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d'où l'on voit que, comme 3 est la limite supérieure de la dilatation dx, 2y/<î, 3, est la limite supérieure du glissement g qui, lorsqu'il est seul, ne peut la dépasser sans mettre la cohésion en péril. Nous disons lorsqu'il est seul, c'est-à-dire lorsqu'il est, au point [x, y, z), la seule des six déformations élémentaires orthogonales D, g qui ait lieu dans les directions rectangulaires x, y. :■; directions qui sont supposées, d'après l'expression [h) adoptée pour S , celles des limites principales S des dilatations, et dont deux,

avons-nous dit, sont celles de la plus grande et de la plus petite d'entre elles. Et en effet, s'il y avait, en même temps que g , par exemple une forte

contraction — ?., produisant avec g une dilatation positive résultante Df, au-dessous du Sf de même direction, g pourrait dépasser 2 fë $x; la restriction que nous avons énoncée était donc, pour la rigueur, nécessaire.

Cette limite (lL), ainsi que celles de même genre à imposera g,r, g n s'ils étaient seuls aussi, aurait pu être déduite d'expériences directes de rupture par glissement ou cisaillement, de même que les limites o ., S , o. des dilatations sont supposées des résultats (prudemment réduits aussi dans une certaine proportion) d'expériences de rupture par dilatation. Si nous représentons de la manière suivante ces trois nouvelles limites :

(m) 2VIT = T , ïJTT = «i , 2JFä=y ,

v > y ; ';/; V Z x 'ZX > x y 'ri/

l'équation (/) divisée par 8r o 3. fournit celle-ci :

C,!li l " "x \ °zx I ~ ~U \ °xy I ~ "s \ q °yz r~-c °xy

2 ÜL: ri ü? — o

t\* »«/ AV V "4A* V v7«T*»

Cette équation (n) (donnée en 1854 aux nos 24 et 121 du mémoire sur la torsion) me parait embrasser le cas le plus général de conlexture des solides, et être encore susceptible d'emploi si, par suite des expériences de glissement, ou des inductions tirées de la considération d'édifices ou de machines dont les pièces sont exposées aux efforts qui en produisent, les constructeurs se déterminent à adopter pour les limites y , y.;, y , qui y entrent, des valeurs un peu différentes de celles 2 y/'o o;, 2 \ °. <"v 2 tfsx°y que donnent les relations (m) ; relations dont on pourra, du reste, se servir

toujours pour déterminer quelques-unes des six constantes S, 7 au moyen des autres, si toutes n'ont pas été l'objet d'expériences spéciales.

5. Réalité des trois racines de cette équation, et relations entre les directions qui leur correspondent. — On trouve démontré, dans tous les traités de géométrie analytique, et aussi dans ceux de mécanique, à propos de la recherche des trois axes d'une surface du second degré, et de celle des moments d'inertie principaux, que les équations de la forme (/) et (n), composées avec un déterminant symétrique, ont leurs trois racines réelles. (Voyez Exerc. de math, de Cauchy, t. 111, 1828, p. 8). On s'en rend compte aussi en opérant comme nous allons faire, ainsi qu'a fait Clebsch au § G relatif aux tensions, ce qui, en même temps, pourra éclairer la question des inclinaisons mutuelles des trois dilatations <) dont les quotients, par les 0 de môme direction, satisfont à (/) ou à (n).

Mettons pour c,,, c , c, et pour -, dans les équations (k) (A=:0, B = 0,

C =0), c't, cj, c et (-) » en désignant ainsi l'une des trois valeurs de -

et les cosinus des angles que fait avec les x, y, z la direction correspondante de d ; ajoutons ensuite ces équations après les avoir multipliées respectivement par c" , c" , c". supposés être les c relatifs, de même, à une

seconde racine (-) de l'équation du troisième degré. Nous aurons :

+ zr.. (c'„c'~ + eV) h gM (C;C^ + cX) + SxiJ (c>;; + c/') .

Le second membre ne change pas quand on permute les accents ' et " ; il doit donc en être de même du premier. Or, son trinôme entre parenthèses

ne change pas non plus, tandis que, hors de la parenthèse, I ^ ) se change en Si donc ces deux racines de l'équation du 5'' degré ne sont pas égales,

on doit avoir le trinôme nul, ou

i«) ^.clc" H- # c'e'! + S clc"==0.

Or si l'équation (/) avait une racine imaginaire (- \ =a-\-b\( — 1, elle aurait aussi sa conjuguée (-A —a — h\J — 1. En mettant ces racines pour s dans les équations (/>), À=0, B = 0, G — 0, on tirerait, à l'aide de cx -h c H- c. = 1 , pour cx, c , c. des valeurs imaginaires respectivement