CHAI'. II

On arriverait évidemment à une formule tout à fait analogue si l'on changeait partout x en y et réciproquement. Si donc on remplace enfin dxdy par (h, on aura les deux expressions suivantes :

,X 0.xT

J ' •'' J \ Cï

J ( Il

.yl

V J \dx t fi

En introduisant, dans ces expressions, les valeurs (84) de X et de Y, on ne trouve, dans les seconds membres, que les cinq intégrales suivantes auxquelles nous attribuons, vu le choix des axes, les valeurs trouvées ci-dessus (80), (81), (82), savoir :

l xda — 0, iydar=-0, (xyda—b, j #V<r=>2e On a donc enfin :

ffä.

-, — (le

Ces expressions, remarquables en elles-mêmes, donnent aux cinq premières équations (83), p. 174, la forme des cinq premières suivantes, extrêmement simples, parce que G, n, / s'en trouvent complètement éliminées. Nous y ajouterons la sixième (85) simplement reproduite, parce qu'elle n'est pas susceptible de pareilles simplifications,

— bJ-J-hM-h

B' ~ EXs<r

1 Ci '< LL

5i) ) ir -

bm-

3nja

dans la dernière desquelles on peut mettre pour bit b^ leurs valeurs en A, II.

Ce qui caractérise ces formules, c'est, que a dépend seulement de la composante totale C, dans le sens z, des forces extérieures; que bt dépend de celle A; or du moment B'; l>.v de la composante B; enfui, a,.

NOTE DU ij l20. — DÉMONSTRATION DIRECTE DES FORMULES 86. 195

du moment A' |§ 28, notations (78a) et (786)]. La dernière équation seule eontient toutes les grandeurs à l'exception de C, B' et A'. On peut interpréter ce résultat par le théorème suivant :

La composante des forces extérieures dirigée suivant l'axe longitudinal ne produit que V extension. La composante dirigée parallèlement à la surface d'extrémité et suivant un axe principal, jointe au moment de rotation par rapport à Vautre axe principal, produit une flexion dont le plan passe par le premier axe principal; cette flexion est généralement accompagnée d'une torsion. En fin (*) le moment de rotation des forces extérieures par rapport à l'axe longitudinal ne produit que la torsion (**).

D NOTE FINALE DU g 29.

1 . — On peut démontrer simplement et directement les cinq premières (86), ou, ce qui revient au même, l'expression (a) suivante qui résulte de leur

substitution dans (05 a) p. 147 avec (70 a) p. 156, 2 23 : -t— = <y -f- a. .<■ -f- a, y

-+-:■ (brc -\-b,y), et où t.. représente la tension longitudinale à travers

l'unité superficielle d'un élément d'une section quelconque, ayant l'abscisse

longitudinale z = z' :

cw C B'— As' A' + BV

t.- = E — = —TT— X i -TT— '/

On a, en elfel, comme il a été trouvé, pour -^ et par conséquent pour t.., une expression linéaire en ,'• et y, ou de la forme

(b) t^Jb+SBs + fl^y .

(voir, Note de la fin du § 28, expression (o), p. 186).

Multipliant successivement par der, xd<r, ydtr, et intégrant pour tonte l'étendue de la section, on obtient trois équations d'où l'on tire Jb, .l)?>, Si, ce qui donne en substituant dans (b) :

JXJo fCrrh flydo

J x-da fll~da

(*) En effet, les deux dernières intégrales du premier membre de la sixième équation (86), dans le premier terme de laquelle est engagée la torsion b0, sont affectées de d,et de £.,, et par conséquent des deux efforts tranchants A et B, qui contribuent aussi, avec les moments A', D', aux flexions. Mais, lorsque les sections sont symétriques par rapport à leurs deux axes principaux d'inertie, ce qui a lieu le plus souvent, et ce qui rend nulles les quatre intégrales J^ (.<■'% y~\ xy-, xy-j (h (voyez g 50), et aussi lorsque A et B sont nuls, eu sorte que la flexion n'est duc qu'aux couples A' et B', le premier membre de cette sixième équation (86) se réduit à ses deux premiers termes à parenlbèses binômes, et la torsion b0 ne dépend que du seul moment C des forces autour de l'axe longitudinal des z. [Voyez § suivant, 30, après l'équation (87).]

Or, considérons l'équilibre de la porlion de tige comprise entre la section z = z' et la section ou base libre z = l. Son équilibre de translation clans le sens z exige que la résultante des

forces élastiques longitudinales / t'zzde qui agissent sur elle à travers la

section z = z', soit égale à la résultante des forces extérieures de même sens ' agissant sur la base libre : on a donc déjà

/ t'Jb=i

Son équilibre de rotation autour d'une parallèle aux y, tracée sur la même section z = z', par le centre de gravité de celle-ci, exige que le moment

\.xd<r des forces élastiques intérieures, autour de cette parallèle, et tendant à faire tourner de z en x, soit égal, au signe près, au moment de même axe et de même sens des forces extérieures agissant sur la base libre : or ce dernier moment est égal à celui des mêmes forces extérieures, autour de l'axe des y tracé sur la base fixe z = 0, moment qui a été appelé B\ moins le produit de z', différence de leurs bras de levier, par la somme, appelée A, des forces agissant dans le sens des x sur la base libre. Donc

On démontrerait de même, par l'équilibrj de rotation autour d'une parallèle aux x tracée sur la section z = z' en ayant égard au sens de la rotation qui a été supposée (§ 28) de y en ? pour le moment A', qu'on a

(/') / ïuyda=:k' + to .

1/ expression (a) coïncide donc avec celle (c), et se trouve démontrée, comme on voit, d'une manière directe, ainsi que les cinq premières expressions ou équations (86), sans faire intervenir la fonction uni les coefficients G, n, et sans passer par les transformations d'intégrales au moyen desquelles l'auteur les élimine.

2. Il est bon de montrer qu'on arrive au même résultat, et aussi à un autre, fort utile et plus général, en posant l'équilibre de rotation d'un simple tronçon de tige, de longueur dz, compris entre deux sections o- et <r' ayant les abscisses z et z -\-dz.

En effet les forces élastiques ou intérieures longitudinales \.jh et

— (*»•+■ -jr^dzj d(T, s'exerçant sur ces deux sections égales, se corapo-

sent en forces »- dzdtrt qui, si l'on prend les moments autour d'une

parallèle quelconque aux x, tracée sur la section a, agissent, pour faire