CHAPITRE III

:; 39. — De l'équilibre des plaques qui ne sont soumises à des forces extérieures que sur leurs faces latérales cylindriques.

La voie que nous avons suivie dans les études précédentes consiste à imaginer certains états d'équilibre et à chercher les problèmes qui peuvent naturellement conduire à ces états. Aux §§ 22 et suivants, nous avions un corps dont la dimension longitudinale était prépondérante, et dans lequel nous admettions, comme caractère général des états d'équilibre considérés, l'absence de toute force de pression latérale (*). Nous pouvons maintenant, par des considérations analogue?, imaginer des corps cylindriques dont les dimensions transversales soient prédominantes, et prendre comme caractère général des étals d'équilibre que nous étudierons, Yabsence de toute force de tension dans une direction perpendiculaire à leurs bases (**).

(') La même analyse aurait pu être étendue, presque sans modification, au cas où la surface supporterait une pression normale uniforme, comme celle de l'atmosphère ou de tout autre fluide supposé en repos et où toutes les faces planes intérieures, parallèles aux arêtes, supporteraient normalement, et par unité superficielle, la même pression.

('*) Les solutions, données aux §§ 23 à ."57, excepté le § 28, du problème de la détermination des états d'équilibre des prismes où les faces tant latérales qu'intérieures parallèles aux arêtes ne supportent aucune tension transversale, (t^= 0, t = 0, t = 0 partout) sont rigoureuses, quel que soit le rapport de la longueur aux deux autres dimensions; ces prismes peuvent être réduits à de simples tourteaux ou plaques sans que les formules de ces §§ cessent de fournir exactement les déplacements u, v, w de leurs points, pourvu que les forces qui étendent, contractent, fléchissent ou tordent, soient appliquées, comme nous avons dit, seulement sur leurs bases, et distribuées en leurs divers points de la manière régie par les expressions trouvées de t.., t.r, t ; forces qui peuvent avoir, au reste, une résultante et un moment résultant donnés quelconques.

Seulement, l'emploi de ces solutions pour la pratique, ou, comme dit l'auteur au § 28, pour des problèmes réels où les forces agissant vers les extrémités et ayant cette résultante et ce moment sont appliquées d'une autre manière et distribuées autrement, ne peut donner des résultats suffisamment approximatifs que lorsque la dimension longitudinale du prisme ou du cylindre est prépondérante comme il l'exprime ici; car ce n'est alors qu'à de certaines distances, généralement inférieures aux dimensions transversales, mais du même ordre de

296 CH.\r. III. — plaques d'épaisseur quelconque.

Imaginons une plaque cylindrique ou prismatique, dont l'épaisseur ne soit pas très petite, soumise exclusivement à des forces qui agissent sur sa face latérale contournante. Prenons encore pour axe des z son axe de figure, perpendiculaire à ses bases, et plaçons l'origine au milieu de son épaisseur, de manière que le plan ocij la divise en deux moitiés égales. Toute normale aux deux faces ou bases de la plaque est l'axe des z lui-même ou une de ses parallèles, de sorte que, dans les formules qui s'étendent à ces parties de la surface, on a, p et q étant comme aux §§ précédents, les angles de la normale à un élément de surface avec les x et les ?/,

cos;> = 0, cos 7 = 0;

et comme aucune force extérieure ne doit agir sur ces deux faces, les conditions de limite, pour leurs points, deviennent

(i2ia) t^=o, v,=o; »:,=0.

Ces équations ne s'appliquent tout d'abord qu'aux valeurs de z correspondant aux bases ou faces extrêmes de la plaque ; mais j'examinerai seulement les états d'équilibre dans lesquels elles sont satisfaites en tous les points du corps. On voit qu'alors les forces agissant sur les faces latérales cylindriques ne peuvent avoir aucune composante parallèle à l'axe des z, c'est-à-dire aucune composante normale aux bases, parce que, s'il en existait une, les tensions t(„, t' que nous supposons

nulles partout, ne le seraient point, au moins sur les bords de la plaque.

grandeur, que tout se règle, dans le prisme ou cylindre, conformément aux formules trouvées pour les déplacements et les tensions.

Tout l'artifice, ou toute l'idée de la position et de la solution du problème multiple auquel Clcbsch veut bien donner mon nom, est là.

De même, les solutions que l'auteur va donner aux ££ 39 à 4(3 pour des plaques où, au contraire, on suppose qu'il ne s'exerce aucune force sur les bases ni sur les sections qui leur sont parallèles (t,v = 0, t.(. .— 0, t = 0 partout) seront rigoureuses, même pour des prismes très longs; et ce qu'il trouvera pour les divers déplacements u, t', w sera exact, sous la condition que les forces extérieures seront appliquées seulement sur la surface latérale et distribuées comme l'indiqueront les formules trouvées pour f , t , t . Mais si l'on veut, pour le besoin de quelque problème pratique, les appliquer quand les forces agissant vers les bords sont autrement appliquées et distribuées, l'approximation ne suffira que quand les prismes se réduiront réellement à des plaques, ou quand les dimensions transversales, comme dit Clebsch, prédomineront.

C'est un double point qui se trouvera éclairci à la 2« partie où il sera question de corps dont une ou deux dimensions sont très petites.

Ajoutons toutefois que déjà, au numéro 6 et à tous ceux de 8 à 22 de notre Note de la lin du g 45, se trouveront des solutions exactes dans lesquelles les tensions tangentiales intérieures tJr, t ne seront pas nulles.

§ 39. — PLAQtES SOLLICITÉES S! TLEMEIST SUR LEURS FACES LATÉRALES. 292

Ces conditions ou données (121a) réduisent les truis équations générales (24), § 12, de l'équilibre d'élasticité d'un corps solide dans l'intérieur duquel aucune force extérieure n'est supposée exercer une action sensible (ce qui en annule les derniers termes X, Y, Z), aux deux suivantes :

ot < I Ç\ c\

Mettant, pour les composantes de tensions l r t , dans (121a)

et (1216) leurs expressions qui sont, la matière de la plaque étant supposée avoir une égale contexture dans les divers sens transversaux ou parallèles aux xy (*).

du

t}v rc.r

xx c'.x i ' y < ;.

=«gs

t X tlj ( z

avec a = b = 2f-j-f.

Cette substitution des (121c) dans les (121a) nous donnera les re-

C) Ces expressions sont celles (h) A' Isotropie seulement transversale empruntées au numéro 13, p. 77 de la Note finale du § 16, avec les valeurs (28) — , ^r + sr c'es s*x dé-

ox c il ox

formations élémentaires^.... . gTl. données au § 13, p. 49.

Nous ne pouvons en effet ici nous contenter, comme aux §§22 [form. (01 j], 23, [form. (03 ] et autres jusqu'à 38, relatifs aux tiges, de considérer le module E = E d'extension longitudinale, celui G = d = e, de glissement dans les sens transversaux, et le rapport i) des contractions latérales aux extensions longitudinales qu'elles accompagnent. Il faudra, pour les plaques, en introduire d'autres relatifs à des sens différents, ainsi qu'on a dit à" la Note du n° 16 et qu'on verra par les équations (132 a) et suivantes, afin d'embrasser, comme aux §§ cités le cas habituel d'une contexture autre dans le sens longitudinal que dans les sens transversaux.

Mais pour arriver à ces formules et équations (132 a), qui ne différeront de celles de Clebscli que par quelques accents, il nous est nécessaire d'invoquer les formules de la note citée du § 16 et de modifier un peu la rédaction de Clebsch. Nous le ferons en suivant presque pas à pas sa marche, sans plus de complication dans les calculs. On verra même, si l'on compare ce qui suit avec son texte, que nous n'avons pas besoin de faire arbitrairement, comme il l'a fait avant son équation (128), nulle une certaine constante C affectant primitivement ir' dans sa première expression w, et dont il n'a pas reconnu de prime abord la nullité obligée.

parce qu'il ne paraît pas avoir aperçu la nécessité, que nous démontrons, de ^ ( -t^-2 1=0.

298 CffAP. III. — PLAQUES D'ÉPAISSEUR QUELCONQUE.

lations

v Î ./• r ;• OZ i II

du c v c ( w

v ; VX t IJ ü £/*

et la même substitution dans les (1216) nous fournira les équations d'équilibre

Au moyen des deux premières (122) de ces cinq égalités, on peut éliminer u et v des trois autres, différentiées par rapport à ^. Or je dis qu'il en résultera

{m) £(» = 0. £(£) = 0. lf£)=0-

v dx\dz% ) oy\d#) dz\oz*/

En effet, cette élimination de u et de v change les (123) et (124) en

1c lw i Uv c < -w

<- ä \c)ar ci/-/ âx\l z2

Mettant dans les deux dernières de ces équations, à la place du

binôme différentiel entre parenthèses, sa valeur -^ 7— donnée par la

c / d'première, on a, en divisant par la quantité constante -p ( 21'+ f

précisément les deux premières (125).

Quant à la troisième (125), elle résulte de ce que, si l'on ajoute ensemble les deux (124) différentiées respectivement par rapport ax

et à y, et si l'on remplace ensuite le binôme j- -+- — par sa valeur (125)

C f IV ,. . , . , , c / '„ ri d'

— r,7-)On a, en divisant tout par la constante -tt ( '. d cz ' d \

ox*\dz} VtfXVz)