J. — PLAQUES SOLLICITÉES SEULEMENT SUR LEURS FACES LATÉRALES
c'est-à-dire la nullité du premier membre, différence par rapporta z, de la première des trois égalités (126). Donc son second membre, différentié de môme, est nul aussi, ce qui fournit la troisième des égalités annoncées (125) (*).
Nous pouvons donc, C étant une constante à déterminer ultérieurement, poser
,.»„ t 'if .
t sa
On en tire, par intégration, F et pétant deux fonctions arbitraires
c x~ -4- ir de x, il, et le terme — C — ■ — y-^~ étant distrait de la seconde dans la
seule vue d'obtenir ensuite pour sa détermination une équation d'une
forme plus simple :
(126 c) w==-&-xF+f-C*f*+j£.
cW
En substituant dans l'équation (126 bis) la valeur (1266) de — > on
voit que la fonction inconnue F doit satisfaire à l'équation aux dérivées partielles
(127, ??+ÏÏ = 0.
c IV
Et, en substituant les valeurs (1266 et c) de — et de w dans la première (126), on voit que l'autre fonction /"doit satisfaire à
Les deux équations (122) — = — - — , — = — ~~ donnent ensuite
c z t x cz c y
par substitution de (126c) et intégration, 9 et $ étant de nouvelles
fonctions arbitraires de x, y, à déterminer ultérieurement :
(*) Ces trois égalités (125), bases de l'analyse qui suit, relative aux plaques d'épaisseur quelconque, ou aux prismes sollicités seulement sur leurs faces latérales, nous paraissent exiger, pour être la conséquence de (121 a) txz = 0, t = 0, t,. = 0, l'égalité de contexture dans les sens transversaux. Je n'ai pu les obtenir en regardant la contexture régie seulement par les équations (g) de simple symétrie de contexture en trois sens de la Note du § 10.
Les expressions (126c), (129), obtenues ainsi pour u, u, w, satisfont identiquement aux deux conditions (122). Quant à la condition (125), si on les y introduit aussi, l'on a une condition de plus, portant sur les deux fonctions nouvelles o et <\>; condition qui, eu égard aux (127), (128), est exprimée par la première des (1296) que nous allons poser; et, en introduisant également ces expressions (125), (126c), (129) dans
les équations d'équilibre (124), où on aura mis pour - — h 7- sa valeur (125), l'on obtient, en ayant égard à ce que les dérivées soit en x, soit en y des premiers membres binômes des équations (127), (128), sont nulles, et en se servant, ce qui abrège, de ce coefficient ou module d'élasticité d'extension a^ propre aux éléments des plaques (parallèles à leurs faces), qui a été indiqué d'avance au n° 16 bis de la Note de la fin du § 16, et que nous emploierons surtout aux grandes Notes des §§ 45 et 75, c'est-à-dire en faisant :
on obtient, disons-nous, les trois équations suivantes :
Si l'on diffôrentie la seconde de ces équations par rapport à .r, la troisième par rapport à ?/, et si on les ajoute, en tenant compte de la
première, on retrouve l'équation (127) —+—=0, propre à déterminer F. Cette équation (127) est donc contenue dans les trois que nous venons d'écrire; on peut, par conséquent, se servir de la première des (1296) pour éliminer F des deux autres, qui deviennent, alors.
dx^dy~ d'1 >
cj-tf c'2*? c /a, 8x9~8if~t'd'\ f
c x* l t 1/- \ t ' i xt y
Si l'on détermine par ces deux équations et par celle (128), en /", les trois fonctions de x, y, appelées f, 9, ty, on aura satisfait à toutes les conditions du problème.
Nous pouvons donc exprimer les déplacements qui se produisent
