EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES
Si dans cette expression de ds2 on introduit les valeurs de dx, dy en fonction de dct, c/ß, savoir :
, < ' , ex ,„
on voit que le coefficient du produit dadß s'évanouit à cause de l'équation (101), conséquence de la condition d'orthogonalité (95) ; et en écrivant A et B à la place de(^j +(r^) et(-J;) -t- (^ J suivant les notations (100), on obtient
(104) ds* = kd*i-+-Bdp*.
Ainsi A, B sont les coefficients de dar, dß2 dans l'expression du carre' de Vêlement linéaire.
Dans ce qui précède, ou a déjà fait la remarque que si, à partir du contour de la section transversale, on avance dans la direction de la normale, a change seul, tandis que ß reste le même, ou que c/ß s'évanouit. Le trajet désigné par e au commencement du §, et dont on avance dans cette direction, a donc pour valeur, d'après (104),
ds = da \JX; et par conséquent l'on a, d'après (92),
MnM cB0 1 cBu cB0 e)B0 .
(lOo) -ëT = -f= • -or- = -~ cos V + -r-1 sin V •
" s/a #« <x ni
en
Si l'on pose pour -^ l'expression qui lui est égale dB1 midx- m.dy
Va < x ( x ( y ( a'
la comparaison de celte expression avec la précédente donne les valeurs de cosp et de sin p exprimées en fonction des nouvelles variables :
(100 cos/j— — . — , sin p =-— •'- ;
où A représente, d'après (100), (
cx\- (£y\*-
C/'al \col
Ces équations, réunies à (105), suffisent complètement à exprimer les conditions limites pour la détermination des fonctions B0, J5„ Bv du g 24.
§ 34. — Application de la méthode auxiliaire du § 33 au cas d'un contour elliptique.
Lorsque le contour de la section transversale est une ellipse, il est très facile de trouver les systèmes de courbes se coupant partout à angle droit, et telles que ce contour de section transversale fasse partie de l'un de ces systèmes. On y arrive par la considération de sections coniques ayant leurs foyers communs. Menons, par un point donné quelconque, une ellipse et une hyperbole ayant, pour leurs foyers, ceux de l'ellipse qui est donnée comme contour de section. Les tangentes à ces deux courbes sont, comme on le sait, les bissectrices des angles formés par les rayons vecteurs menés des foyers aux points de contact. L'ellipse et l'hyperbole passant par le même point se coupent donc à angle droit. Si l'on construit toutes les ellipses et toutes les hyperboles ayant ces mêmes foyers, on aura deux systèmes de courbes qui satisferont à toutes les conditions requises ci-dessus.
Toutes les équations de ces sections coniques sont comprises dans la formule suivante
(107) ^Lh__J/L .i = o.
m2 -ht n2-\~t
Cette équation représente effectivement des sections coniques dont
s/m2 -h t, \'n~ -+- tj sont les demi-axes, et dans lesquelles la distance du foyer au centre a pour expression s/m*,-+-n*- Si dans cette équation (107) nous donnons à t toutes les valeurs possibles comprises entre — if- et -4- oo (en supposant d'avance m- >- rcs) nous aurons des ellipses. Nous aurons au contraire des hyperboles pour toutes les valeurs de t comprises entre — n- et — m- ; et toutes ces courbes auront mêmes foyers puisque la distance des foyers au centre commun est indépendante de t.
Considérons, dans cette équation (107), x et y comme données et constantes ; l'équation devient du second degré en / ; et, en la résolvant, nous aurons les valeurs de t définissant l'ellipse et l'hyperbole qui passent par le point (./•, y). On peut voir facilement qu'il y a toujours une courbe de chaque système qui passe par un point donné.
Si par exemple on suppose t compris entre — nv et — ri1 et voisin de
— m\ le premier terme de l'équation (107) l'emporte sur les autres et donne son signe au premier membre, qui dans ce cas est positif. Si, au contraire, t est voisin de — n-, c'est le second terme qui l'emporte, et comme il est alors négatif, le premier membre tout entier est aussi devenu négatif; il y a donc, entre ces deux valeurs de — nf et
— n- une valeur de t pour laquelle le premier membre de (107) s'annule; c'est-à-dire qu'il s'y trouve une racine de cette équation en t. 11 y a donc toujours une hyperbole qui passe par le point donné. Si, de la même manière, on suppose t compris entre — n- et + -x> , et voisin de
— n2, c'est encore le second terme qui l'emporte: mais alors il est positif, et il donne le signe + au premier membre de l'équation. Si, ensuite, t se rapproche de la valeur H-oo, les deux premiers termes de l'équation deviennent presque nuls, et c'est le troisième terme, négatif, qui l'emporte : le premier membre a donc changé de signe, et est passé en conséquence par zéro pour une valeur de / comprise entre — n- et -+- x> : il y a donc dans cet intervalle une racine de l'équation et une ellipse correspondante, qui passe par le point donné.
Désignons 1° para, la racine de l'équation (107) en t qui correspond à l'ellipse, c'est-à-dire la valeur de t comprise entre — n- et H- oo qui y satisfait; 2° par ß, celle qui correspond à l'hyperbole, c'est-à-dire la seconde racine, comprise entre — n- et — m~. Réduisons à un même dénominateur tout le premier membre de l'équation (107). Le coefficient de t~ dans le numérateur est égal à — 1, et comme ce numérateur doit s'annuler pour t— a et t — ß, il ne peut être que — (t — a) (t — ß). On a par conséquent l'identité suivante, en ce qui concerne t :
(t — et) (g — ft)
m- -M n?-ht (tn--+-t)(n--Jrt)
Si on multiplie cette équation par (m- -h t) en y remplaçant ensuite t par — m2; et si on la multiplie par (n2 -M) pour y remplacer ensuite t par — n2, on obtient les expressions suivantes de x-, if, en fonction de a, ß :
(ma+a)(ms + ß)
Prenant la racine carrée des deux membres etdifférentiant ces deux
équations, on trouve :
, 1 [ An8-}- S . /m! + oi ,a i
•ï^n'—m'iyu'+z V » +P H
En' additionnant les carrés de ces deux expressions, on a le carré de l'élément linéaire
(408a) dg»=."-^ >
4 ( (m2 + «) (na + a) (m- + p) (n1 H- p) ) *
Si l'on compare celte équation avec celle (104), oV = AoV + Bdß% on reconnaît que ce qui affecte «V et f/ß2 fournit respectivement les valeurs de A, B, nécessaires pour l'établissement de l'équation différentielle transformée, (103) du § pre'cédent. Ces valeurs sont, comme on voit :
4 ' {ii)2-\-a)(nî-\~oi) '
4 * (m9 + p)(n2-hß)' L'équation différentielle (105) transformée de celle
' •' « // esl donc
,|fl,M {)= < \ Kl (m-' -h «)(»* + «) 0B,) g ( / (m»H-p)(n» + ß)gB,j
Celle équation se simplifie beaucoup si, au lieu des variables a, ß, on introduit les suivantes :
th
J— n* ^{w? -h a) (nH-a)
J tl,*\J— (//r' + p) (n'H-f.) cor alors on a :
, rfa
niij
et par conséquent aussi
fi ; T~i — ä ; * -t>n O Bn
C « CJQ.
c B„ ( ßn
Et, enfin, l'équation différentielle transformée devient :
r » fi f ' fi
ce qui est précisément la forme qu'avait primitivement l'équation en B0 lorsque les variables étaient x et y (*).
§ 35. — Application à un cylindre creux dont la section transversale est limitée par deux ellipses homofocales.
Nous allons maintenant appliquer les formules qui précédent au cas où la section transversale du cylindre qu'on tord est limitée par deux ellipses ayant les mêmes foyers, et dont les équations sont :
in- -+- «., ti- -+- a„
de sorte que, pour tous les points du contour extérieur, la variable a prend la valeur constante %v et, pour tous les points du contour in-
(*) L'usage que fait Clebsch de ces coordonnées curvilignes pour le cylindre à base d'ellipse est, au- g suivant, la détermination de la torsion d'un cylindre creux dont la base est comprise entre deux ellipses ayant le même centre et les mêmes loyers.
MM. Thompson et Tait, dans leur bel ouvrage A T réalise of natural Philosophy, 1867, ont montré que le même système de coordonnées, de Lamé, pouvait s'appliquer à la torsion de prismes ayant des bases de formes bien plus variées, telles que des secteurs de cercle de tout angle depuis zéro jusqu'à quatre angles droits, moins ce qu'il laut pour donner place à une petite fente faite suivant le rayon. J'ai, dans deux articles du Compte rendu, 2 et 9 décembre 1878 (p. 849 et 895) développé et discuté les simples indications de ces deux savants, et montré que ce qui était relatif aux bases en l'orme de secteurs pleins ou évidés pouvait se traiter simplement au moyen des coordonnées connues dites semi-polaires ou cylindriques, dont j'avais déjà, en 1857, indiqué quelques usages dans mon Mémoire sur la torsion .
Les résultats de l'application à onze secteurs se trouvent calculés dans les deux notes citées de décembre 1878, et ont été reproduits, ainsi que leur formule générale, en 1879, à la feuille scientifique rédigée à Leipzig par M. le professeur Wiedemann. Sous en avons mentionné? au n° 9 de la note de la lin du § 51, le résultat général.
térieur, elle prend la valeur constante a0. Nous nous bornerons à la
détermination de la fonction B0 ; d'abord parce que les fonctions BY, Bt
(§§ 24 à 50) n'ont, sur les formules finales, qu'une faible influence,
et ensuite, parce que la méthode employée à la détermination de BQ
pourra être appliquée d'une manière tout à fait analogue pour les
autres fonctions.
Cherchons d'abord les conditions aux limites. Que l'on se reporte
dB à l'équation (95) jr1 == x sin p — y cos p, et que l'on y introduise,
pour ~, cos p, sin/>, leurs valeurs données par les équations (105)
et (106); qu'ensuite on prenne, dans les équations (108), les valeurs de x et de y applicables au cas actuel; on mettra l'équation (93), qui exprime la condition limite, sous la forme
(H2) ?B0=\ y/^K + ßi^ + ß)
Cette équation doit être satisfaite pour a = a0 et pour «==at, qui sont les valeurs de a relatives aux contours intérieur et extérieur des sections du cylindre creux. Comme, par l'introduction de ces valeurs, on ne limite en rien la valeur de ß, puisque l'équation doit être satisfaite pour chaque point où une hyperbole quelconque ß rencontre les ellipses a0 et at, on voit que l'on a de fortes raisons de supposer que la fonction B0 peut être mise sous la forme
(115) B0=K\/— (mâ+p) (na + /3) ,
où K est une fonction de a seulement. En effet, dans cette hypothèse, l'équation (112) se transforme en la suivante, dont les termes sont entièrement indépendants de ß,
et qui, si l'on y fait successivement a=:at et x = a0, donne simplement des relations entre des constantes.
Il faut seulement examiner si la forme (115), prise pour B0, satisfait à l'équation générale exprimant la condition que B0 doit remplir en tous les points intérieurs de la section transversale, équation qui,
§35. — APPLICATION a DM CYLINDRE ELLIPTIQUE CREUX. 235
d'après (109), est exprimée en fonction des variables a et ß, par
O^L j * / (w*-hcQ(M* + «) [Bo\,£\ I (m^frdJTp) {B 0 i i a ( y (m* -|-/3)(ns-4-/3) #« I "^ #ß 1 y (m8 4- a) (/t2 -+- a) <c ß ) '
Si on essaye d'introduire dans celte équation l'expression ou forme (113) pour la fonction B0, on voit que cette forme présente effectivement une solution possible de l'équation, car, en même temps que ß disparait complètement, l'équation exprime directement K et définit la fonction de a, ainsi appelée, par
[MA a) 0= vVs + «) (""+a^ (>/(>"--+-«) (yr"~f a>77^ ) — A-
Cette équation se simplifie en remplaçant la variable a par la variable
(Ici Jm'1 -(- a -f- s/n2 -j- a
= 2 log-
0 y/('»2H-«) (»2+«) \Jm- — h2
déjà employée dans le paragraphe précédent. On a alors
et l'équation (114a) passe à la forme très simple et très connue
On sait que cette -équation (et d'ailleurs on peut le vérifier facilement) est satisfaite en posant :
E = Mea'-t-Ne~a'.
M et N désignant des constantes arbitraires.
Si maintenant on désigne par %'v a'0 les valeurs de % qui correspondent aux valeurs av %0 de a, on peut mettre l'équation de condition
(144) sous la forme
(ÎK 1
et, en introduisant dans cette équation les valeurs de a pour les deux courbes limites, on a
Me"1'— Ne~a* = i, Me"» — Ne "-*«=!;
ce qui donne le moyen de déterminer les constantes M et N; car on en tire facilement
1 eKft
En portant ces valeurs dans l'expression de /i, l'on obtient :
x (,(«'-« ô) + e-(g'-^)) (e («'-«'O + e-(«'-"i)) ~ 2 e « — «ô) e — ( «i - Ko)
Si maintenant on remplace a', a't, a'0 par leurs valeurs
/ oi \Jmi-\-u.-\-\Jn1-\-<
« = 1 lOff
ce qui donne
r.' —9 Ina 0^H-«o + y//iä+«o .
ato iUo ^ ,
«.'— «ô /s/irf-h* +y/n2H-« V
\v/m2 4- *0 + y/»2 4- <v y/m2 + a -+- y'/i2 -+- a y y/?na4- «1 + y/«2 4-'
eai— «o /V"iL> «1 + v/»2
aY
on a enfin, après quelques petites réductions,
....> ,__ 1 (y/m2 + « + \/n2 + «)t — (y/^»2 +«! H- V/»2 + «l)2 (y/m* 4- «0 4- l'V4-«0)" ~"2 (v/m24-a+v/n2 + a)2 |(^m*H-«1 + v/'ïî4-«i)i -h (v/'''r-t=»"o+V/»ä4rao)'2|
Si donc on pose
Ut—K\J— (m24-p)(»24-[±),
on aura satisfait à toutes les conditions du problème.
On pourrait, à cette valeur, ajouter une constante arbitraire; mais B0, de même que Q, n'entre que dans l'expression de w, où se trouve
déjà la constante arbitraire c. On peut donc, sans porter préjudice à la généralité de la solution, se dispenser d'ajouter nue constante à l'expression de B0.
Formons maintenant l'intégrale
de la connaissance de laquelle dépend la détermination de l'angle de torsion. Pour trouver la valeur de cette intégrale, après y avoir remplacé (h par le rectangle dxdy, intégrons la première partie sur une bande de largeur dx parallèle à l'axe des y, et dont les extrémités, ainsi que les valeurs correspondantes des fonctions, seront désignées par les indices 1, 0, lorsque la bande coupera seulement la périphérie extérieure. Lorsqu'elle coupera à la fois le contour extérieur et le contour intérieur, on désignera les points extrêmes de l'une des parties par 0', 0, ceux de l'autre par 1', 1, de sorte que les indices 1. Ü s'appliquent toujours au contour extérieur, et les indices 1', 0', au contour intérieur. Pour les bandes de la première espèce, l'intégrale du premier terme de J est alors :
j \(xB0)t — {xB^0ldx',
cette intégrale s'étendant à toutes les bandes qui ne coupent que le contour extérieur. Au contraire, les bandes de l'autre espèce donnent pour l'intégrale de ce même terme :
n^ßoK-^ßoV + ^ßoV — (xBo)Adx.
Réunissons le premier et le quatrième terme do cette intégrale avec ceux de l'intégrale précédente, nous aurons :
jTx^Ldxdy= f j i.rlD.-irB,,), | dx— f | (</>•„)/ - {xBo)0' } dx,
où la première intégrale du second membre s'étend maintenant k toutes les bandes parallèles à l'axe des y qui renconlrent l'ellipse extérieure, et où la seconde s'étend à toutes les bandes qui rencontrent l'ellipse intérieure.
Désignons par dsv ds0 les éléments interceptés par une bande sur l'ellipse extérieure, et par pt, p0 les angles faits avec l'axe des x par les normales à ces éléments, dirigées vers l'extérieur; désignons de
même par ds\, ds'0 les éléments correspondants de l'ellipse intérieure, et par//t, p'0 les angles que font avec l'axe des x les normales à ces éléments dirigées vers l'intérieur; nous aurons alors, comme toujours,
il,,- — dnl sin pY = — ek0 sin p0 ,
dx' = ds[ sin p\ = — ds'o sinp'0 ;
et par conséquent, si nous étendons les intégrales, non plus à toutes les bandes, mais à tous les éléments des arcs d'ellipse qu'elles interceptent, nous avons
/ / x -ô~ dxdy = l xB0 sin p du — / xB0 sin// ds' ,
où ds et ds' représentent respectivement les éléments d'arcs de l'ellipse extérieure et de l'ellipse intérieure, désignés par dst, ds0, et par ds\, ds'0.
On obtient, absolument de la même manière,
Jj y Jx dcd,J ~ I >jBn cos p ds ~~ I yB° cosp' ds' ' et par conséquent
.1 = j B0 (x sin p — y cosp) ds — / B0 (x sin p' — ?/ cos y/) ds' .
Reprenons maintenant les formules (104) et (106) du § 55.
Comme l'élément ds appartient à une ellipse pour laquelle a a une valeur constante, on a, pour la valeur de cet élément, d'après l'équation (104) dans laquelle on fait da. == 0,
ds = dp v/îT.
Pour la première intégrale, il faut, dans cette expression, donner à a la valeur av et, pour la seconde, il faut lui donner la valeur a0. On a ainsi, pour la première partie de J :
j B0 (x sin p — y cos p ) ds f B0 U g ( x ^ — y |h dp ,
