N. OU § 37. — CONDITIONS DE RÉSISTANCE DANS DF.S CAS COMPLEXES

L'équation, en effet, se décomposera encore et pourra s'écrire :

<•-%:* WrW-'&-'ôHî !)H'

Elle donnera les trois solutions :

, (.m i *- s L», > v*. v- + V * U â v, "r y l Ti " Z'

La seconde, (?/'), celle où le radical a le signe — , est à rejeter, car si elle est positive, sa valeur est toujours moindre que celle de la troisième où il a le signe -J-- Lfl première (?) n'est positive et à choisir que lorsqu'il v a une forte contraction longitudinale engendrant des dilatations transversales dangereuses ou faisant craindre l'écrasement. Dans tout autre cas, c'est la troisième qu'il faut prendre, et nous allons la considérer uniquement.

Un a, i) et n' étant des fractions dont la valeur est , quand il v a isotropie complète :

Faisons

et, comme aux numéros précédents :

nous aurons l'équation générale :

On peut y mettre, pour la valeur de ED. relative à chaque point (x, y, st, l'expression suivante, comme on a vu, d'après les équations (65a), p. 147, et (86), p. 149 et 194 et à la Note du § 29 relative à ces équations (86}, p. 196, (et comme on verra aussi à la fin du § 65),

P3 étant la traction longitudinale du prisme, a l'aire de la section dont

l'abscisse est z, M et M. les sommes des moments des forces extérieures y ■'

autour des axes d'inertie de la même section supposés parallèles aux y et aux x, et ).-' o-, ■/} <t étant les moments d'inertie de son aire autour des mêmes axes.

Comme la théorie exposée aux §§ précédents donne le moyen d'exprimer aussi G g ,, G; g} en fonction des forces qui agissent sur le prisme et de ses dimensions, et aussi des coordonnées z, x, y de ses points, l'équation

{y') servira à trouver la section dangereuse et le point dangereux où - est le

plus grand. Une fois ce point déterminé, l'équation de cohésion permanente sera celle (s'), débarrassée de ce premier facteur qui ne donne que (?) rare-

ment applicable, et, ensuite, spécifiée pour- = 1 ; c'est-à-dire l'équation

suivante (a"), où nous mettons = ou >> au lieu de = seul, parce que i)t étant toujours plus petit que 1, le premier membre augmente lorsqu'on y met soit pour ?. , soit pour les g, des valeurs au-dessous de celles qui satisfont exactement à (s') et qu'ils ne doivent jamais dépasser :

EÖ \ / E3 \ /G g y /G„g„Y

i-V (1+9.77^ - -^ - HF =ou>0.

Les équations (y'), (z',) (a") (données en 1854 au Mémoire sur la torsion, et ensuite, en 1864, aux notes de la 5° édition de Navier) me paraissent contenir ce qui a été donné de plus général sur les conditions de résistance permanente des prismes sollicités aux extrémités. Vu la substitution faite,

aux rapports y' -f-, de leur moyenne, elles ne sont des conséquences tout

à fait exactes de notre équation du 5e degré (»)» que ^ai|s le cas d'égale contexture transversale où il n'est pas besoin d'une pareille substitution, car ces rapports sont alors égaux. Alors on a

j>") 9 = 9' > 9i = 9 f= 9 jf (f •

Mais rien n'empêche d'en étendre l'emploi au cas où la contexture, qui peut être très différente dans le sens longitudinal et dans les sens transversaux, offrirait aussi dans ces derniers sens quelque légère différence ; car, au même titre qu'on a pu adopter, pour représenter la loi inconnue de variation des limites de dilatation en divers sens, la relation (Ä) *r=^c* H- äc*-f-Ssc* , qui a conduit à l'équation générale du

troisième degré (n) en - , applicable à des corps de toute forme, l'on peut,

n. du § 57. — conditions de résistance dans des cas complexes. 277

pour le cas restreint des corps allongés, qui nous occupe, adopter l'équation du second degré (s'), exprimant une loi non moins plausible, et satisfaisant non moins bien à la continuité des variations des quantités.

15. Applications. — Nous ne pouvons que renvoyer au Mémoire de 185i sur la torsion [Sav. étr., t. XIV) ainsi qu'aux longues notes des n05 loi et 156 de l'édition de 1864 des Leçons de Navier, pour les nombreuses applications que nous avons l'ait s des équations (y'), (a"), et les formules pratiques que nous en avons déduites.

Rapportons-en toutefois ici quelques-unes.

a.) Cylindre à base circulaire, sollicité à la fols a la flexion, à la torsion et à l'extension. — La flexion étant supposée déterminée par une force transversale, la section dangereuse sera celle pour laquelle cette force a le plus grand bras de levier. Soient M son moment autour d'un rayon de cette section, M' le moment des forces autour de l'axe, P la force de traction longitudinale, r le rayon inconnu que devra avoir le cylindre pour résister à ces divers efforts. Le point dangereux est tout connu ; il sera sur la circonférence de la section la plus exposée. Faisant, dans l'expression (z')

P =1» , M =M , M =0 , a=xr* , X*(t = ~, x = r ,

on a

On a aussi

I / {GrSrY /V»Y Gg in »'

\J I -sr- ) + I T"J = T~ ' Ie maximi,m de Gg = -j —

Substituant dans (a") on a

uu

(ce) (R0^rs— Pr— 4M) t Fï,,-;" + r?lY + 49M)— 4M'* (^V=0 ,

équation du second degré en P, ou M, ou M', si c'est eux dont on cherclie les limites supérieures, r étant supposé donné ; et elle est du sixième degré en r si c'est ce rayon dont on cberche la limite inférieure, quand les forces et les moments sont donnés. On peut, dans ce dernier cas, la résoudre numériquement, sans la développer, en employant, par approximations successives, la vieille et si naturelle méthode de double fausse position (El Khataïm des Indiens), que Cardan appelait avec justice la Règle d'or, et qui est aussi sûre que prompte, puisque chaque opération offre une vérification des

opérations précédentes, en sorte qu'elle est, sous tous les rapports, bien préférable à la méthode dite de Newton, conservée dans les programmes d'études, et y figurant même encore seule.

On peut donner à cette équation une autre forme :

Soient r', r", ?•"', les valeurs qu'il faudrait respectivement donner au rayon r si le cylindre était seulement sollicité à s'étendre , à fléchir, à tordre. Comme on trouverait :

i— ' '' L îM i~l 31

~ !i„ in-* * — II,, -,■"-• ' ~ T0 m-«"» '

on a, en éliminant P, M, M' dans l'équation (c"j (*• i ( /••• — r'3r — r"3) (r3 -f ijr'âr + ij» "••) — r'»6 = 0 .

d'où l'on tirera la valeur à donner au rayon /■ du cylindre pour qu'il résiste d'une manière permanente à tous ces efforts réunis.

Ordinairement, l'effet de la tension longitudinale est relativement faible. Si donc l'on efface les termes en P ou si l'on fait r'- = 0, l'équation se résout algébriquement et donne

Un calcul prouve que pour des valeurs très variées du rapport de r'"5 à r"3, le rapport der' soit à l'un, soit à l'autre, est presque le même, soit qu'on

fasse i) == = ou -,, ou = . On pourrait donc, quand la matière n'offre pas une

très grande différence d'extensibilité dans le sens longitudinal et dans les sens transversaux, faire, dans toutes les formules ci-dessus

ce qui donnerait ici :

fc.) Prismes sollicités de même. — l'uur une autre sectiun que le cercle, le calcul est sensiblement plus compliqué. Le point dangereux sera généralement sur le contour, mais ni à l'endroit où il serait avec la traction et la flexion seules, ni à celui où il se trouverait placé si la torsion était seule : il faudia, pour le déterminer, se servir des formules déduites des considérations des '£% précédents, surtout du g 51 et de sa note, qui peuvent donner les glissements composants gx, g en tous les points du contour, et cher-

çnér celui où r, donné par la formule (y') avec (*') pour E<\, a la plu^