Z 56. — RECHERCHE DES PLUS GRANDES TENSIONS
; 36. — Recherche de l'ellipsoïde d'élasticité ou des tensions, aux divers points des prismes tordus. (*)
Nous avons maintenant à rechercher, d'une manière exacte, les tensions qui se produisent à l'intérieur des corps considérés dans les §§ qui précèdent. Pour cela, revenons aux développements du § 6, relatifs à l'ellipsoïde d'élasticité. Si, pour un point quelconque du corps, nous cherchons la direction et la grandeur des tensions principales, la grandeur de ces tensions nous sera donnée par la résolution de l'équation du troisième degré (7) du § 7, page 21 , et les directions correspondantes seront déduites des formules (8), p. 22. Dans le cas qui nous occupe, ce problème se simplifie en ce que, pour chaque point, les tensions t;r, t , t s'évanouissent. L'équation du troisième degré qui doit donner, pour les valeurs de son inconnue T, les tensions principales, se réduit donc à
Cette équation contient le facteur T et, par conséquent, admet la racine T = 0 qui, conformément aux notations introduites dans les premiers paragraphes, peut être désignée par T". Il se présente donc ici le cas particulier traité au \ 9, dans lequel, par l'évanouissement d'un axe, l'ellipsoïde d'élasticité se réduit à une ellipse. Au moyen des équations (8), on trouve le plan de cette ellipse, ou plutôt la direction de la normale à ce plan. Introduisons dans ces formules la valeur T = T/" = 0, et désignons par p'" , q'", r'"les valeurs correspondantes, de p, q, r. Nous aurons tout d'abord, par la troisième équation (8), m cos - r'" = 0 ; et comme m= — \- — t^ n'est pas nul, on en conclut :
cosr"'=0;
c'est-à-dire que la normale au plan de l'ellipse d'élasticité est perpendiculaire à l'axe des z-, ou que ce plan est parallèle à l'axe du cylindre.
( ) Ainsi que nous l'avons dit aux premières lignes de la Note delà fin du § 15, cette considération de l'ellipsoïde des tensions n'est guère que curieuse : il faut, comme nous le montrerons à la Note de la fin du § 37, considérer plutôt l'ellipsoïde (quelquefois l'hyperboloïde) des déformations, ou simplement chercher la grandeur du plus grand demi-axe réel ou rayon vecteur de cette surface, c'est-à-dire la plus grande des dilatations, afin de lui imposer une limite fournie par l'expérience pour chaque matière (supposée isotrope), comme condition de sa résistance à la rupture prochaine ou éloignée, ou de sa non énervation même à la longue. (Voyez, à la même Note de ce § 57, une recherche de conditions analogues pour les solides non isotropes.)
Comme cos r'" = 0, on a
cos q"f=z sin p"' ;
et (p"' — 90") désigne l'angle formé par le plan de l'ellipse avec le plan xz. Les autres équations (8) donnent ensuite :
mcos,'p'" = — tj.,
??i sin2 />'" = — t|s, m sin p"' cos p"' = tXi t ;
équations que l'on peut résumer en la suivante :
tangp'" = — ~f ou bien
tang(;/" — 90») = fs .
Cette dernière formule, qui détermine l'angle du plan de l'ellipse avec le plan xz, est susceptible d'une interprétation géométrique très simple. Si, à partir du point considéré, on mène les forces t , t dans leurs propres directions, c'est-à-dire parallèlement à l'axe des x et à l'axe des y, la résultante \li].z -+- 1* des deux forces fait avec l'axe des x l'angle {p"' — 90°). Le plan de l'ellipse est donc déterminé par la direction de cette résultante et par l'axe du cylindre.
Les deux autres tensions principales T', T", sont les racines de l'é quation du second degré
Ts-^T-(t«,+ty = 0; de sorte que
T'=^4-\/l!L -ht» 4- «, 2 y ** y* 4
2 y *' yz T
On voit d'abord que ces deux grandeurs sont toujours de signes contraires, parce que la valeur du radical est plus grande que la valeur
absolue de -^ . C'est donc le signe du radical qui détermine le signe
et
de la tension principale. Par conséquent, dans l'une des directions principales il se produit toujours une traction T', et, dans l'autre, une pression T". Si t. est positif, c'est-à-dire si, au point considéré, il
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existe une traction dans le sens longitudinal, la racine positive est la plus grande ; et, par suite, la plus grande tension principale est une traction. Si, au contraire, t est négatif, c'est-à-dire si, au point considéré, il se produit une pression longitudinale, c'est la racine négative qui est la plus grande; et la plus grande tension principale devient une pression. Dans le premier cas, le corps est exposé à se rompre par déchirement ou disjonction, au point considéré; dans le second cas, par écrasement (*).
Déterminons maintenant les directions de T' et de T". Si l'inconnue T n'est pas nulle, les équations (8) donnent, en se rappelant que tjr = 0, t =0, t?c=0, et en ayant égard à l'équation trouvée
T2 — t„ T — (1 2 -+- 1 i ) = 0, les formules suivantes :
m cos* p = T- — TL, — t» == tî, , m cos2 a = T- — lUz - IL = l* , »nco88r=Ta ;
En additionnant les trois équations de gauche, et observant que la somme des carrés des cosinus est égale à l'unité on a :
et toutes les équations précédentes sont satisfaites si l'on pose :
COS p = - > COS q = — y" , cos r —
m cos q cos r
