VT

»=~>nr».+V\Vv+ * n

On donne le plus souvent, ce qui est sans inconvénient et commode (voyez plus loin) à la limite § des dilatations, la désignation

parce que Navier désigne par R le coefficient de Rupture immédiate par extension, ou de cohésion instantanée, d'un prisme dont les faces latérales sont libres (c'est-à-dire la traction, pour l'unité superficielle de ses bases, qui a été reconnue capable de le rompre), et parce qu'on appelle coefficient de. Rupture éloignée ou de cohésion permanente et on désigne par

une traction, bien moindre que R (soit = ,-;,p de R) à laquelle l'observation

des constructions durables les plus hardies fait juger qu'il est prudent de se tenir pour être assuré d'une stabilité en quelque sorte indéfinie; en sorte qu'en divisant R„ par le coefficient d'élasticité E d'extension du \ 2, l'on a bien la dilatation-limite.

L'équation de cohésion (v) prendra ainsi, en la multipliant par E, cette forme

(,) B0=«U>T- ES, + (l + „ y (-fj + (^-—j) (4 + 4) ,

dont l'emploi ne viole nullement le principe rationnel de résistance établi

au n° 1, et qui, débarrassée ainsi de 8, pourra l'être, plus loin, aussi de E.

Dans cette équation, Ed. représente la traction longitudinale t.. du prisme

ou de la fibre dont les côtés n'éprouvent pas d'action transversale; et comme

(') Celte équation a été donnée et démontrée d'une manière directe et simple, pour la

supposition n= , , cn 1<S38, dans un cours lithographie déjà cité; et Poncelet l'a reproduite

l'année suivante, en en rendant la démonstration tout à l'ait élémentaire, dans le Coins de Mécanique physique et industrielle qui venait d'être créé à la Faculté de Paris. (Voyez notes du 11» 154, page 219, et du n8 156, p. ."»74, de l'édition de 1684 des Leçons de

Navier

n. du § 57. — comparaison des deux manières d'établir cette condition. 265

on a (§5), vu l'isotropie supposée, pour le coefficient d'élasticité G de glissement :

le second terme sous le radical est la même'chose que

ou la somme des carrés des tensions tangentielles transversales. Cette équation (y) revient donc à

(s) Ru = ou>(l-o)f +(l-r9) y -j + «^+*» •

Si nous comparons l'expression qui se trouve dans le second membre avec celle (115)

f+Vi+Vi-

que Clebsch donne comme limite des tensions, au commencement du présent g 37, on voit qu'elles diffèrent l'une de l'autre par les deux facteurs

l—i) et lTi) -

dont la présence dans l'équation de cobésion sous la forme (2) mesure la

différence entre les résultats de la manière rationnelle de la poser, de Ma-

riotte et de Poncelet, que nous venons d'employer, et les résultais de celle

à laquelle Clebscb s'est tenu, faute de connaître l'autre (11" 1 ci-dessus).

Si les glissements sont nuls, ou si seulement leurs carrés sont négligea-

l -f- n blés devant le carré de — ^— 7 ?,, ce qui peut être presque toujours suppose

lorsqu'il n'y a que flexion et extension ou compression, les deux manières donnent également pour condition de cohésion permanente

Ry — ou>t ;

ce qui fait qu'alors l'une et l'autre manière peuvent (n° 1) être indifféremment employées : on conçoit ainsi que Galilée, Leibnitz, Parent, et même Coulomb, aient posé leurs équations de résistance en limitant les tensions et non les dilatations.

11 en est autrement quand il y a des glissements sensibles. Par exemple, s'il n'y a que torsion, ou si ?.= 0, t„= 0, la condition (115) de Clebsch

t^ + t™, et imposerait, conséquemment, par unité superficielle, la même limite aux tensions tangentielles s'exerçant dans le plan des sections, qu'aux tensions longitudinales des prismes dont les faces

VJC() CHAT. II. — CORPS CYLIKDftIQUES EN GÉNÉRAL.

latérales sont libres. Et c'est ce que Glebsch proposait dans un § 92 final sur la torsion, qu'il m'a autorisé à supprimer. Mais l'équation rationnelle (.*•) donne

tti'i — — = ou>v/r 4- 13 i

ou impose aux actions tangent ielles une limite plus étroite. On voit qu'il y a une raison de prudence à se servir de cette équation (?) de préférence à celle de Clebsch.

8. Rapport que doivent avoir entre elles, dans un prisme isotrope, sollicité seulement à ses extrémités, les coefficients R0 et T0 de cohésion et d'adhésion permanentes, ou les limites des tensions longitudinales, normales à ses sections, et des tensions transversales, tangentiales aux mêmes sections, pour produire la plus grande dilatation. — La limite que ne doivent pas dépasser les tensions tangentiales transversales, lorsqu'elles sont seules en jeu, peut être fournie par des expériences de cisaillement, ou bien de rupture par torsion, comme celle des tensions normales longitudinales, lorsqu'elles sont seules, l'est par des expériences de rupture par traction. Ce coefficient de cohésion ou d'adhésion immédiate des couches est appelé T lorsque l'effort a été jusqu'à rompre immédiatement ; et on nomme

fraction de T, celui d'adhésion permanente, pu L'effort auquel on peut soumettre la matière, sans lui donner une déformation persistante dangereuse ou susceptible d'augmenter par la continuation de l'effort, et d'amener graduellement Innervation et la désagrégation delà matière.

L'équation de résistance permanente sera ainsi, quand il n'y a que des glissements transversaux :

( T0 = ou > Gg

\ ou •T0 = ou>ytJïB + t;ff .

Comparons cette équation à celle (z) qui lorsque t,, = 0, ou qu'il n'y a

que des glissements, se réduit à fi0 = ou > (1 -+- n) yt*x -+- \.';I ; nous avons pour le rapport des deux limites des tensions que nous appelons ici l'adhésion et la cohésion (quoique celle-là ne soit qu'une de s faces de celle-ci),

lr'\ T" __

On y arrive également en considérant que comme la tension tangentielle limite T0 produit un glissement g = -ff, elle produit, par cela seul, ainsi

NOTE DU § 57. — RELATIONS BISTRE ILS ÜOEFI ICII.M S l»E RUPTURE. '267

qu'on l'a vu à la fin du n" 5, une dilatation 5 — ° dans la direction où

elle atteint son maximum ; celte dilatation étant la plus forle que la matière puisse supporter, elle doit avoir [n° 7; expression (#)], la valeur

5= -et ■ Itonc -F = ö r^' ou

qui est la même chose que ic'), vu le rapport

trouvé au g 5 entre les coefficients d'élasticité de glissement et d'extension.

lui sorte que si 9 = 7 (Note finale du £ 16, nu 14), on a 'l0 = -H0,

comme Navier l'a trouvé en 1855 (n° GG de ses Leçons) en s'appuyant sur les conséquences que Cauchy et Poisson avaient tirées, en 1829, de. la théorie fondée par lui en 1821. On voit que Navier, sans l'avoir explicitement énoncé, a été d'avis, comme Poncelet, de limiter les dilatations (iv 1) plutôt que les tensions intérieures.

Et les expériences de M. Gouin (Leçons du Général Morin sur la résistance des maté liane, 1855, p. 57) ont prouvé que ce rapport entre les forces T et R subsistait jusqu'à rupture, car il a trouvé qu'il fallait, par centimètre carré, un effort de 5200 kilogrammes pour rompre, par cisaillement, des tringles qui rompaient par extension sous une charge de 4000 kilogrammes.

9. Corps d'inégales élasticités et cohésions en divers sens. — Cas où leur équation de cohésion peut être posée d'une manière simple. — Ces cas sont ceux des prismes ou cylindres sollicités seulement, comme aux ^ 22 à 58, à leurs extrémités, leurs faces latérales étant libres, et dont nous supposerons que la matière, en chaque point, a trois plans orthogonaux de symétrie de contexture, l'un perpendiculaire, et les deux autres parallèles aux arêtes. Nous prendrons ces plans pour ceux de xy, xz et yz.

Nous supposerons un prisme successivement sollicité : A l'extension ou à la compression longitudinale seule ; A la flexion, avec ou sans extension ou compression de l'axe ; Au glissement transversal, ou à la torsion seule ; A tous ces genres de déformation à la fois.

10. Extension longitudinale seule. — Alors, g , g,x, g étant nuls, l'équation du 5° degré (n) se résout en

I "T, ' ou 2È ' ou E '

268 chap. il. — cours cylindriques en général.

La seule de ces trois valeurs qui soit positive est la dernière puisque D et d sont des contractions transversales déterminées (g 2) par la dilatai ion longitudinale ?.. En l'égalant à 1 au plus, on a :

a,=ou<*à •

Mettant (n° 7), ~ pour §s, on a pour condition de cohésion permanente, comme pour les corps isotropes

(H E3a=ou<R0l

ou simplement, P étant la force de traction à laquelle la pièce est soumise par unité de sa section

(/•;) p=ou<r0,

ce qu'on savait déjà.

11. Compression longitudinale seule. Résistance à i écrasement. — Ainsi que l'a observé Poncelet, la compression, ou le rapprochement des molécules, n'est point une cause de désagrégation ; et un corps, même granuleux, s'il était également comprimé dans tous les sens, conserverait sa contexture intacte. Aussi ce Savant explique Yécrasement. ou la rupture que produit une compression longitudinale des prismes qui ne sont pas assez longs pour fléchir, par les dilatations transversales dont elle est accompagnée et que révèlent les formules de l'élasticité (g 2).

C'est pour cela que nous avons, pour condition générale de conservation ou de la cohésion d'un corps, imposé (n° C) une limite aux seules valeurs positives des dilatations 3 de son intérieur. Ici, puisqu'il y a compression longitudinale, 3. est négatif, et les dilatations transversales ûx, c^ sont positives. Soient, cV, quantité supposée positive, désignant la proportion de la contraction longitudinale produite par la force de compression,

(</') y— — n ' ö~~ ~"l)' ' t)>t)' ' et ?;=~-?-

On aura pour la plus grande des valeurs positives de -r prises parmi les trois (e') du numéro précédent (10) encore ici applicables

max. de -j =-/=__,

.'/ y ■\ Comme celte plus grande valeur de - doit être au plus égale à 1 , l'équation