R=:2,m', 9? = a\ l = L'. m=M', Pr=P
quels que soient les coefficients de 0'; on trouve ainsi qu'il suffit de
poser
/j=:3Gj, /f, = 3H3, A*, i=3Gi,
e=;/>i=:2E, /i =z/j ziz L,, r^ — - C, r^ 2F.
En définitive, les trois fonctions L, M, P renferment des termes en tL,
t^, ^Y], qui ont pour coefficients les six quantités
d-{-Cu
Â-^H- <ii,
Ci-^hi,
A+Zi,
composées de deux termes, qu'il faut prendre égaux pour passer du cas général des équations (5) aux équations (6). L'égalité de 12 coefficients deux à deux réduit ainsi à i5 les 21 coefficients du cas général.
Si Ton n'avait pas regardé comme nulles les premières sommes qui se trouvent dans les seconds membres des équations (4), on n'aurait pu identifier ces équations avec celles de la théorie de l'élasticité.
Il est très important de voir ce que deviennent les formules relatives au corps isotrope, trouvées n** 25, quand on le suppose composé de molécules qui s'attirent ou se repoussent suivant une fonction de la distance. Dans les équations (e) du n** 24, il faut faire /= a^ ; on a donc Di) = 3a^ ; par suite,
Nous verrons que les expériences prouvent que cette égalité n'a pas lieu, mais que le rapport - a une valeur variable avec la substance.
CORPS ISOTROPES. — SOLUTIONS DE QUELQUES PROBLÈMES SUR L'ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ DE CES CORPS.
Dans le premier Chapitre, nous nous sommes occupés des propriétés des corps solides élastiques homogènes, pris dans toute leur généralité. Nous allons maintenant supposer que les corps sont isotropes et résoudre quelques problèmes fort simples sur leur équilibre d'élasticité.
Nous avons vu que, dans ce cas, les expressions des composantes élastiques dépendent de deux coefficients X et [x. Si X est différent de pi, il faudra en conclure (n° 28) qu'un corps solide isotrope ne peut être considéré comme un assemblage de molécules libres qui s'attirent ou se repoussent mutuellement suivant une fonction de leurs distances, et, à plus forte raison, cette hypothèse ne pourra être admise pour les corps hétérotropes. Or les solutions des problèmes que nous traiterons nous donneront des formules qui, comparées avec les résultats de l'expérience, montreront queX est différent de fji.
Equations de l* équilibre d* élasticité,
1. Si l'on désigne de nouveau par a, v, w les projections du déplacement de chaque point du corps après la déformation, la dilatation de volume en chaque point sera
du dv dsv dx dy dz
et les composantes des forces élastiques auront pour expressions
-. - du -, „ (dv d{v\
Y. = V. + afx^, Z. ^X, = ,.(^^-+ ^ j,
- div (du dv\
En substituant ces expressions dans les équations de l'équilibre d'élasticité
d\* <iXj ûTK» .
<ivC rfj' dz ^
.dY, dY^ dY, ^
<iZi û?Zo dZé^ ^
d.r dy dz " '
nous obtenons les équations suivantes auxquelles doivent satisfaire les déplacements w, v, m^',
(X-,-fx)^+fx(^-^+^ + -^) + pC--=:0.
Si l'on fait X = (jl, on obtient les équations trouvées directement par Navier, en supposant que les molécules agissent l'une sur l'autre suivant une fonction de leur distance; car Poisson a considéré le premier les forces élastiques exercées sur un plan et établi les équations (i).
En outre, on a à satisfaire à'des conditions aux limites, exprimant quelles sont les forces appliquées à la surface du corps; ce que Ton fera en appliquant le théorème de l'équilibre du tétraèdre (Chap. I, n^6).
2. En se rappelant la valeur de u, les équations précédentes peuvent
CORPS ISOTROPES. 4?
aussi s écrire
,. ^d'j V d (du d{>\ d ( dw duW .
,. ^ d\j V d (dv dw\ d (du d^W
^ d\> \ d (dw du\ d ( dv dwW
Employons cette notation bien connue
ûPu d^'j d?"o .
dx^ dy'^ dz^ '
puis différentions les trois équations précédentes respectivement par rapport à ^r, j, s, et ajoutons; nous aurons
(3) (X^.jx)Au + p(^^4-3^4-^j=o.
Si la force extérieure est nulle ou, plus généralement, si ses composantes A, B, C satisfont à Téquation
dPi d^ dC (^) d^'^d^^Tz'^''^
l'équation (3) se réduira à
L'équation (4) a effectivement lieu si les composantes A, B, C proviennent d'attractions ou de répulsions de centres fixes, s'exerçanl en raison inverse du carré de la distance. Alors, en effet, A, B, C peuvent se mettre sous cette forme
A-^ YK-^^ r-^^
dœ dy dz
et l'on a l'équation (4) ou
(6) AF=:o.
Si le corps, au lieu d'être en équilibre d'élasticité, subissait un mou-
vement vibratoire, on devrait remplacer A, B, C par
dru d^\' d^w
dl^ ' dt^ ' dt^' '
et l'on aurait, au lieu de l'équation (3),
Formons le A de la première équation (2), c'est-à-dire formons-en les dérivées secondes par rapport à ^, y, 2, et ajoutons les trois résultats. Alors, d'après les équations (5) et (6), nous aurons
A Aw ^=- o;
nous aurons de même
A Ai' =:: O, A AlV =:: O.
Les composantes des forces élastiques sont des fonctions linéaires des dérivées w, ^, (i^ par rapport à ^, j, :?; il en résulte que chacune de ces composantes K satisfait a l'équation
A AK = o.
Corps soumis à une pression uniforme sur toute sa surface.
3. Lorsqu'un corps isotrope est soumis à une pression uniforme sur toute sa surface, telle que celle d'un gaz, il est facile de vérifier que le corps se contractera en restant semblable à lui-même. Si l'on désigne par (a, |3, y) le centre de similitude et par {x\y\z') le point(a;, y, 5) après son déplacement, nous pourrons poser
k étant le rapport de similitude. Remplaçonsa?', y,s'par 0?-+- w, jk-H^, w, et nous aurons
ou, en remplaçant i — k par a et négligeant des parties constantes qui
CORPS ISOTROPES. 49
ne peuvent correspondre qu'à une translation du corps,
Si Ton néglige les forces extérieures, qui se réduisent en général à la pesanteur, on reconnaît que ces expressions satisfont aux équations (2).
D'après les formules (a), on peut former les composantes élastiques, et l'on trouve que les composantes tangentielles sont nulles et que les composantes normales sont toutes égales à — (3X 4- i\k)a. Désignons par P la pression exercée à la surface du corps, et nous aurons
P -— (3> -1- 2|UL)a, a .
en prenant la quantité P positive.
Appliquons ce problème au piézomètre d'Oersted. Use compose d'un vase qui contient le liquide dont on veut mesurer la compressibilité; ce vase est muni d'une tige capillaire ouverte, un index d'un autre liquide termine le premier liquide. Cet appareil plonge dans un vase fermé, à fortes parois, rempli d'eau que l'on comprime en tournant une vis.
Le vase intérieur est ordinairement cylindrique; mais laissons sa forme entièrement arbitraire. Les formules précédentes peuvent être appliquées à ce vase, dans lequel nous n'avons pas à distinguer la surface intérieure de la surface extérieure, puisque le vase est ouvert et que la pression est la même sur les deux surfaces. En désignant par a la contraction linéaire, par — u la contraction cubique de cette enveloppe, par X, (X des coefficients qui se rapportent h sa substance, enfin par P la pression exercée par la compression de l'eau, nous aurons
6K m- ip. 6k î- 2|JL
Ainsi le corps creux, qui contient le liquide à essayer, subit exactement la même contraction qu'un corps solide plein, de même matière et terminé par la même surface extérieure. Donc le déplacement de l'index dans le tute capillaire donnera la différence des compressibilités cubiques du liquide et du verre qui le contient.
M. — Klftst. 7
5o CHAPITRE II.
Allongement d'un corps prismatique par la traction.
4. Supposons un corps prismatique dont la longueur est verticale. Mettons Taxe des z vertical et dirigé de haut en bas, et plaçons l'origine des coordonnées sur la base supérieure. Cette base est encastrée et l'extrémité inférieure tirée par un poids P.
On peut satisfaire au problème en posant
((3) u^^ — aœ, V ^:z — ay, kv^^cz.
En effet, en négligeant la pesanteur du prisme, ces expressions vérifieront les trois équations (2). On reconnaît aussi que les composantes tangentielles sont nulles et que les composantes normales ont pour valeurs
Ys^ Xi= (c — 2a)X — 2«/ji,
Z3 =rr. (C — 2ûr)X — 2C/JI.
Or, tout le long de la surface latérale, la force élastique est nulle; donc X^ et Yj sont nuls, et, la traction exercée sur toute la base inférieure a étant P, on a
On a donc ces deux équations
(C--2a)X — 2a|JL:-:o, (C -- 2 a)X f- 2CfX =-^ ->
et il en résulte
C^=i — -ir^ ■ r— > a -z-
fJL(3X -h 2/Jl) Π2|Jl(3X -i- 2|Jl) (J
Ainsi l'allongement longitudinal produit par la traction est accompagné d'une contraction transversale. On a ensuite, pour la dilatation
cubique,
\jz=zC — 2 a =::
3 X -i- 2 /JL (J
On appelle coefficient d'élasticité le rapport du poids - à la dilatation
CORPS ISOTROPES. 5l
linéaire c qu'il produit dans le fil. Ainsi l'on a, pour le coefficient d'élasticité,
Ezzz ^ ^ f^(3X- 4-2fx)
Si l'on suppose que les actions moléculaires proviennent de forces qui ne dépendent que des distances de molécule à molécule, on a X = (X, et les formules précédentes deviennent
Djx a lojJL <j o\L (j
Il en résulterait que la contraction transversale serait le quart de l'allongement longitudinal, et, l'unité de longueur du fil s'étant changée
en I -hc, le volume du prisme croîtrait dans le rapport de i-h - à
l'unité.
5. Supposons ensuite, ce qui a lieu le plus souvent, que le prisme ne soit pas parfaitement isotrope, mais qu'il puisse être considéré comme ayant un axe d'isotropie parallèle à sa longueur. Nous pourrons encore adopter les formules (P). Les expressions des composantes élastiques sont (Chap. I, n"" 24)
Zj — C?^-hCDy-+-DcV,
Les composantes tangentielles sont encore nulles, et, en exprimant que les forces élastiques sont nulles sur la surface latérale et que le prisme est tiré par le poids P, on a
— (A-+-B)a-h Cc = o, — aCûT -^Dc — — .
On en tire
C P A hB p
-- Fffrz'
~ Itgzx,
^xy.
a ~ T-T îï— ï;^ 7^;: -> Ci::::
(A-f-B)D-2C» (7 (A4-B)D — aC» a
En définissant le coefficient d'élasticité comme ci-dessus, on a
td 7 fZ 5
et, comme la force élastique Z3 est égale à — > on obtient
Z3 Ec.
Tramil des forces élastiques dans un corps isotrope.
6. Nous avons vu (Chap. I, n"" 19) que le travail élémentaire des forces élastiques développées à l'intérieur d'un corps solide a pour valeur
Supposons le corps isotrope et remplaçons les composantes élastiques par les valeurs données au n^ 1 ; nous aurons
Ô^f = —j [fX ( 2 D;^ ÔCV + 2 Dy dt\ 4- 2 ;) . a;) - t- g y:, àgy^ -\- g.^ hg^:, -4- g^y ^ g ^y )
-\- >i(c^a:-i- î)y-4- î)a) Ô(Da:H- î)y-}- î)^)] t/cj.
En intégrant depuis des valeurs nulles des déformations jusqu'aux valeurs qu'elles obtiennent à l'instant considéré, on obtient
pour le travail produit par l'entière déformation.
Au lieu des dilatations D et des glissements g^ on peut introduire dans i les composantes des forces élastiques, et l'on obtiendra ainsi une formule du travail donnée autrefois par Clapeyron. Substituons les expressions
. Xi-Xu . Y,-Xu . Za-X'j Xi-4-Y, + Z,
Vx — > c'yzr , ^z^=^ > V =^ — ô"s >
2|JL ^ 2^ 2fJL 3A -h 2/JL
Y, Zi X,
CORPS ISOTROPES. 53
et nous aurons en faisant
' - ^"^^ (X,H-Y,-hZ3)»----(XiY, + Y,Z34-Z3Xt-YÎ--ZÎ-XÎ).
Si nous posons ensuite
X, 4^ Y, 4^ Za^rz Jl,, X, Y, i- YjZa-t Z3X1 - Yî - Z; - XJ ^- IIJ>
ou, en adoptant les notations indiquées (Chap. I, n^ 5),
Ni+ N,-4- Njnr Jl,, NiN, -H NjNj-i- N3N1 - Tî ~ ÏJ - TJ - iH»,
les quantités — Ji, et iib sont les coefficients des deuxième et troisième termes de l'équation qui donne les forces élastiques principales A, B, C (Chap. I, n^ll).
Introduisons aussi le coefficient d'élasticité E, et l'expression de ê pourra s'écrire
ou
.f ^ - ri ^(A-+-B-f-C)*- ^(AB-f-BCH-AC)le/Gj.
Dans le cas du n** 4, où deux des forces élastiques principales B et C sont nulles, tandis que la troisième A est constante, on a
V étant le volume du corps.
Si le corps est également comprimé dans tous les sens par une pression P, on posera
AzizBi- C-- -P,
et l'on aura
2(3A-+- ajx)
Sphère creuse soumise à une pression intérieure et à une press'wn
extérieure.
7. Cherchons l'équilibre d'élasticité d'une sphère creuse sollicitée à l'intérieur et à l'extérieur par deux pressions distinctes, mais qui restent les mêmes sur chacune des sphères concentriques qui limitent le corps.
Si nous négligeons l'action de la pesanteur, le corps restera semblable à ce qu'il était avant l'action de ces pressions. Mettons l'origine au centre de la sphère et les déplacements des points du corps peuvent être représentés par
p étant une fonction qui ne dépend que de la distance rau centre de la sphère; puis on a, pour la dilatation cubique,
dp Tr
^j,-Sp.^r~^^
De ces expressions on déduit, pour les composantes des forces élastiques,
2|jL^*-h Ir- dp
X,:=(3X4- 2|JL)p4-
r dr
^ xy dp - yz do ,, zœ dp
^ r dr ^ r dr "^ r dr
Transformons les équations de l'élasticité
(a) (^-hX)^ -I- fxAwn^o,
CORPS ISOTROPES. , 55
D*après la valeur ci-dessus de u, on a D'autre part, d'après l'expression de m, on a
du dp x^ du dp xy du dp xz
dx dr r ^' dy dr r ' dz dr r
et ensuite
d^u d}p x^ dp fZx x^
dx^ dr^ r* dr \ r <Pu d^p y-x , dp (œ
x*\ X xy^ \
dy* dr^ r' dr \
d^u d^p z^x dp f X xz^
dz^ dr* r* dr \ r r
En ajoutant ces trois expressions, on a
Substituons (b) et (c) dans (a), et nous obtenons
rf*p , dp
En intégrant, on a
OÙ C et c sont des constantes.
Représentons ensuite par/? et P des quantités positives qui expri ment les pressions intérieure et extérieure; nous aurons, pour condition a la surface extérieure r~b (Chap. I, n^ 6),
et, en remplaçant les forces élastiques par leurs valeurs et divisant par
'-> nous obtiendrons
OÙ l'indice b indique qu'on fait r—h.k\^ surface intérieure, la normale extérieure a une position directement contraire à celle qu'elle a à la surface extérieure, et Ton trouve, de même.
En remplaçant p par sa valeur, nous obtenons ces deux équations pour déterminer C et C
- P -r: (3>l -~ 2pL)C - l^[i.G l \
- -/>- . (SX :-2jUL)C — /i/J^C'a-\
On en conclut
(3>.T-2pL)(^"»-a=»)' ^"~ {^^' b'^-a^'
et la dilatation cubique d est égale à la constante 3C.
Dans le cas d'une sphère pleine, p devant être fini pour r = o se réduit à C, et Ton obtient
OA -î- 2pL
par la condition relative à la surface r - h. Au reste, ce cas particulier rentre dans le problème du n^ 3.
8. Occupons-nous ensuite des forces élastiques développées dans le corps creux. Menons l'axe des x par le point que l'on veut considérer, et calculons les forces élastiques exercées en ce point sur un plan perpendiculaire au rayon et sur un plan quelconque passant par ce rayon, qu'on peut prendre pour plan des zx.
Dans les expressions des forces élastiques, nous devons faire j^^o, z ~ o^ X --r. Les composantes tangentielles sont nulles et les forces
CORPS ISOTROPES. ^7
élastiques principales seront
V / , aiNr / C' pa»-Ph» p-P a*b*
Si nous supposons P négligeable devant j9, nous aurons ces formules plus simples
D'après ces valeurs, X, varie entre o et — p, et, si l'épaisseur de la sphère creuse est très petite, Yj au contraire sera beaucoup plus grand que p.
Cherchons ensuite les dilatations linéaires. Nous avons
du dp dv dp
dx ^ dx^ dy ^ ^ dy^
et en faisant j ~ o, -s = o, nous aurons, pour les dilatations linéaires suivant le rayon et perpendiculairement au rayon,
dp ^ QJ ^ C
dr r* ^ r*
Équilibre d'élasticité d'un cylindre creux.
9. On a une enveloppe cylindrique de révolution et dont les parois sont sollicitées à l'intérieur par la pression/) et à l'extérieur par la pression P. Ce cylindre est fermé à ses deux extrémités par deux plaques planes très épaisses dont on néglige l'élasticité.
Plaçons l'axe des z suivant l'axe du cylindre et l'origine des coordonnées au milieu de cet axe. Posons
M. — F.laaU
r = yjx'^ -\- y^ ,
en regardant p comme fonction de r seulement. Nous aurons
du dv dw dw dp
dx dy dz dz dr ^'
Formons les équations (2) du n^ 1, en négligeant la pesanteur
d\) (a) fxAtf 4-(fi4-X)^:i:.o,
Nous trouverons
(d}p Z dp\ d\j /^P 3 rfp\ du d^w
dr* r drj^ dy^^ \dr* r drj' dz ~ dz*
dz
et, en substituant dans les équations (a), on obtient
d*w d^p 3 dp
dz* * dr* r dr
Gomme (v est nul pour z — o^ on en conclut On obtient ensuite, pour les forces élastiques,
Y ^dw ^ ^^^ ^ ^^^ ^ i[>.x*'\-'kr* dp
dr'
dr
OU
,- X-^ + 2(fX4-X)p-f- YJ- X-^-f-2(fX4-X)pH-
Z, - (X -i-ap)A+ aXC;
CORPS ISOTROPES. Sq
Là dilatation cubique est constante, et l'on a
En exprimant les conditions relatives aux surfaces intérieure et extérieure du cylindre, correspondant à r= a et r= 6, nous aurons
pour r = «,
pour r — by
et il en résulte les deux équations suivantes :
(l) — />::izXA:-h2(fX-hX)C— 2|Jl — ,
(a) --P=:>A:H-2(fji-+-X)C— 2fjL^.
La partie cylindrique éprouve une traction F suivant Taxe, résultant des pressions intérieure et extérieure, qui s'exercent sur les fonds, et Ton a
(y) F7r(6«— a«)— /?7ra* — PTrfe*,
équation qui détermine F. La pression p étant supposée notablement plus grande que P, F est positif.
Enfin, sur les sections finales de l'enveloppe cylindrique ou pour 5 = db /, on doit avoir les conditions
Z,=zF, Z, o, Z,z^o,
dont les deux dernières sont déjà satisfaites. Il en résuite cette nouvelle condition
(3) (X-h2/jL)X:-+-aXC=:F.
Les équations (i), (2), (3) déterminent les constantes k, C, C. On
trouve ainsi, en remplaçant F d'après (y).
3X-i-2|jL b^ — a* 3X-h2fJL b^—a
10. Cherchons les forces élastiques principales à Tintérieur de l'enveloppe cylindrique (Chap. I, n** 9). Ces forces ne varient pas avec z. Menons l'axe des x dans la section moyenne sur le point que nous voulons considérer. Nous devrons faire, dans les formules (P), j = o, s — o, a? = r, et nous aurons
ÇJ
Xi=iXAr-i-2(fii-f-X)C — 2|JL-^»
Y, r=>Ar4-2(fx-f-X)C-f-2fx — ,
Z3 --.. ()L-f-2fjL)/r-}-2AC;
X, - O, Yj — O, Zj -: o.
On obtient ainsi les forces élastiques principales, et elles agissent respectivement sur un plan perpendiculaire au rayon, sur un méridien et sur une section droite.
La seconde force est plus grande que la première ; sa valeur maximum, qui a lieu pour r = a, est
., . ..^ C pà'-Vb^-^b^p-V)
Si l'on donne à cette expression la valeur limite H, qu'on ne veut pas dépasser pour la traction, afin d'éviter une déformation permanente, on aura
pa^-Pb*-^b^{p-P) „
et, par suite, on obtiendra
~â '\ -xV — P~\ )\^ I p — P
CORPS ISOTROPES. 6l
pour la plus petite valeur que l'on puisse donner au rapport -• Posons
b=za{i~\- e),
et si ^-^-g est très petit, ce qui a lieu ordinairement, on aura
Ces formules ont été données par Lamé.
Mais c'est plutôt aux dilatations linéaires qu'aux forces élastiques qu'il ne faut pas faire dépasser certaines limites, pour empêcher les déformations permanentes et les ruptures. Les expressions des dilatations linéaires sont
du x^ dp dv j' dp dw ,
dx ^ r dr^ dy ~^ r dr^ dz'~ '
Nous obtiendrons les dilatations principales comme les forces élastiques principales, en faisant y = o, js — - o, a? = r, et nous aurons
da dp dv dw
dx ^ dr^ dy " ^* dz
dx r* dy~'^ /•* dz
Ces dilatations sont dirigées respectivement suivant le rayon, perpendiculairement au méridien et parallèlement à l'axe du cylindre.
La plus grande dilatation perpendiculaire au méridien est C -i — ^^
et, si aucune dilatation ne doit dépasser une limite A, pour qu'il n'y ait pas détérioration, on devra poser
on en conclut
/ 2fx[/^-i-(3X -4 -2fJL)/t]
et l'on en déduit la plus petite épaisseur qu'on puisse donner à l'enveloppe cylindrique.
