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U ~ Ä V a2 <r a ^ c a} o ß/ ^ B V p3 £ß "*" rcf 9$) "*" 1/ .c2 "*" ^ //V '

D'un autre côté encore, en différentiant par rapport à a et à ß les équations (100) et (101) dont la seconde est une conséquence de la condition d'orthogonalité (95) des courbes, on a

c 'x '< x c -// vy i Bk

~ l ' ' ~+~ ô i "çT ' Zï ~ >

c a- c a. aar Va. 1er/.

t lx c x c -// '( y 1 c\j

IpTl~hWfi'ü~z2Wp ;

Pxvx , êPy$i Idx d*x dy d*y \ i-8k

l a2- c p + ï «? c ß ~ \c a i aüp ~*~ &* c ttl p) ~ 2 o ß ' Vsx dx (2!J(!I (Bx ( '■■■ fy c^y \ 1 c' B

r^ri^n^""- v^#^+#ß«ßj~ ~2Z^ ;

et, en introduisant ces valeurs dans les deux équations précédentes 0=£ (....) -H....» on trouve, pour les coefficients binômes cherchés,

vx9- + 8y*~ 2A\B^i kv*)'

;^ f-ß i /ta i ^b>

é-p fr'P 1 / 1 ffA 1 g;H\

i^ "^ cr .v2 ~~ 2b vi rp — b ^pj

On a donc, pour le premier membre de l'équation (95 a) en B0 (sans qu'il soit besoin que B0 la satisfasse, ou que ce premier membre soit égala zéro), l'expression suivante :

?% ê%\ c%, \JJB, J7I [Ç 1 {AN £K , ± /* {A I il\ ®J** • [y + [y1 — A #«» + B #ßs + 2A \B c « A du) d% + 2B \A / ß B 6 ,0/ i 3 '

ou, ce qui revient au même

( 1 02) ^o +2ßo = J ( u / /b ^b„\ , ; / /Ä * ß0 , ,

On peut donc énoncer le théorème suivant qui résume les résultats de ces transformations, et qui trouve, dans un grand nombre de cas, une application avantageuse :

Si a, ß sont deux fonctions de x, y, telles qu'en les égalant à des constantes, elles représentent des courbes qui se coupent toujours à angle droit, et si Von fait, \formule (100)],

H^HD!; B=(tM);=

on a alors, B0 étant une fonction absolument quelconque de x et de y, la relation (102) entre ses quotients différentiels par rapport à x, y et ses quotients différentiels par rapport à a, ß. En sorte qu'on peut remplacer une équation telle que