LIMITES DES FORCES EXTÉRIEURES

sa base, a l'aire de sa section, et C le moment des forces qui font tordre,

ory / ri „1

Par la forme de cette expression, on reconnaît que la tension croit si on fait croître x et y dans un môme rapport, c'est-à-dire si, en partant du centre, on se dirige en ligne droite vers la circonférence. La fibre la plus tendue se trouve donc nécessairement sur la périphérie. Or, d'après une propriété connue de l'ellipse, on peut, pour les points de sa circonférence, poser

car en substituant dans l'équation — , -{-—, =1 de cette circonférence,

x = mcos<? , î/ = nsmy;

x' v'2 m- w on a l'identité cos2 s + sin8ç=l. Il faut donc chercher le maximum de

x- y2 cos2» sin2©

La différentiation, effectuée pour l'obtenir, donne

cos ? siny = 0.

La fibre cherchée ne peut donc se trouver qu'à l'extrémité du grand

axe (sin ?=0) ou du petit axe (cos ? = 0). Dans le premier cas, la va-

leur de l'expression ci-dessus est — ;» et dans le second -=; par conse-

quent, comme on a supposé d'avance m >» n, c'est dans ce second cas que l'expression atteint sa plus grande valeur. La fibre la plus tendue se trouve donc à l'extrémité du petit axe de l'ellipse (*), et la tension maximum a pour valeur, vu u=xmn,

n2<7 Tttts

de sorte que la sécurité de la tige est assurée si cette grandeur ne dépasse pas la tension maximum que l'on s'est imposée à l'avance.

(•) Cette conclusion est juste lorsque la matière est isotrope, comme le suppose l'auteur, ou seulement lorsqu'elle a la môme contexture dans tous les sens transversaux; car, ainsi que cela a été reconnu pour la première fois, au Mémoire sur la torsion, de 1853, cité ci-dessus, c'est bien aux extrémités du petit axe de l'ellipse qu'a lieu le plus grand glissement, et, par suite, dans une certaine direction oblique, la plus grande dilatation.

252 CHAP. Il — CORPS CYLINDRIQUES EN GÉNÉRAL.

Dans la recherche de la tension maximum, qui vient d'être opérée, on n'a fait aucune distinction entre les tensions positives et les tensions négatives. En fait, d'après les principes que l'on a appliqués, et dans l'étendue des limites convenues, la môme force produit le même déplacement, que cette force agisse comme traction ou comme pression. Tel n'est plus le cas lorsqu'on s'approche de la limite d'élasticité ou qu'on la dépasse. Mais comme, en général, dans la pratique, cette limite ne peut pas, à beaucoup prés, être atteinte sans danger, la tension maximum imposée par les conditions de sécurité se trouvera toujours de beaucoup en deçà de la limite à partir de laquelle il se produit une différence notable dans les actions proportionnelles d'une force de traction et d'une force de pression. Comme mesure de la limite des tensions et pressions permises, on ne peut employer les chiffres qui correspondent à l'écrasement et à la rupture, car ces nombres s'appliquent évidemment à des tensions ou pressions fort au delà des limites à adopter; mais puisque ces tensions ou pressions ne doivent évidemment pas être atteintes, on a pris certaines fractions de celles qui, d'après l'expérience, produisent la rupture, et c'est par ces fractions que l'on a exprimé la limite des tensions permises. On a obtenu ainsi une série de nombres dont quelques-uns ne sont en connexion que d'une manière très vague, ou même sans aucune connexion, avec la réalité des choses : et l'on s'est arrêté à un nombre réel unique, dont l'emploi, dans les calculs de résistance, donnât l'assurance d'éviter ce qui peut compromettre la stabilité des constructions. Si l'on imagine, pour chaque espèce déterminée de matériaux, une certaine tension maximum, fixée conformément à l'expérience, et qui ne peut être dépassée sans danger, il arrive, à cause des étroites limites dans lesquelles doivent être maintenus les déplacements, que ce nombre peut être pris le môme pour la pression et pour la traction. C'est cette hypothèse que nous avons faite précédemment et que nous conserverons dans la suite (*).

1 . Conditions de résistance permanente des solides à la rupture, à établir en limitant leurs dilatations, plutôt que leurs tensions intérieures. — Le problème de la résistance des solides (origine principale, dit Lamé, de la théorie de leur élasticité) est de déterminer les plus grandes intensités des forces extérieures qu'on peut leur appliquer en divers endroits et suivant diverses directions, saus crainte qu'elles les rompent, soit immédiatement

.NOTE DU ß 57. — VRAIE CONDITIO« DE RÉSISTANCE PERMANENTE. 255

ou prochainement, soit à la longue, en les énervant ou détruisant peu à peu leur cohésion. Il a donc été naturel, dans le principe, de chercher, pour résoudre ce problème, à imposer une limite aux plus grandes des tensions intérieures que cette application de forces extérieures produit.

Et c'est ce que fait Clebsch, dans tout le présent § 57.

Mais, dès 1682, Mariotte {Traité du mouvement des eaux, 5e partie, 6e et 15e alinéa du second Discours) posait un principe plus vrai, à savoir « que les parties étendues ne rompent que parce que leur extension vient à dépasser une certaine proportion; » et, en effet, les molécules ne se séparent tout à fait les unes des autres, ou ne passent à d'autres arrangements, que parce qu'en les écartant à un certain degré, on a beaucoup diminué l'intensité des attractions qui les tenaient unies; et c'est, même, en tant que les tensions étendent ou dilatent, qu'elles mettent la cohésion en péril.

De là une deuxième manière plus rationnelle de poser en équation le problème de la résistance à la rupture prochaine ou éloignée, et qui consiste à limiter la plus grande des dilatations qui ont lieu en divers points et en divers sens, au lieu de limiter les tensions intérieures.

Ces deux manières donnent les mêmes résultats et peuvent être employées indifféremment l'une ou l'autre dans les cas où les solides, de forme allongée, ne sont que fléchis en même temps que tirés ou pressés dans le sens de leur longueur, leurs faces latérales étant libres, de sorte que chaque fibre s'allonge ou s'accourcit comme un prisme isolé ; et les plus grandes dilatations restent, partout, proportionnelles aux plus grandes tensions de mêmes directions.

Mais il n'en est plus de même, et les équations que fournissent ces deux manières d'opérer sont très différentes, quand il y a (comme on verra) des torsions, ou des glissements transversaux et longitudinaux; et même, déjà comme je l'ai montré en 1858 par des exemples (Cours lithographie de l'École des ponts et chaussées), lorsqu'il y a simplementdes tractions dansplusieurs sens à la fois. Ainsi, que l'on imagine trois solides parallélépipèdes rectangles tirés sur leurs faces normalement, le premier sur toutes les six, le second sur quatre, opposées deux à deux, et le troisième sur deux seulement, aussi opposées, ces tractions étant uniformément distribuées, et toutes de même intensité par unité superficielle : l'application des trois formules d'isotropie de la fin du § 16, en y faisant successivement, t^. — t™ =t

txx=t2îavec t — 0; et t^ = 0, t — 0, montrera facilement que, pour une même plus grande tension, la plus grande dilatation, celle du sens z, sera, dans le second solide, une fois et demie, et dans le troisième, deux fois ce qu'elle sera dans le premier des trois ; en sorte que ceux-là seront une et demie et deux fois plus en danger de rompre, par l'effet naturel de l'écartement de leurs molécules, que celui-ci, bien que la force de tension intérieure la plus grande soit la même pour tous trois.

Aussi Poncelet, dans un Cours de 1859, où il a bien voulu citer le mien de 1857, a conseillé de préférer définitivement la seconde manière, celle qui impose, aux dilatations éprouvées, une limite, la même en tous sens dans

les corps isotropes, et pouvant varier d'une direction à l'autre dans ceux qui ne le sont pas.

Cherchons à établir en conséquence les équations de cohésion permanente des solides, ou de condition de leur résistance à la rupture, sous l'action prolongée de forces quelconques; et, pour cela, cherchons d'abordles expressions des dilatations, afin de les maintenir, en tous sens, dans de petites limites.

2. Expression de la dilatation dans une direction quelconque r, en un point d'un solide, en fonction des dilatations et glissements qui ont lieu en ce point parallèlement à trois axes rectangulaires des x, y, ;. — Appelons

la proportion de cette dilatation d'une ligne r, et

les cosinus des angles que cette ligne fait avec les coordonnées rectangles x, y, z. Nous avons trouvé, au n° 19 de la Note du § 16 (où cette même quantité était appelée 33/) :

la) ?.. =3 c2 H- 3 c* + d c* + g c e + g ce + g ce .

v ' r ■ x ■<- y !l z - °yz y z °zx z .c °xy x y

On démontre souvent cette expression d'une manière tout analytique, comme a faitNavier qui l'a [donnée ,1e premier, en supposant très petits les déplacements éprouvés par tous les points du corps. D'après la manière géométrique dont nous l'avons démontrée à la Note citée, en regardant (1 -t- S ) comme la diagonale d'un parallélépipède rectangle devenu obliquangle, dont les côtés, primitivement égaux à c ,c;,c, sont devenus cx(l + 3T), c (1 -h<5J, c, (1 -|-t);) et font maintenant les uns avec les autres des angles légèrement aigus qui ont g , g„r, gj( pour cosinus, l'on reconnaît que cette expression (a) subsiste quelle que soit la grandeur absolue de ces déplacements des points, pourvu que les six déformations élémentaires <\ g, à l'endroit du corps solide que l'on considère, soient assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés et produits deux à deux.

5. Dilatations principales. — Équivalence d'un glissement à une dilatation et à une contraction dans des directions inclinées à la sienne. — Cherchons la plus grande et la plus petite valeur de l'expression (a) de ?. en égalant à zéro sa différentielle complète par rapport aux trois cosinus, nous aurons :

!0=(2D c +g c +g c )dc , v x .'• °xy y °zx z' x + (g c + 2D c +g c )dc , '// ■'•' .'/ // y* v y

+ (g c +g c +23 c )dc .

voxa x °yz y z ;'