ES W

Il est remarquable que la section transversale particulière dont il a été question au § 24, et dont les éléments superficiels n'éprouvent aucune tension dans le sens longitudinal z de la pièce, c'est-à-dire la seclion pour laquelle t = 0, coïncide ici avec la section d'extrémité libre (z = /)(*). Dans ce cas, la lige est divisée par le plan longitudinal ?/:■ en deux parties dont l'une n'éprouve, dans la direction longitudinale z, que des extensions, et l'autre, que des contractions. Pour la section ou base libre, sur laquelle z=l, on lui reconnaît cette propriété que u et v y sont indépendants de x et de y (**), c'est-à-dire que les points de celte section sont déplacés en avant ou en arrière du plan qu'elle occupait primitivement, mais ne sont pas déplacés dans la surface elle-même.

La flèche de la flexion (u pour z=l)

dépend de la forme de la section transversale, mais seulement à un très faible degré. Car le second terme entre accolades dépend sans doute, comme J5t lui-même, de la forme de celte section; mais précisément à cause de cette dépendance, il n'entre dans son facteur ( -c- i j

(*) L'auteur parle ici de la section traversée par l'axe de la pièce à l'endroit où cet axe a un point d'inflexion, dont nous avons parlé à une note, p. 103, vers la tin du g 26. (") Même, v est nul sur cette section z = l.

que des termes de l'ordre de grandeur des dimensions transversales. Or, ils se trouvent multipliés par la première puissance / de la longueur; si donc, comme cela a lieu généralement, les dimensions transversales sont petites par rapport à la longueur de la tige, le second terme entre accolades est très petit par rapport au premier qui contient

la troisième puissance de la longueur. Aussi, c'est ce premier terme, = >

qu'on obtient seul dans la théorie ordinaire.

Les formules relatives à la torsion se simplifient aussi un peu. Car, comme ß0,qni entredans les formules(7o6) du commencement du S 27, est impair aussi bien en x qu'en y, les quotients différentiels de cette fonction sont aussi impairs pour l'une ou l'autre de ces deux variables.

Par conséquent (-ër) et ( — °) qui représentent, suivant noire

notation, les valeurs de V-^et V^pour .r = 0, v = 0, sont nuls; et on ex cy

peut déduire de ces équations (756) les suivantes, dans lesquelles b0

doit avoir la valeur donnée par la formule (87) :

Ces résultats ne modifient en rien les considérations précédentes. Seulement, la fibre non déplacée par la torsion coïncide alors avec la ligne des centres de gravité des sections.

§31. — Détermination de la fonction u du c 23 pour une section transversale elliptique.

Dans tout ce qui précède, il reste toujours à déterminer certaines fonctions, et cette détermination doit être faite en particulier pour chaque forme de section transversale. Je vais en donner un exemple pour une forme simple. Considérons le cas où la périphérie de la section transversale est formée par une ellipse, ce qui donne bien une section symétrique par rapport à deux axes perpendiculaires l'un sur l'antre. On détermine facilement, dans ce cas, les fonctions B0, Bv Bt. Remarquons d'abord que l'équation différentielle de la forme

ii = K-!i »

=GH-" + rf)

v = —b0zx,

à laquelle ces trois fonctions doivent satisfaire, est vérifiée si Ton y remplace 9 par la somme d'une fonction quelconque de (x -+- y y/— T) et d'une fonction quelconque de (x — y\/— l), c'est-à-dire si l'on y fait :

9 = f Cr + V \/=r^) + F [x — y \/=T) ,

ce qui se démontre en effectuant les diffôrentiations.

Par exemple, cette équation différentielle est satisfaite par une somme et une différence de puissances égales de (x-\-y\f — l) et de (x — ysj — l) multipliées par des constantes quelconques. Si l'on écrit cette somme et cette différence successivement pour chacune des puissances 0, 1, 2, 5 et si, après avoir multiplié chaque fois par une

constante quelconque, Ton additionne toutes les solutions ainsi trouvées, on aura l'expression suivante qui vérifie l'équation différentielle, ainsi qu'on peut s'en assurer directement :

+ «. (,,--' 3,>7/2) + p3 (y3 — 5 yx*)

+ otj (.rv — iîxhj* -f- y'*) -+- ß4 {\.f'y — 4,r//" )

Chacune des fonctions B0, Z?1? 2?2 est contenue dans cette forme générale, ainsi qu'on le verra plus loin.

Supposons l'ellipse qui limite la section transversale représentée par l'équation

de sorte que m et n soient ses demi-axes. En différenciant cette équation, on trouve, pour la tangente trigonométrique de l'angle formé avec l'axe des x par la tangente à la courbe

dy m2

dx y

et, comme l'angle formé par la normale tirée extérieurement, que nous avons appelé p depuis le § 5, diffère de cet angle-là de 90° seule-

ment, on trouve pour l'angle p de la normale avec l'axe des x

JL 1 n2

tangp= s- = — ,

dy x

dx m1

ou

il x sinp : cosp= —, : • — ,.

Les conditions de limite (70), page 154, qui doivent être salisfailcs en tous les points de la périphérie, deviennent par conséquent, en omettant la première ou celle en B qui, comme nous avons démontré au § 24 [équation (70a) b— 0], ne doit point subsister :

x0B.yWo m/\ 1\ H

m% dx n2 dy

ni2 ( x

n- (ij

ya*

w,+ r— ;)9 )xy

llt-

(*) On se rappelle sans doute que la fonction Q de x, y, à ajouter à des termes entiers des trois premiers degrés en x, y pour composer la valeur (65), § 25, du déplacement w des

g)ÏQ g)2Q

points dans le sens s, fonction astreinte à satisfaire à -7r-s 4- -7 — - =0 pour tous les points,

dx- Vy-

et, pour ceux des faces latérales du prisme, ou de la périphérie des sections, à l'équation (07)

de la fin du même § 25 (exprimant que gzxcosp-\- g sinp y est nul), a été partagée par

l'auteur au § suivant 24, expression (08 a), en quatre autres fonctions B, B , B , B , affectées

respectivement, comme multiplicateurs, des quatre constantes arbitraires b, b ,b , b , qui

entraient dans cette équation définie (07); de telle sorte que la somme bB-\-b B +b B

-4- b B , mise pour ß dans l'expression de w, lui donne toute la généralité que comporte

la question des petites déformations de la tige sollicitée sur ses bases libres par des forces

ayant une résultante et un moment résultant quelconques donnés en intensité et en

direction.

On peut se souvenir aussi que l'auteur a reconnu : 1° même § 24 (70 a), que b ne peut. être que nul, ce qui réduit le partage à ne plus être opéré qu'entre trois fonctions B , li , B ; 2° au §26, que la fonction B doit entrer dans l'expression (65) de iv quand le prisme est fléchi autour d'un des deux axes principaux d'inertie de la section dont les points éprouvent ce déplacement longitudinal; et (fin du moine $ 26) la fonction Ba quand il est fléchi ou en même temps, ou séparément, autour de l'autre axe principal (et dont des formules (80) du S 29 ont donné les multiplicateurs b , b ); 5" enfin, au commencement du § 27, que la fond ion B^ y entre quand il y a une torsion, et que la constante b représente l'angle de celte torsion par unité de longueur du prisme.

Ainsi Clebsch suppose, dans le g 51 actuel, que le cylindre à base elliptique d'axes S m,

On voit alors facilement que ces trois équations sont satisfaites si, conformément à l'expression (91), on pose:

Par conséquent, l'équation qui sert à déterminer B0 deviendra

Quanl aux équations servant à déterminer^ et />,, on les modifie en

x^ ÎJ^

multipliant les termes du premier degré par — ; + ^j, qui, pour la périphérie, est égal à l'unité. On a ainsi les équations suivantes, homogènes en x et y :

*r (^- f\ * ( , Wo ■''!' ^+ (g-5* V* /E w

ro»| V»' »7 V /J ni 2m2 ^\G 9^ nä '

S[*e^fr-*)]-*g- \ ' +<H3.

Et si, dans ces équations, on égale entre eux les coefficients d'égales puissances, on obtient les équations suivantes pour la détermination

2 n, est à la fois fléchi autour de chacun de ces deux axes transversaux, et tordu autour de l'axe longitudinal ou des z.

Ses sections transversales primitivement planes éprouvent, par suite, (rois gauchissements qui se superposent, et qui peuvent être regardés comme représentés par les trois équations (91 b) ou (91 c) ci-après en mettant, dans les premiers membres, le petit déplacement longitudinal w au lieu de BQ ou B i ou B^. Le premier de ces gauchissements est en paraboloïde hyperbolique, comme je l'ai reconnu en 1847 (Compte rendu 10 mai, p. 847) ; les deux autres sont en surfaces du troisième degré, ainsi que je l'ai trouvé aux n0' 18 et 21 du Mémoire sur la flexion cité ci-dessus, lu le 10 juillet 1855.

Mais ces secondes parties du gauchissement, liées aux flexions et dues aux fonctions B , B sont, comme le reconnaît l'auteur, le plus souvent négligeables, en sorte qu'il n'y a généralement à considérer que la première partie, liée à la torsion et due à la portion bB de tv.

206 CHàP. II. — ■ CORPS CYLINDRIQUES en général

de 7P a., ßt, ß, :

ûa-

on

ce qui donne les valeurs

at = m1

fr=n*

äs— >r

öm2-t-w2

6 (om-'H- »*) ,G

2^ — oi) ) n2 H- (^ — 5n)/><2

De sorte qu'enfin les fonctions #0, i^, i?2 se présentent sous les formes suivantes :

>n- — ri1

w{§m2+(|-^n^-[(2i-^)mâ+{|-^)K2] ~<r^

( fii =— ! — J .w + "' = ;

on- -+- m2

La seconde de ces expressions, différcntiée, donne, en taisant ensuite .r = 0, // = 0 ,

■»■[gM'+(g-.))«']

formule qui peut servir à vérifier le fait énoncé ci-dessus, que celle quantité est en général très petile par rapport à P cl n'a qu'une influence insignifiante sur la flèche de la tlexion.

La surface en laquelle se transforme, après la tlexion, la section

transversale, a pour équation, z' étant la coordonnée z après les déplacements,

équation qui porte le n° 75 au § 25, où il a été dit que, dans :•' = : -f- w, l'on peut, en ne commettant que des erreurs du second ordre de petitesse, remplacer w par w' qui est ce que devient l'expression [telle que (65) ou (81))] de ce déplacement, lorsqu'on y remplace les coordonnées primitives X, //, par les coordonnées ultérieures x' , y'.

Cette expression devient, en mettant pour w' la valeur tirée de (89), pour le cas où la flexion est produite par des forces qui ont une résultante A agissant au centre de gravité de la surface d'extrémité libre :

/nE „ \ , /E \ , 2 -q - on I m1 -H ,- - on »*

Cette équation, oùz- est une constante, représente en ;r', y', z' une surface du troisième ordre (*) qui est symétrique par rapport au plan de flexion x', z', puisque y' n'entre qu'au carré, et qui est coupée suivant des paraboles par les plans parallèles à l'axe longitudinal et perpendiculaires à celui de flexion. En effet, pour x' = constante, qui est l'équation de ces plans parallèles, l'équation précédente n'est plus qu'entre z' qui y figure à la première puissance, et y', qui y figure à la seconde.

On traitera plus loin du calcul des grandeurs ■/., X des rayons de gyration. Il suffit de remarquer qu'ici l'on a

^ = \fl '■ — 9 ( )

(*) C'est ce qui a été trouvé au Mr'm. sur la flexion, Journ. Liouville, 1850. Voir form. (55), (54), (61).

(") Un moyen très simple d'obtenir les deux moments d'inertie, et, par suite, les rayons de gyration d'une ellipse autour de ses axes principaux 2 m, 2«, est de déterminer d'abord le moment d'inertie du cercle de rayon m autour de son centre. C'est, rf.nr2 représentant la surface d'une couronne comprise entre deux cercles intérieurs de rayons r et r + dr,