x étant mis à la place de a dans cette équation

De la même manière, on amène la seconde partie à prendre cette même forme; seulement a doit être remplacé alors par a0.

Les intégrales doivent s'étendre à toutes les valeurs possibles deß, c'est-;'i -dire à tous les éléments d'ellipse qui sont coupés par toutes

les hyperboles possibles. Il y a lieu de remarquer que toutes ces hyperboles coupent un même quadrant de l'ellipse. Si, par conséquent, en donnant à ß toutes les valeurs qui lui conviennent et qui, d'après le § 54, sont comprises entre — ni2 et — n\ l'on n'étend l'intégrale qu'à un quart d'ellipse, l'on doit multiplier par 4 sa valeur étendue aux limites — m*, — ?i2, pour que cette intégrale comprenne ce qui est relatif aux quatre quadrants de l'ellipse. Si donc on introduit, dans le second membre de l'équation précédente, la valeur de B0 tirée de l'équation (108) et des suivantes, ainsi que les valeurs de x, y, A, B, on obtient enfin, pour la valeur de l'intégrale que nous avons appelée J :

J = 2 j (K)l — (A')0 j J^ v/(m2H-6)(^ + |3)' dp ,

où (K)t et (A j0 représentent les valeurs de K pour % — %{ et x === x0. On a alors, d'après (115),

/jn iv\ 1 (y/w--h«i + y/»2 + «i)' — (y/w2H-«0H-y/n54-«0)2

Wl ,A/0 9 / , , = \2 / , , = , -V» .

- (vm + ai + Vn +«J -f- (vm H-«oH- Vw +»,)"

Si on pose d'un autre côté :

ß = — ma cos2 cp — rc2 sin2 o,

on a

/ ml y/— (m2 -f- /S) (»2 -f- p) dp = 2 (m» — n1)' j sin2cp cos2* d* =-

de sorte qu'enfin :

. TC (m2 — n2)2 (y/m* + ott -+- y/V H-aJ2 — (s/m1 -f a0 -h y/'«2

8 (s/m1 -f- at -+- y/»'2 + aj2 + (v/^^-hao-hv/'^ + ao)2

On obtient facilement les moments d'inertie X2s et y.2s en les considérant comme les différences des moments d'inertie d'ellipses pleines. Comme on l'a vu plus haut, pour une ellipse pleine dont les axes

1YI 11

sont m et >*, les grandeurs X, ■/. ont pour valeurs -g> s> e* Par sinu3,

, ,!,.,.., »f» i Mil'

on a, pour les moments d inertie K(j=tz -7—; ■/.-<: = - — =-•

Dans le cas actuel, les axes de l'ellipse intérieure sont s/m1 -+- y.0 sjri1 -+- at ; ceux de l'ellipse intérieure, s/m'1 ~t- x0, \ /ns 4- a0 ; on a donc pour les différences des moments d'inertie de ces deux ellipses, c'est-

240 CHAP, tt. t— CORPS CYLINDRIQUES EN GÉNÉRAL.

à-dire pour les moments d'inertie de la figure annulaire

% \ v/(w--l-«i)3 y/n-'+otj — y/(m2+«0)3 v»2 + «0 )

, Tl[ )

*~*~ l ( V»'- + »i Vl^' + a,)3 — v///r' + «0 \/(n2-{-a0f j

Au moyen de toutes ces valeurs, on peut exprimer enfin l'angle de torsion ou de rotation, <b= bj, de la base libre en fonction du moment de rotation C. On a en effet, par la formule (87) p. 200 donnant />„

'«^-^-/(•f-'îlH

D'où, en y mettant); les valeurs trouvées pour y.- a, X2c et pour le / qui est le J calculé tout à l'heure , ■

ic n

ttG m^j (m? + »? — »V'o K'+nö) — ö r2, — \. , LT k

où, pour abréger, on a désigné par mt, n, les axes de l'ellipse cxlérieure, et par m0, n0, ceux de l'ellipse intérieure, c'est-à-dire que

Cotte détermination par Clebscli, au moyen des coordonnées courbes illuminées vers 18r>G par Lamé (Surfaces isothermes, tome V des Savants étrangers, ou tome K du Journal de Lionrille, ou Leçons de 1859 sur les coordonnées curvilignes), de la torsion d'un cylindre creux dont les bases ont pour leurs deux contours, des ellipses ayant les deux mêmes foyers, est intéressante et remarquable. Mais la détermination de la torsion de cylindres creux elliptiques s'opère d'une manière bien plus simple et plus facile, en coordonnées ordinaires, si l'ellipse extérieure et l'ellipse intérieure, au lieu d'être homofocales, sont prises semblables, c'est-à-dire si entre les demi-axes mt, ?*,

(*) Si l'on f;iit ?!„ — (), ou nul le petit axe île l'ellipse intérieure, son grand axe w0 subsiste, car la distance des deux foyers reste constante. Aussi, quoique la superficie de cette ellipse s'évanouisse, elle reste comme l'ente, et il n'est pas étonnant que la formule ne donne pas alors, à la torsion b0 , la valeur qu'elle aurait pour le cylindre plein dont la base serai' l'ellipse extérieure.

.NOTK DU g *55. CYLINDRE CREUX, SOLUTION PLUS SIMPLE. 241

de celle-là, et les demi-axes m0 n0 de celle-ci (supposés toujours avoir les mêmes directions) l'on a, au lieu de m2y — n2l = m2,, — n-0,

n. nn

Qu'on se reporte, en effet, à l'équation (i) de la grande Noie du g 51 :

(b) 6 [xk + yrfy) + (g A - |? dy) = 0 •

exprimant la condition à laquelle doit satisfaire, aux contours des sections dont x = X, y = y sont les coordonnées, l'expression en x et y du déplacement longitudinal iv des points des sections du prisme tordu, expression astreinte déjà à satisfaire partout à

, , 'dHu D2w

l'on verra que, dans le cas particulier du contour elliptique :

m, », les deux équations différentielles (6) et (<•) seront satisfaites en prenant :

wj — n*

(«) «> = 9 — i XIJ »

et en mettant, dans la seconde, pour dy sa valeur, fournie par l'équation (d)

m, x (/•) rfv = f-dx.

Or, elles seront tout aussi bien satisfaites si Ton substitue des valeurs (e), (/) de tuet derfy, avec m0, w0 au lieu de mx, », puisque les rapports — -, —^

sont égaux.

Donc, l'expression [e] de m; satisfait à la fois aux conditions relatives aux deux contours extérieur et intérieur des sections de notre cylindre creux. En la mettant à la place de w dans l'expression (92 a) § 51, du moment de torsion M,, et en intégrant pour l'étendue n comprise entre ces deux contours, on a la même chose que si l'on prenait pour M5 la différence entre les valeurs qu'aurait ce moment pour deux cylindres pleins ayant pour bases respectivement le contour extérieur et le contour intérieur du cylindre creux dont on s'occupe, c'est-à-dire :

expression qui revient à la différence de deux autres comme celle (92 a) de — G', et qui est bien plus simple que ce qu'on tire pour — C'=M; de

la formule de la fin du § 55 actuel.

Observons aussi que le; clioix, pour le contour intérieur, d'une ellipse bomofocale, ne rend pas l'épaisseur du tuyau elliptique, ou cylindre creux, plus uniforme que le choix d'une ellipse semblable à celle du contour extérieur; car si l'on appelle e = n{ — n0, l'épaisseur dans la direction des petits axes et e=ml—m0, l'épaisseur dans celle des grands, on a le rapport

/ i lorsque les deux ellipses sont semblables ; ' »,

lorsqu'elles sont homol'ocales.

ou

Les ellipses n'offrent qu'un cas particulier des contours que l'on peut donner intérieurement et extérieurement à des sections de cylindres creux de manière à avoir des résultats analogues à (g).

Tous les contours fermés réprésentés en x, y, par l'équation (t) du n° 8 ou [z) du n° 9 de la note du g 51, jouissent de la même propriété. Il suffit de donner, à la constante K du second membre de ces équations, deux valeurs différentes quelconques, en conservant le premier membre le même, pour avoir deux courbes limitant les sections d'un prisme creux, de telle sorte que, lorsque ce prisme sera tordu, les plans de ses sections prennent

la forme courbe w = donnée par l'équation (u) et l'équation (y) de la

même note. Le moment de torsion M3 sera donc donné par l'expression (v)

celle (a') en prenant l'intégrale j da pour les éléments superficiels entre

les deux contours, ce qui reviendra à calculer ce moment pour le prisme extérieur et pour le prisme intérieur, et à prendre la différence.

Vu la présence obligée, dans le premier membre de l'équation (l)

ou (2), du terme du second degré 0 l — — 2- = 0 — qu'aucun choix des con-

stantes c ne peut faire disparaître, deux courbes représentées par cette équation, avec deux valeurs différentes du second membre K ne pourront être des figures semblables qu'autant qu'il n'y aura, dans le premier membre que des termes du second degré. L'ellipse est donc la seule courbe susceptible de donner un contour extérieur et un contour intérieur semblable*. Si le contour extérieur est un rectangle ou un carré, le contour de l'évidement doit, pour remplir exactement la condition énoncée, être une courbe transcendante. J'en ai, au n° 117 du mémoire cité de 1855, donné l'équation qui est compliquée; mais en faisant observer qu'en général si l'épaisseur d'un prisme creux doit être faible, on peut, en adoptant un contour d'évidement qui rende celte épaisseur constante, prendre approximativement, pour le moment de torsion, la différence de ceux des deux prismes pleins dont les sections auraient les conlours extérieur et intérieur ainsi choisis.