CHAPITRE II. — CORPS ISOTROPES
Sur la détermination du rapport -•
11. La détermination exacte du rapport - présente de grandes difficultés, qui avaient été remarquées par Kirchhoff en i856. Au commencement du Chapitre I, nous avons admis qu'un corps solide élastique revient à sa première forme après une déformation très petite. Or cela n'est pas exact d'une manière absolue et ne peut être admis qu'autant que le corps a été déjà soumis à des forces qui ont modifié l'état élastique du corps. Autrement, le corps subit une déformation permanente. Mais, d'autre part, si le corps, avant d'avoir été soumis à des forces, pouvait être considéré comme isotrope, il ne sera plus isotrope après la modification de son état élastique. C'est ce qui a lieu certainement pour des fils métalliques auxquels on a fait porter des poids, lors même qu'on aurait pu les considérer comme isotropes avant qu'ils aient été soumis à cette opération.
Un grand nombre de physiciens se sont occupés de la recherche très
importante du rapport - dans différents corps élastiques isotropes, rap-
port auquel on peut substituer celui de la contraction linéaire à la dilatation longitudinale d'une tige tirée suivant sa longueur, et lequel est représenté (n** 4) par
2 /JL4-X*
il serait égal à ^ d'après Poisson.
Les formules de ce Chapitre peuvent suffire à la détermination de cette quantité par l'expérience. Néanmoins, les physiciens ont préféré, en général, se servir des formules de la flexion et de la torsion. De ces recherches, il résulte que le rapport G n'est pas un nombre constant, qu'il est quelquefois très voisin de {, mais plus souvent, et en particulier pour les métaux, notablement supérieur à {. Ainsi, pour les métaux, X est en général beaucoup plus grand que [x.
La théorie mathématique de l'élasticité a été appliquée à la détermination de la torsion et de la flexion des cylindres d'abord par Poisson et Cauchy; mais cette recherche a été ensuite complètement modifiée par de Saint-Venant.
Commençons par nous occuper de la torsion des cylindres les plus simples.
Torsion d'une tige circulaire ou elliptique.
1. Supposons qu'on torde une tige circulaire autour de son axe. Nous allons voir qu'on peut admettre que toutes les molécules situées dans un même plan perpendiculaire à l'axe y restent après la torsion, et qu'elles décrivent des arcs de cercle autour de cet axe. Prenons pour l'axe des z l'axe de la tige et pour origine des coordonnées l'extrémité de cet axe située sur la base que l'on a fixée.
La torsion se faisant de l'axe des œ vers l'axe des j et étant regardée comme très petite, nous pouvons poser
(1) étant un angle variable avec z. Substituons dans les équations (2) de l'élasticité (Chap. II, n^ 1), en négligeant l'action de la pesanteur, et nous trouvons
puis, comme o> est nul pour s = o, nous obtenons
64 CUAPITRE 111.
B étant une constante. Nous obtenons ainsi
(3) u — — Byzy if =:BxZf w--o.
Désignons les forces élastiques^ comme nous avons dit (Ghap. I, n^ 5), en employant la lettre N pour les composantes normales et la lettre T pour les composantes tangentielles, et nous aurons^ d'après les expressions de ces composantes (Chap. II, n® 1),
La force élastique doit être nulle sur la surface latérale du cylindre; mais cette propriété est satisfaite d'elle-même d'après les équations
Ni — o, N,=:o, Tj — o, T,a;4-Tiy^o.
Quant à la force qui agit en chaque point de la base, elle a pour composantes
elle est donc tangentielle. La somme des moments de toutes ces forces autour de l'axe des z est
f{Yx - \y) dx dy - fxB Ç /' dr Ç dQ ^'^ fxBB*,
R étant le rayon de la tige. Ainsi, l'effet de ces forces est celui d'un couple dont l'axe est dirigé suivant l'axe des z et dont le moment est
-[xBR*. Désignons par a l'angle dont la base mobile a tourné par rap-
port à la base fixe ; nous aurons, d'après (2),
a-B/, d'où B=^^.
On satisfera donc à toutes les circonstances précédentes en appliquant à l'extrémité libre de la tige un couple dont l'axe soit dirigé suivant l'axe de la tige et dont le moment ait pour grandeur
Ce calcul a été donné pour la première fois par Lamé et Glapeyron;
mais le résultat avait été reconnu bien auparavant au moyen de l'expérience.
Sur cette solution nous devons faire deux remarques. La première, c'est que le mode de distribution que nous avons obtenu pour les forces appliquées sur la base libre n'a jamais lieu en réalité. En général, une extrémité est fixe et encastrée, et l'autre extrémité subit une torsion par l'application de forces produisant un couple et exercées à l'extrémité de la surface latérale du cylindre. Mais, si la longueur de la tige est grande par rapport à son diamètre, pourvu que l'on excepte le voisinage des extrémités, l'état de la tige sera à très peu près ce que nous venons de trouver.
Une autre remarque à faire : c'est que, si la tige est très longue, l'angle a pourra n'être pas très petit et que les déplacements des points de la base mobile pourront être trop grands pour qu'on puisse y appliquer les équations de la théorie de l'élasticité qui les suppose extrêmement petits. Mais on peut alors diviser la tige en un certain nombre n de parties égales assez petites pour que les déplacements relatifs restent très petits dans chaque partie et qu'on puisse y appliquer l'analyse précédente. Ainsi, dans chacune de ces parties, les forces élastiques seront données par les formules (4)» et par suite le moment de
torsion sera -(xBR\ Alors, dans la formule qui donne B, nous devrons
remplacer /par - et a par -, et, par suite, l'expression de B restera la
même. La solution n'est donc par changée.
Les mêmes remarques sont applicables aux torsions des corps que nous allons examiner.
2. Occupons-nous ensuite de la torsion d'une tige dont la section est une ellipse
Nous adopterons encore les deux premières équations (3) pour les projections du déplacement sur les axes des x et des r ; mais nous ne pourrons plus supposer w nul, et nous poserons
(5) «/—— Bv5, K-^xz, w —^{x,y),
M. — Élaat. 9
66 CHAPITRE m.
Substiïuon^s ces expressions dans \es équations de l'élasticité, et nous
trouverons q\u'on peut efTectivement y satisfaire en posant
D'autre part, les es
;es élastiques deviennent
et la force élastique, en général, pour cou
■allèle à l'axe des z, aura,
(Chap. I, n° 6), en de&iguaui pai «, p les angles de la iV^ ormale au plan avec les axes des x et des y.
La force i doit être nulle sur la surface du cylindre; ce q sur cette surface,
a' i/jc 6* dy
Pour satisfaire à l'équalion (6) et à la condition (7), poso et nous en conclurons
Quant à la force qui agit en chaque point Je la hase du elle a pour composantes
et nous aurons, pour la somme des moments de toutes ces forces, pour faire cette double intégration, changeons les variables en posant
XT^.ap cos By y -- bp sin 0,
et faisant varier/? d^ o à i et de o à 2ir. Nous trouverons ainsi pour la somme de ces moments
Désignons encore par / la longueur de la tige. D'après les formules (5), Hz est l'angle dont tournent les points de la section qui a z pour coordonnée. Si donc la base mobile tourne de l'angle a par
rapport à la base fixe, B est encore égal à -t? et Ton voit que le couple,
propre à produire la torsion précédente et appliqué à l'extrémité z~l, a pour moment
Si, au lieu d'une tige pleine, on a un corps creux compris entre deux cylindres de même axe et homothétiques, on peut encore obtenir la torsion de ce corps par le calcul précédent.
En effet, toutes les surfaces homothétiques de la surface extérieure de la tige, d'après l'équation (7), ne sont sollicitées par aucune force élastique. Donc, si l'on considère le corps compris entre une de ces surfaces et la surface extérieure de la tige, on peut lui appliquer les formules précédentes, et le couple à appliquer à l'extrémité du corps creux sera
^^ 7 \âM^ ~ a'^-hb''
a\ h' étant les demi-axes de la surface cylindrique intérieure La formule
68 rnAPiTRE m.
prouve que la section droite se gauchit par la torsion et se change en un paraboloïde hyperbolique. La section s'abaisse dans Tangle des coordonnées positives et dans Tangle opposé par le sommet; elle s'élève dans les deux autres angles.
Torsion d'un prisme à base rectangle,
3. Examinons ensuite la torsion d'un prisme à base rectangle. Les faces latérales ont pour équations
