TORSION D'UN CYLINDRE A BASE ELLIPTIQUE
et, par conséquent, le moment dit de torsion, c'est-à-dire le moment appelé C\ des forces tendant à imprimer une rotation du cylindre autour de l'axe des z, a la valeur suivante s'il est capable de produire
une torsion j par unité de longueur,
/ mï + n* ou bien, en mettant pour n sa valeur rjnn :
v ml m1 ■+■ n* [ '
11 Y a lieu de remarquer le dernier facteur — r~, — :• Il diffère de
vi- -f- W
celui qui est usité dans la théorie ordinaire :
La différence entre ces deux facteurs n'est pas considérable lorsque les deux axes de l'ellipse sunt très peu différents, cl elle disparaît pour le cercle. La longue adoption de cc'ui-ci s'explique si l'on considèie que la théorie ancienne a été établie pour le cercle seulement, et qu'on a cru ensuite pouvoir l'étendre à d'autres formes de sections transversales; mais, en fait, cette théorie ne peut donner des résultats même approches que pour des formes qui s'écartent très peu du cercle.
L'équation des sections transversales déformées devient :
*' = ,3 + w' = Z -f- g--- x'ij
(x<t nvn2
Pour le cercle, c'est-à-dire lorsque m = n, elle se réduit à z'=z, et, par conséquent, la section transversale reste plane. Mais, en général,
(*) Ce moment C est ordinairement appelé M .
Si l'on fait a (*2 + ).-) = IQ, qui est le moment d'inertie, dit polaire, de la section 7 autour de son centre, l'on a pour le moment de torsion, quel que soit le rapport des deux demi axes m et n de la base elliptique :
M » =a G T . — - — = environ G - — .
/ 47râl0 59,48 ll0
Or, j'ai trouvé pour des sections rectangulaires, triangulaires, en double spatule (comme celle des rails), et même en secteur de cercle plein ou évidé, etc., que le moment de torsion était encore représenté par cette formule sans qu'il y ait jamais erreur de plus d'un treizième
Ses résultats sont loin de cadrer avec la formule ordinaire G 1 10 [Comptes rendus, 27 janvier 1879, p. 142), fautive comme on a dit.
l'équation ci-dessus représente une surface du second ordre coupée suivant des lignes droites par des plans parallèles au plan xz et par des plans parallèles au plan yz. Celte surface est donc un paraboloïde hyperbolique qui a un système de génératrices rectilignes parallèle au plan xz- et un autre parallèle au plan yz (*).
C) NOTE FINALE DU g 3 I .
1. Effet du gauchissement des sections non circulaires'. — Ainsi que je l'ai montré dès 1843 (*), ou avant d'avoir trouvé les formules de la torsion du prisme rectangle et du cylindre elliptique (**)} c'est parce que les sections planes transversales se gauchissent lorsqu'on tord certains evlindres ou prismes (et on sait maintenant que ce sont tous ceux dont la section n'est pas circulaire), que l'on ne peut pas, sans commettre une erreur souvent très grande, appliquer la formule de la théorie appelée ordinaire par
Clebsch, pour la détermination de la torsion j que ces corps éprouvent sous 1 action d'un couple ayant un moment M~; formule ancienne qui est M- = G^ I r-th; I r2dcr désignant le moment d'inertie polaire j (x*-\-y-)d>7
de leur section autour de son centre de gravité, et G = -pr—, étant le
coefficient d'élasticité de glissement ou de réaction élastique langenlielle de la fin du \ 3.
2. Fondement, souvent erroné, de la formule ordinaire du moment de torsion, exacte seulement pour le cylindre à base circulaire. — Cette formule dite ordinaire se base essentiellement sur ce qu'on croit les sections encore planes après la torsion; en effet, si Ton considère une quelconque des fibres, distante de r de l'axe passant par le contre de gravité des sections, le rayon vecteur r de l'extrémité de celle fibre sur la base libre a tourné d'un petit angle -A, Celle extrémité a donc cheminé d'un petit arc r^, •tandis que l'extrémité sur la base fixe est resiée immobile; d'où il suit que tous les éléments de cette même fibre, de longueur /, devenue une
hélice, se sont inclinés d'un petit angle |> sur des parallèles à l'axe de torsion, et que les fibres font maintenant, avec les éléments superficiels des sections qu'elles traversent, des angles ^ — Jrt qui ont des cosinus
(*) Comptes miftiis, t. XVII, 50 octobre, p. 945 o( 20 novembre, p. I I8S (il n'y n pus lieu de s'arrêter aux parties de celui du 20 novembre où il est question d'un prisme à !>asc losange) C'iT. XXIV, 22 mars el 10 mai, p. 48 et H 88.
NOTE DU sj 51. — TORSION D UN PRISME A BASE QUELCONQUE. 21 J
jr si les sections sont restées planes et normales à l'axe. Il en résulte bien,
d'après le § 5, page 10, sur un élément cfo de section, un glissement g = - r,
et une composante tangentiellc de traction Ggcfo = G f nh, ayant, autour
de l'axe, un moment G j-r2 du; d'où, pour l'égalité de la somme de ces moments à celui M, des forces extérieures, la formule en question
[a) }L = G t f rhh = G | f [fff + ,f) dp ,
qui a été donnée en 1784 par Coulomb (Recherche sur la force de torsion, au volume des Mémoires des savants étrangers paru en 1787), pour les cylindres à base circulaire, les seuls pour lesquels elle soit exacte.
Mais, si les sections ne restent pas planes, les fibres, toujours devenues hélicoïdales et inclinées de j-r sur l'axe ou la fibre centrale et immobile, ne font plus, avec les éléments de chaque section, ces angles dont le cosinus a pour valeur - r.
5. Incurvation des sections, surtout aux angles. — Même, si le contour de la section a des angles saillants, par exemple, si elle est carrée ou rectangulaire, on démontre (voyez au n° 7 ci-après) que les éléments superficiels
occupant ces angles s'inclinent justement de j-r sur leurs anciens plans, en
sorte qu'ils restent normaux aux fibres correspondantes, qui sont les arêtes vives du prisme. Il n'y a donc pas de glissement en ces endroits; on y a g=rfj, et les tractions tangentielles Gg par imité de superficie y sont nulles. Aussi le vrai moment de résistance élastique à la torsion, des prismes à section non circulaire, est-il toujours moindre que ce que donne la formule
connue M. = G j J rhh ; et la vraie valeur de la torsion %, produite par des
forces ayant un moment donné M., est toujours plus grande que ce qu'on tire de cette formule ancienne.
4. Situation ordinaire des points dangereux dans les sections non circulaires. — De plus, après avoir donné, en 1847 (mêmes Comptes rendus) les formules de la torsion du prisme rectangle et du cylindre elliptique j'ai reconnu (Mémoire de 1855) que les points dangereux, où l'inclinaison & de la fibre sur la normale à l'élément de section qu'elle traverse a cette plus grande valeur qu'il faut renfermer dans une limite (voyez note finale du g 57 ci-après) se trouvent généralement aux endroits les plus rapprochés de
l'axe de torsion; tandis que d'après la théorie usitée, ces points seraient aux endroits les plus éloignés ou ayant le plus grand rayon vecteur. Cette théorie, fondée sur une fausse extension de celle de Coulomb à des cylindres autres que ceux à section circulaire dont il s'est exclusivement occupé, est donc, sous un double rapport, propre à inspirer une fausse sécurité, et doit être abandonnée, surtout pour les sections allongées, les sections en croix de Malte de pièces à côtes ou à ailes, etc.
5. Équations de la torsion d'un prisme à base quelconque. — C'est en étudiant la solution du problème de la torsion du prisme rectangle, tentée en 1829 par Cauchy, qui a adopté, depuis, la mienne (Comptes rendus, 20 février 1854, t. XXXVIII, p. 526), que j'ai aperçu pour la première fois, en 1845, la nécessité du gauchissement, par la torsion, des sections transversales autres que le cerc'e. M. Clebsch a bien voulu m'écrire qu'il regrettait de n'avoir pas donné dans son livre, comme deuxième exemple, après la torsion du cylindre elliptique, celle du prisme à base rectangle. Je crois remplir son vœu en la donnant succinctement ici, sans supposer, comme l'auteur a cru devoir le faire pour le c\lindre elliptique, des flexions simultanées qui, ici, et sans utilité, amèneraient des complications plus grandes.
Reprenons les formules de la fin du § 50, p. 202, applicables à des sections de toute forme :
u = b0zy , \,., = GbJy+^ l V <■<
(b) (90 reproduite) v = __Kzx f ^ = fi/,o fv ?M .
