LIMITES DES FORCES EXTÉRIEURES

Un cas remarquable est celui où la composante t;ï s'évanouit, et où, par conséquent, il n'existe pas, au point considéré, de tension longitudinale. Les points 0, Z, M se confondent alors en un seul; l'ellipse se réduit à un cercle, et les tensions principales, pression et traction, sont égales. Comme on a :

Kz = E S (* + aix + «#) + z (M + Ku) j , 0

tous les points dont nous nous occupons en ce moment, pour lesquels on a, en outre, t;: = 0, se trouvent sur la surface du second ordre :

a -+- OyX -(- a2y + z (/>rr + b2y) = 0.

Lorsque, dans cette équation, on fait z constant, elle devient l'équation d'un plan; en d'autres termes, la surface qu'elle représente est coupée par chaque section transversale (z = constante) suivant une ligne droite. Cette surface est donc un paraboloïde hyperbolique dont les génératrices sont parallèles aux sections transversales, ou perpendiculaires à l'axe du cylindre.

Lorsqu'il ne se produit dans la tige qu'une torsion, t., est nul partout ; et, alors, ce ne sont pas seulement les points d'une surface déterminée, mais tous les points du corps, qui présentent cette particularité. Au contraire, dans le cas d'une extension simple, tzz est constant, et il ne se trouve, dans le corps, aucun point de cette espèce.

g 37. — Limites de la grandeur des forces extérieures qu'on fait agir sur les solides.

La plus grande tension, en chaque point des solides prismatiques, supposés sollicités comme on a dit, est, ainsi qu'on vient de voir.au § 56, p. 244, représentée par

t.. / tT

(115) la somme des videurs absolues de ■«- et de W ^L + ^^+T- Pour fixer les limites dans lesquelles doivent rester les forces exlé-

(') Celte expression esl l'une des trois dernières des formules (65) du § 23, p. 150, en y faisant, nulle, comme on a vu, la constante b (§ 24, p. 156). Elle est, comme on a vu aussi,

une conséquence de l'expression (65 a) page 147, ■7r=(a-i-aix-\- aiy)-\-%[b-\-bix-\-b%y)

de la dilatation longitudinale de toute fibre, résultant cinematiquemenf de la nullité de ses

quatre quotients différentiels ^j, g,, g,, ^

Heures agissant sur une pièce solide, on n'a qu'à déterminer la plus grande valeur que puisse atteindre , à l'intérieur, la somme ainsi énoncée, et à faire en sorte que ce maximum ne dépasse, nulle part, une limite que l'on s'est imposée pour la tension de la matière de cette pièce, limite qu'on peut représenter par T. (*) En ce qui concerne le point où cette somme atteindra son maximum, on peut d'abord considérer que ce point ne peut être situé que dans une section transversale d'extrémité du prisme. En effet, ir: et f , ne renferment pas, en. général, la coordonnée z, et t.. seule la contient à la première puissance. Le point d'une fibre déterminée où cette somme atteindra son maximum sera donc le point où t.. elle-même aura sa valeur la plus grande; et comme t„ est de la forme p-\-qz, sa plus grande valeur coïncidera avec la plus grande ou avec la plus petite des valeurs de z ; c'est-à-dire qu'elle se produira en un point d'une des deux sections transversales extrêmes. Quant à la position de ce point sur la surface de la section, elle dépend de la fonction Ü, c'est-à-dire de la forme généralement courbe que prend cette section transversale primitivement plane.

Il n'y a d'exception que dans le cas où bi et 62 s'évanouissent, ce qui se produit toujours lorsque A et B sont nuls, c'est-à-dire lorsque la résultante des forces extérieures agit perpendiculairement à la surface d'exlrénùté libre. Dans ce cas, qui peut se présenter non seulement lorsqu'il n'y a qu'extension, mais, quelquefois encore, quand il y a torsion ou flexion produites par de simples couples, t„ est indépendante de z. Chaque fibre est alors tendue uniformément dans toute sa longueur; on peut encore parler d'une fibre plus fortement tendue que les autres, mais non d'un point d'une fibre où la tension y serait plus forte qu'en tous les autres points. La limite au delà de laquelle la contexlure élastique s'altérerait, est alors vraisemblablement la même pour tous les points de cette fibre où la tension se trouve être plus forte.

A cette circonstance que tzz seule contient la coordonnée 2, se joint celle-ci, que c'est seulement dans l'expression de t.. que se trouve la longueur / de la tige. Cette longueur / n'entre dans l'expression de la composante longitudinale de la tension que lorsque celle-ci vient d'une flexion produite par des forces ne faisant pas couples. Ainsi, /se trouve

(') Voir, à la grande Note de la lin du présent § 57, l'exposition et les applications d'une manière plus rationnelle de limiter les forces extérieures, ou de poser les conditions de résistance permanente des corps à leur action prolongée. (Elle consiste, comme on dira, dans le car. où le corps est isotrope, à limiter les proportions des dilatations, plutôt que les intensités des tensions ou pressions.)

g 57. — LIMITES DKS FORCES EXTÉRIEURES. • 249

engagé dans les formules (89) p. 201, relatives à lu flexion, d'une manière telle que la section dangereuse est reconnue répondre à 2=0. Or, en général, la longueur / de la tige est très grande par rapport à ses dimensions transversales dont les autres tensions dépendent. Donc, t.. l'emporte sur ces autres tensions, dans tous les cas qui correspondent à une flexion de cette nature. Si, de plus, le moment C, qui tend à tordre, n'est pas extraordinairement grand, et s'il y a une flexion quelconque produite par des couples de forces; si, par conséquent, les moments de rotation ne sont pas considérables par rapport aux forces qui agissent perpendiculairement à l'axe de la tige, tî5 sera toujours prédominante, comparée aux autres tensions, au moins dans les fibres de la section transversale dangereuse, où cette tension est la plus grande; et cette prédominance permettra de remplacer, avec une grande approximation, la tension principale T par cette tension t„. 11 devient alors très facile de déterminer l'emplacement du point où la tension est la plus forte.

D'abord, les formules générales (65) p. 150, donnent, en y annulant b [comme on a dit formule (70 a) p. 156] et en exprimant [formules (86) p. 194] les autres coefficients, a, av av bv 62, en fonction des trois sommes A, ß, C de composantes des forces extérieures, ainsi que des deux sommes A', B' de moments tendant à fléchir autour de parallèles aux x et aux y,

Je vais traiter seulement le cas spécial où les résultantes de forces A, B, C passent au centre de gravité de la surface extrême libre, sans y ajouter aucun couple ; le cas général pourrait être traité tout à fait de la même manière. Dans cette hypothèse on a

B' = A/, A' = — B/, et t =

C(Z*)(Af + B*

D'après ce qui précède, le point où s'exerce la plus forte tension se trouve dans la section z=l ou dans la section z = Q. On voit aisémentque, pour le cas où nous sommes, il se trouve dans celle2=0; car dans la section z = l, on a en tous les points :

tandis que dans la section z = 0, on a

où le second terme du numérateur peut avoir des valeurs de même signe que le premier terme C; car si on se représente la section transversale divisée en deux par la droite

/kx B?/\ le binôme I —$ h — '{ \ est manifestement positif pour tous les points

de la section situés d'un côté de cette ligne, et négatif pour ceux del'autre côté. Du côté où cette expression aura un signe contraire à C, la

valeur absolue det„ est plus grande que celle de->et par conséquent,

la plus grande tension ne se trouve pas dans la section z = l. Pour trouver, dans la section z = 0, le point où s'exerce la plus forte tension, il faut chercher d'abord les points pour lesquels l'expression kx By

est la plus grande et comparer entre elles les tensions dans ces points, ce qui conduit manifestement à la règle suivante :

Mener, dans la section transversale d'extrémité fixe, des tangentes parallèles à la ligne

À- xa

et comparer les tensions aux points de contact. Celui des points de contact ou la tension sera plus forte quaux autres sera le point le plus tendu [ou le plus pressé) du corps considéré. La tension maximum en ce point donnera donc la tension maximum dans le môme corps.

•Ce problème devient, également, assez simple lorsqu'il ne se produit qu'une torsion. Il s'agit alors de chercher la fibre la plus tendue. Ce sera celle où s'exercera le maximum de

vC-re

expression où entrent seulement x et y. Prenons comme exemple le cas, traité ci-dessus, d'un cylindre elliptique tordu. D'après les formules (92), page "208, on a, m et u étant les demi-axes principaux de