SECTIONS TRANSVERSALES SYMÉTRIQUES

traire, sinp est impair en y et. pair en x\ car si l'on passe d'un point (x, y) de la périphérie au point qui a pour coordonnées x et — //, p se % change en — p, par conséquent cos p en cos p et sinp en — sin p. Si, au contraire, on passe ou point qui a pour coordonnées — x et y, p se change en (180° — p); par conséquent, cos p en — cos p, et sin p en sin p. On reconnaît alors facilement que les seconds membres des trois dernières équations (70), page 154, sont respectivement :

impair en x et y,

impair eux et pair en y, pair en x et impair en //.

La môme chose doit donc avoir lieu pour les premiers membres des mêmes équations (70), § 24. Si, de plus, on observe que lorsqu'une fonction est paire par rapport à une variable, son quotient différentiel, par rapport à cette même variable, est impair et vice versa, on voit que les premiers membres des équations (70) dont il s'agit satisferont aux conditions de parité et d'imparité qu'on vient de dire si l'on admet :

B0, impair en x et //, Bl , impair en x, pair en y, B.2, pair en x, impair en //.

Cela est entièrement compatible avec les équations 0= tt-?0 +- -?— p • • •

ou (69) de la page 154, § 24.

Si on met dans la dernière équation (86), § 29, page 194, la valeur de Q [(68a) de la page 155, avec b nul, comme on a vu, équation (70a)],

on reconnaît que l'intégrale suivante, entrant dans cette dernière équation (86),

C il ( il \

se trouve divisée en trois parties multipliées respectivement par b0> br br Et, en vertu de ce qu'on vient d'énoncer, celles de ces trois parties qui sont multipliées par bL et par 62 disparaissent lorsque la section est symétrique, en sorte qu'il ne reste que l'intégrale multipliée par b0,

pour laquelle la fonction à intégrer devient paire aussi bien en x qu'en y. La dernière équation (86) du § 29 se réduit donc à la suivante, où C est, comme on sait par les définitions (78a) du § 28, le moment total des forces extérieures autour de Taxe des z :

Ainsi b0 ne dépend, dans ce cas de symétrie des sections, que du moment de rotation C des forces autour de l'axe longitudinal passant par leurs centres; de même, ainsi qu'il résulte des autres équations (86), sans que cette symétrie ait besoin d'exister, as et ai ne dépendent que des deux autres moments A', B', et bv b.2, a, des composantes A, B, C des forces extérieures. On voit ainsi que : Y extension, les flexions dans les deux sens principaux, et la torsion, constituent quatre problèmes complètement distincts ; car la torsion qui accompagnait la flexion dans les cas de non-symétrie des sections, n existe plus. . Revenant aux flexions, et supposant les sections symétriques, nous pouvons maintenant, au moyen des équations (75a), page 160, représenter l'action de la force A s'exerçant dans le sens transversal x, et du moment B' agissant autour d'une parallèle aux y, force et moment qui, ensemble, produisent une flexion simple, lorsque dans ces équations (75a) on remplace, par leurs valeurs (86), les constantes at, br

WD / c n

Puisque #t est pair en ?/, -j— *est impair, et par conséquent ( -7-1

s'évanouit comme toute fonction impaire dont la variable s'annule. 11 re^te alors :

E^-B'1^-^" AJa' i n^'2-^ J^\ } Etr\*.v = t)xy(b'—Az) ,

GKrml *s /e \yn

ff^=ËÀ[^-(I-,>)^]' <rX».t„=(A*— W)x.

Dans le cas que l'on considère le plus ordinairement, la flexion

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simple est produite par une force A supposée agir au centre de gravité de la seclion libre. On a donc encore dans ce cas

B' = kl ;

les trois premières équations et la dernière du système précédent deviennent alors :