RÉSISTANCE. COMPARAISON AVEC LA THÉORIE ANCIENNE

plan de flexion (*). On voit qu'ici le fadeur 1 /-^ h — — remplace la réciproque du carré d'un rayon de giration qui se trouve dans une formule de la théorie ordinaire, exacte seulement lorsqu'on a a = y. ou lorsque cos 6 ou sinO est zéro.

Tout ce qu'on vient de dire montre la nécessité de partager chaque flexion en deux autres dont chacune est produite par les composantes de forces parallèles à un axe principal.

La recherche de la fibre la plus tendue est en liaison rigoureuse avec ce qui précède. On a vu que cette fibre est celle pour laquelle la tension longitudinale t., a la plus grande valeur, et que les tensions transversales tangentiales t , ïx n'ont pas à être prises en considération (**). L'expression (65) de t.. du § 25 :

t,. = E (a -f- a y x -t- a$) -+- Ez- ( bvx -+■ b^j)

se met sous la forme suivante, dès qu'on emploie les notations usitées précédemment :

r XÜ iM

de sorte que la plus grande valeur que puisse avoir cette expression détermine la fibre la plus fortement tendue. Si on pose de nouveau

on a vu au § précédent que la section transversale dangereuse était la section fixée (z = 0), et que la fibre de tension maximum se détermi-

(*) Il est facile de voir que ces considérations sur le véritable plan de flexion des primes élastiques et sur son inclinaison par rapport au plan du couple qui sollicite à fléchir, auraient pu être présentées d'une manière plus simple, sans parler ni des valeurs en u, v, des deux courbures, ni des bras de levier l — z des forces, ni des équations (63 ci) et (65) du § 24. L'emploi, du reste intéressant, de l'ellipse d'inertie, n'était point nécessaire. Sans renvoyer au Compte rendu du 50 octobre 1843, p. 945, ni au Mémoire de 1853 sur la torsion (Savants étrangers, t. XIV, n° 42;, on peut citer la note du n° 83, p. 53 des Leçons de Savier, où ce sujet est présenté d'une manière élémentaire.

(**) Ces tensions t.^., t n'ont, en effet, sur l'intensité de la plus grande tension principale, qu'une influence négligeable, parce qu'elles sont, aux points dangereux, très petites en comparaison de t , lorsque la longueur de la tige est grande en comparaison de ses

dimensions transversales. Il en est autrement pour les tiges très courtes, surtout lorsque, comme dans les bois

tendres (note Anale du § 16 vers la fin) le rapport - entre les coefficients d'élasticité

d'extension et de glissement est considérable. Je renvoie, pour ce sujet, à la fin de la Noie

finale du § 37, et aussi aux notes sur Xavier ainsi qu'au Mémoire sur la torsion, qui y sont

cités.

nait en menant, à la section principale, une tangente parallèle à la droite

X2 "r se8

Comme maintenant on a posé aussi

A = Rcosô , B = RsinG,

cette équation devient

x cos ö ( ?/ sin 6 a

ou, en ayant égard à l'équation (1 19).

--=. — tang a -

CeMe droite n'est donc autre chose que la normale au plan de flexion. Je rappelle encore que, clans la théorie ordinaire, on admet que la tangente à la ligne des centres de gravité, au point de cette ligne qui se trouve 'dans la section transversale fixée, reste parallèle à l'axe longitudinal primitif. Cela n'est pas rigoureusement exact, car les équations (72), l 25, p. 157, donnent

quantités qui ne sont autre chose que les projections sur les plans zx et zy d'un petit angle que fait, après les déplacements, l'axe de la tige avec la normale à la section fixe (*). Mais on peut remarquer qu'en les négligeant on ne commet pas une erreur importante; car ces deux quantités indépendantes de la longueur de la tige sont de l'ordre des dimensions transversales, et par conséquent les déplacements qu'elles régissent sont très petits par rapport aux autres. C'est une considération dont on a déjà fait un grand nombre d'applications.

La théorie ordinaire, même prise comme approximation, n'offre pas un accord aussi satisfaisant avec la théorie rigoureuse, en ce qui regarde la torsion.

Cela devait être. Dans la torsion, tous les déplacements des points sont de l'ordre des dimensions transversales des tiges, cl il est d'une

(') Cette observation avait été faite au Mémoire cité de 1845.