encore effacer comme très petits les derniers termes des deux

équations (.s) ; et si on les ajoute ensemble, on remplaçant —, —, — -f- —

f ■' ( 'j ( II C ■•

)ar Ör' <V 8yX> 0I1 a

15. Actuellement, dans l'équation (j) du n° 10, que nous avons déduite du partage du potentiel d'élasticité * en carrés, mettons pour ö. sa valeur (o), Jlo -}— d5.r— f- fBiZ/» et intégrons, pour toute l'étendue de la section <r, ses deux membres multipliés par (h. Il résulte de l'égalité (a) ainsi que des l'e, 2e, 4e, 6e et des deux dernières (t) que le premier membre donnera zéro, ainsi que nous l'avons annoncé. 11 restera

/.B(,--FVr),+i,*+T <:»]*=•■

Comme les da sont positifs, le f constituant le premier membre de cette

équation a tous ses éléments composés de trois termes essentiellement posi-

1 1 1 tifs; nous avons vu, en effet, que - , ^, - ,ne pouvaient être que positifs. Ces

termes sont donc nécessairement tous nuls; d'où il suit qu'on doit avoir partout, ou en tous les points {x, y) de cbaque section,

v ' XX IJIJ ' XIJ

C'est-à-dire les trois composantes de tension, par lesquelles les fibres agissent transversalement les unes sur les autres, nulles, ou assez petites pour qu'on puisse les remplacer par zéro, dans les calculs qui ont pour objet la détermination des trois autres composantes de tension ainsi que celle des déplacements u, u, w, des points.

16. C'est la donnée du Problème posé au §22. C'est l'hypothèse fondamentale, déjà justifiée par l'expérience comme exacte ou très approximative (nos 1,2), dont on est parti pour obtenir, des j§§ 25 à 57 [ci-après, la solution de tous les problèmes de la déformation des tiges prismatiques dont les faces latérales sont libres, par des forces appliquées sur les bases extrêmes et ayant, de part et d'autre, une résultante et un moment résultant donnés quelconques, mais une distribution inconnue (toujours inconnue), dont la même analyse détermine quel doit être le mode pour satisfaire rigoureusement à l'hypothèse posée. On voit, par ce que nous venons de présenter, que les trois égalités reproduites en (x) et, comme conséquence, ce mode d'application et de distribution des tensions t.,, t t(., s'opérera naturellement, d'une manière extrêmement approchée, si les portions de tiges, qui occupent les intervalles des endroits où les forces agissent comme isolément, ont des dimensions transversales très petites par rapport à leurs longueurs, avec des sections ne variant que continûment et lentement, et si dans ces mêmes intervalles elles ne sont sollicitées que par des forces, aussi continues, dont la somme totale n'excède pas les forces isolées ou disconti-

190 CHAI'. II. — CORPS CYLINDRIQUES ExN GÉNÉRAI..

nues s'exerçant aux extrémités de chaque portion ; forces dont, au reste, le mode de distribution pourra être à peu près quelconque si l'on excepte, de la conclusion énoncée, de très petites longueurs de la tige auprès de leurs points d'application.

J7. — Cette manière de justifier l'emploi assuré, dans la pratique, comme suffisante approximation, des formules analytiques d'extensions, flexions et torsions, seules ou combinées ensemble, et qui est fondée sur.ee qui peut être tiré, non seulement des équations d'équilibre, mais, en même temps du principe du potentiel, ou. du travail toujours positif des déformations élastiques à partir de l'état où il n'y a aucune tension, me paraît être la meilleure et la plus complète qui en ait été théoriquement donnée.

Il est facile de voir qu'elle n'est pas, au fond, aussi compliquée à beaucoup près qu'on pourrait le croire, d'après le développement que nous avons cru devoir donner à son exposition.

Et puis, il faut remarquer qu'elle comprend la démonstration, essentielle pour tout ce qui suit, de (o) £; = Jl> + $>x-\- $$, c'est-à-dire de la linéarité en x, y, des dilatations longitudinales à travers chaque section. Cette formule (o) est une suite cinématique du point de départ, ou de cette supposition^), [l), c4-, P.. V &" S J = 0v «; (g«,gj = 0, aussi cinématique,

qui résulte, comme approximation, de la structure même de ce corps allongé qu'on appelle une tige.

Elle conduirait, on peut le voir, cinêmatiquement aussi, à l'expression

(65 a) de c-7- en .r, y, :■ et six constantes a, av a2, blf b2, b (dont la dei-

nière s'annule), et, par conséquent, à l'expression (64 c) du déplacement w,

en sorte que nous aurions pu poser cette expression (o) de?, déjà au g 22.

c'w Mais dès qu'il s'agit de déduire, de -7-, les deux autres dilatations

^r—~, -s =^-> ou de prouver qu'elles égalent ö = V multipliée par x ( x ■' c/y ( z

la fraction n, et, par suite, de montrer que la composante longitudinale de

tension t.. est égale à -~- multipliée par une constante E comme si chaque

fibre était isolée, ou libre de toute action transversale sur ses faces, cela exige qu'on sorte de la cinématique, et qu'on démontre d'abord la nullité au moins approchée de trr, tyy, txy partout comme sur les faces latérales. Il a fallu, pour y arriver, mettre en jeu les équations d'équilibre extérieur [q] et les combiner avec celles (r) de l'équilibre intérieur par une intégration dans toute l'étendue d'une section a amenée parune transformation à une intégration pour son contour s; et il a fallu aussi mettre en jeu le principe du potentiel d'élasticité toujours positif, partageable en carrés; en sorte qu'on ne voit pas comment une démonstration du résultat (.r) pourrait être réduite à des termes sensiblement moindres.

g 29. — DETERMINATION DES CONSTANTES DU TROBLÈME DES TIGES. 191

l 29. — Détermination des constantes du problème général du § 22, d'une manière plus propre aux applications.

On voit, d'après ce qui précède, que la valeur des constantes b0, av bv a,, b,, pour un système donné de forces, dépend de la fonction Q (§ 25, 64c), dont la forme ne peut pas être déterminée d'une manière générale, bien qu'on puisse la trouver pour un grand nombre de formes particulières de sections transversales.

Mais, ce qui est très remarquable, et de la plus haute importance pour cette théorie, c'est que, sans connaître la fonction Q, on peut déterminer d'avance, et d'une manière tout à fuit générale, la valeur des deux intégrales

en s'appuyanl seulement sur les conditions auxquelles doit satisfaire la fonction Q. Cela s'opère au moyen d'un procédé d'intégration partielle analogue à celui dont il a été fait usage aux §§ 16, 20 ou 24 pour d'autres circonstances, Exprimons l'élément de surface da par le petit rectangle dxdy; nous

aurons / ■srda= // ^p dxdy. Intégrons partiellement, à savoir

J c X JJ c X

dans l'étendue superficielle d'une bande infiniment étroite, ayant ses deux bords parallèles aux x, avec une largeur dy, et en prenant, pour

le facteur à intégrer, dx et non pas -^ dx semblablement à ce que

nous avons fait, aux §§ cités. En désignant les points extrêmes de la bande par les indices 0 et 1 placés au bas des quantités relatives à ces deux points, nous avons :

Maintenant, comme Q satisfait à l'équation

C il C Ü ç.

nous pouvons remplacer le dernier terme

Effectuons l'intégrale prise par rapport à y sur toute la longueur de la droite parallèle aux y, ayant x pour abscisse, qui traverse la section, et désignons par les indices 0 et 1, placés comme des exposants, les quantités relatives aux extrémités de cette droite. Nous aurons :

/rf,/g*=/J(«g),-(«g),jfc

C cil

Mettant cette expression à la place du dernier terme de / — da, terme dont nous voyons qu'elle donne la valeur, nous avons :

La première intégrale du second membre doit s'étendre à toutes les bandes superficielles que l'on peut découper dans la section, parallèlement à l'axe des x, ou, ce qui revient au môme, sur tous les éléments d'arc, qui sont découpés deux à deux par ces bandes sur la périphérie de la même section. Si, ds étant un de ces éléments d'arc, p est l'angle que fait avec l'axe des x la normale à cet élément, dirigée vers l'extérieur; enfin, si/>0 désigne'cet angle pour le point x0 et de mêmep, pour le point xv on a évidemment :

dy = dsy cos pv = — ds0 cos p0 ;

par conséquent, la première intégrale est égale à

j (^C0S^)//Sl + J ('7^cos^)o'/s°;

c'est-à-dire, si l'on considère successivement tous les éléments ds de la périphérie, que cette première intégrale est égale à

r il

x-r— cos pas.

De même, la deuxième intégrale devient égale à

x — sin /; (h , ( x

el, par conséquent, on a :

j n ,h = ff n ,lnhj '- j x (as cos ? + % sin p )d°-

Y : i bnx +