VT

m cos r cos p

m cosp cos q

A+Ç+* "v/^ + t^ + T. ' v/tL+t^ + T'.

Ces équations déterminent la direction de T' ou de T" selon qu'on y introduit l'une ou l'autre de ces grandeurs à la place de T. Elles ont également une interprétation géométrique très simple.

Que, par le même point d'où l'on a déjà tiré, parallèlement aux x et aux y, des droites représentant en grandeur les forces t , t,(, l'on tire parallèlement aux z une troisième droite représentant, en grandeur, la tension T qui leur correspond, et que l'on compose ensemble ces trois forces ; la direction de leur résultante sera la direction de T. En effet, la grandeur de cette résultante sera

m=v/t;:+C + T*; et comme t,t, t , T sont ses projections sur les axes des x, des y, des s,

(") Voyez à la grande Note de la fin du § 37, la modification essentielle que nous apportons à cette conclusion.

les cosinus des angles formés par sa direction avec ces axes ont pour valeurs •

Jlz m

c'est-à-dire que, d'après les formules ci-dessus, la résultante forme, avec les axes, les angles p, q, r, et que sa direction coïncide précisément avec celle de la force T.

Les deux tensions T', T" déterminent en grandeur et en direction les demi-axes principaux de l'ellipse à laquelle se réduit l'ellipsoïde d'élasticité. Cette ellipse est donc complètement déterminée. On peut résumer, dans la construction géométrique suivante les formules données ci-dessus pour la détermination de cette ellipse.

Par le point considéré 0, on mène trois droites parallèles aux axes coordonnés des x, des y, des z, et Von porte sur ces droites les longueurs 0X = tj„, 0Y=:t , 0Z=tr,, en sorte que ces lignes représentent en grandeur et en direction les tensions qui agissent^ au point considéré, sur la section transversale du prisme. On construit ensuite la résultante OE = t/t^ -+- 1 * de OX et de OY ; on mène le plan EOZ , et dans ce plan, on décrit un cercle passant par le point E et ayant son centre au milieu M de OZ. Ce cercle intercepte, sur la ligne OZ, des longueurs OA, OB, qui représentent les longueurs des tensions principales. Celle OA des deux longueurs qui se trouve dirigée dans el sens des z positifs est une traction, et Vautre, OB, une pression.

Aux points A et B, on mène des tangentes au cercle, c'est-à-dire des perpendiculaires à OZ dans le plan EOZ ; ces lignes AC, BD, rencontrent en C et en D une parallèle à OZ menée par le point E. Alors OC est la direction de la tension principale dont la grandeur est représentée par OA, et OD la direction de celle dont OB représente la grandeur. Si Von porte, sur ces directions, les grandeurs des tensions principales, on aura la grandeur et la direction des axes principaux de V ellipse à laquelle se réduit Vellipsoïde d'élasticité.