ITT /n, x^ -I- /«î /' 4- /Wj w
alors les 21 coefficients «, i, c, ^|, ... seront, dans les trois équations (6), changés dans d'autres que nous désignerons respectivement par a\ h' y c\ A:',, On a ensuite les formules symboliques
d^''='^'d^-^'''d^-^P'dz'
Si nous remplaçons non seulement ^7 ^> ~j- par les symboles Ç, yj, J^, mais encore j—,> ^> -pj par Ç', y)', Î^', ces dernières formules s'écriront
et, d'après les relations qui existent entre les cosinus /w, n, p, on en
M. — Éiasi. 5
déduit encore
formules toutes semblables aux équations (d).
De ces formules, nous déduirons Ç', r^^, î^^, sr^î^, 2^^, 2$y], et nous aurons
2^10 — 2m,/ai|'*-+- 2/w,/ijri'*-i- 2 m 3 /<,?'*-+- (ni^n^ 4- /«3Wj)2ri'Ç
formules dans lesquelles nous devons considérer $'^, y]'^, ..., a^'yj' comme des signes indécomposables, de sorte que, par exemple, 'i\'y\'.:iXj^' n'équivaut pas à 2$'^2y]'î^'. Par l'emploi de ces formules.
la fonction se change en la suivante
j9 ^ dO A
et Ton aura, au lieu dos équations (A), les suivantes
dans lesquelles ^', OIL', . . . , P' seront les dérivées de 0' par rapport à
Si nous supprimons le symbolisme dans la fonction 0, les 21 termes qui y entrent se réduiront à i5 seulement, et son expression se changera dans la suivante :
Ji ^ ^
-t- 2/,Yj»; + a/jYj;»^- {d+ •ic,)ï«TiM- (e -+- aô,)^*?'
-t-(/ + 2a,)in'?* + 3(/,-t-2/.);«ri?+ 2(/j,+ ae,)Y)«?: 4- 2(A-,-H2rf, )?:*?»).
La transformation de coordonnées précédente changera x en
En remplaçant les lettres Ç, yj, ^ par les coordonnées x, y, z d'un point et doublant la fonction ^, nous pouvons dire aussi que le polynôme
H- ^l%y^z -f- 4^3/^'+ 2(rf-h ic^)x^y^ -h 2(e + 261)5' x'
-V- 2(/H-2a,)7'5'H-4(^i4- 2/i)^'7;;H-4(/iî-i-2ei)7*-3j:4-4(^3-+-2e/i)5*j7V
se changera, par la transformation de coordonnées, en
L'équation
représente une surface du quatrième degré, que nous appellerons surface indicatrice. Il est évident qu'une transformation de coordonnées qui simplifiera l'équation de cette surface simplifiera aussi le plus souvent les équations (è).
Cas où le corps possède un axe d^isotropie.
24. Examinons le cas où le corps possède en chaque point un axe d'isotropie, c'est-à-dire un axe tout autour duquel il a la même élasticité. Prenons-le pour axe des z. La surface indicatrice sera de révolution autour de cette droite, et son équation pourra s'écrire
ou
Aoa;*4- .l,j*-f- Bz^ H- 2Dl>j'5*-i- 2\\^^X^Z^'\' 2e,l>a:*K*= ».
En comparant le premier membre de cette équation à Texpressron de F, on obtient
(e) [ a:=zb^=zXy c = 3, «/=a(l, — 2C,,
e = \il) — 2 />t, /= iiJ> — 2ai.
D'après cela, la fonction devient
e =.- -(?')=+ — (Yi')' -f- -(?')"-+- flr,ïî'.Ç'+ 6,Ç».?«-+- c,|«.r)«
-^2HÇ.2Y)Ç ^2^yî.2Y)Ç— î^2^YÎ.2ÇÇ.
Toutefois la condition que nous avons exprimée n'est pas suffisante; il faut plus généralement que la fonction ne change pas quand on fait tourner l'angle droit des xy dans son plan d'un angle quelconque a. Alors les formules de transformation de coordonnées se réduisent à
avec
mi= /ijzz: cosa, AW2=: — «1 = — sîna,
et, par conséquent, les expressions h substituer dans sont
5* =mj5'*-+- /w|Yî"H-mi/W2.2Ç'r)', Yî« =/iî|'* 4-/iÎYî" ^-/^l/i^.2 5'Yî^
2ÇÇ = mi.2^'Ç 4-mï.2Yî'Ç,
De ce calcul on conclura les nouvelles relations
(/) «1 = ^, ûfi = ej =/i =: o,
et la valeur définitive de est la suivante :
Elle ne renferme donc plus que cinq coefficients : x, e, n'o, fli, c,. On
obtiendra ensuite les composantes des forces élastiques, en faisant les réductions indiquées par les formules (e) et (/) dans les expressions données au n^ 22 pour ces composantes. On a ainsi
Cas où le corps est isotrope,
25. Dans le cas où le corps est isotrope, l'expression précédente de ne doit pas changer quand on permute l'axe des z avec celui des^i? ou celui des 7, c'est-à-dire lorsqu'on permute ^ avec Ç ou yj.
On en conclut les égalités
et l'expression de devient
e=^[(£«)«-^(•n*)«4-(ç*)»]^-a,(Yî^ç»+C^?*^-|^•n')
D'après ces réductions entre les coefficients, les composantes des forces élastiques deviennent
Xi = X^x -+- {'^ — 2ai)^y H- (Jlo — 2rti)i>-, Yj = X^y -h (JId — 2a,)î>- -+- (JU — 2 a, )D^, Z3 = X^i 4- (<A) — 2ai)Dj.4- {X — 2ai)Djr,
Si nous posons
X — 2 «1 = X, a, = |UL,
et si nous désignons par u la dilatation de volume, nous aurons ces
formules :
'-» = ^X -H ^jr -+- ^Zf
Xi — AJ -h 2/X ;)^, Y, = f^^ys,
Yj = X-j H- 2 fx Dy, Zi ^p-gzxf
Zj =1 >y -4- 2 |JL c^5, X, = |X^a:r-
Cas où le corps a un plan de symétrie.
26. Supposons que le corps ait un plan de symétrie et prenons-le pour plan des xy. Mettons les équations de l'élasticité sous la forme
d% d% dS
Il -+- ,, V . <• -h . ^v tt' -r- A - O.
, de dS d& ^
d& dS dS
Si l'on change Taxe des z en son prolongement, A et B restent les mêmes et C change de signe seulement. Donc, pour que le plan des xy soit un plan de symétrie, il faut que les trois premiers termes de ces deux premières équations ne changent pas et que les trois premiers termes de la troisième équation changent de signe. Or remarquons que, si l'on change l'axe des z en son prolongement, w se changera en -— w et dz se changera en — dz, c'est-à-dire î^ en — ^. Il en résulte que les trois premiers termes des deux premières équations {g) ne changeront pas par le changement de «^ en — «t^ et de î[ en — î^, et que les mêmes termes changeront de signe dans la troisième équation {g).
On réalisera ces conditions en ne laissant dans que des termes qui ne renferment pas la lettre X, ou la contiennent un nombre pair de fois, et l'on aura ainsi
CONSIDÉRATIOiNS GÉNÉRALES. Sq
On fait donc, dans l'expression générale de 0,
(h) hi =: /ij =: 7/3 = /a = ^3 = /i = O, /, = e, z= O.
S'il existe un second plan de symétrie rectangulaire sur le premier, nous pouvons supposer que c'est le plan des xz; alors devra contenir dans chaque terme la lettre y] un nombre pair de fois, et l'on aura ainsi
La fonction renferme alors neuf coefficients distincts qui s'expriment au moyen des neuf quantités
a, hy c, rt„ /^,, Cl, <i, ^, /,
et, outre les égalités (A), nous avons les suivantes :
Xti = A-j = A;, = 0, <i, = o.
Remarquons que la dernière expression de renferme aussi la lettre \ un nombre pair de fois dans chaque terme, ce qui indique une symétrie du corps par rapport au plan des yz. On en conclut qu'un cristal, qui possède deux plans de symétrie rectangulaires entre eux, en possède toujours un troisième, rectangulaire sur les deux premiers.
Sur V hypothèse de V attraction mutuelle des molécules d'un corps solide
suivant une fonction de la distance.
27. Supposons qu'un corps solide soit composé de molécules qui s'attirent ou se repoussent mutuellement suivant une fonction de la distance, sans être assujetties à de certaines liaisons, telles qu'on en considère en Mécanique analytique. Nous allons alors démontrer que les 21 coefficients qui entrent dans les expressions des forces élastiques se réduisent à i5.
4o CHAPITRE I.
Soient a?, j, z les coordonnées d'une molécule m, et ^r 4- a, j -+- p, 5 -H Y celles d'une molécule m' extrêmement voisine, et à la distance r de la première; puis désignons par mm'(f(r) la force exercée par m' sur m et que nous prendrons positive ou négative, suivant que l'action sera attractive ou répulsive. Si l'on pose
les composantes de cette action seront
mm'(x/{r), mm'^/{r), mm'y/(r),
et, dans l'état naturel du corps, pour que la molécule m soit en équilibre, il faudra que la résultante de toutes les actions semblables exercées sur m soit nulle, ce qui donne les trois équations
(1) 2m'a/(/-) =0, Im'^fir) ^ o, lrn'y/{r) = o,
le signe S indiquant une somme qui s'étend à toutes les molécules m' situées dans la sphère d'activité de m.
Supposons un dérangement infiniment petit des molécules. Alors soient w, (^, «^ les composantes du déplacement de /n, et soient u -f- Au, ç' -f- Af', M^ -h Aw ce que deviennent les précédentes quantités quand on passe de /w à /w', et désignons par p l'accroissement de r. Les projections de r h- p sont
a H- Au, (3 -H Ai», y -\- Aiv,
et l'on a, par conséquent,
(2) {r -4- p)«- (a -+- Am)»4- (P -h A(0*-+- (y -^ Atv)«.
La résultante des actions des molécules m' sur m a pour composantes
mlm\a-^ Au)/(r -hp),
Si Ton désigne, de plus, par A, B, C les composantes de la force exté-
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES. /j l
rieure, le mouvement de la molécule m. sera donné par les équations
^ ^^rii\t^ + A«)/(/- 4- p) + A, (3) i^'=2"*'(|5 + A.')/(r + p)-(-B.
-^ -^mX-^ + Ai^')/('' -4- p) 4- C.
De l'équation (2), on déduit
a A^/ 4- (3 A(' -f- y Air
à cause de la petitesse de Am, Aç^, Amp^, p. Pour la même raison, en ayant égard aux équations (i), on peut mettre les équations (3) sous cette forme
Regardons les premiers termes qui renferment /(r) comme très petits
fi f par rapport aux seconds qui renferment -r-? et, en remplaçant p par
sa valeur, nous aurons les équations suivantes :
d^u yi e//" a'Aw -f- a{3 Ap -h ay Aiï' .
^*ArH-
(3y Atr
(xy Am -h
(3yA^ -+-
y'Aiï'
Les quantités Aw, Af^, Amp^ peuvent s'obtenir d'après la formule
. du du r, du
lu= -7-aH- -j-p -\- -j-y dx dy dz '
I /d^u , d^Ur,» d^u . d^u ^ d^u d^u ^'
M. — Éiase. 6
Pour que, après la substitution des expressions de Aw, Av^, Aw, les équations précédentes soient de même forme que celles de la théorie de l'élasticité
(5) p--j-^ =Ji^u -^Pi^-hMw-h pAy ...,
trouvées ci-dessus (n^22), il faut supprimer les sommes multipliées par les dérivées du premier ordre de w, f^, w, sommes composées de termes du troisième degré par rapport à a, p, y, et qui peuvent, en effet, être supposées nulles en général, comme composées de termes égaux et de signe contraire. Alors, en représentant encore par les
symboles ^, y], *C les signes -t-> ^y ^> les équations du mouvement prennent la forme suivante
~di
- =^u -f-PV 4-M^v-4-A,
dt
d^w dt^
y riz P^a -\- dWv 4- L'w H- B,
^Wu^Uv -f-tjeV-hC,
OÙ 4;;^, P', ... seront des polynômes symboliques homogènes et du second degré par rapport à ^, y], X^.
28. La formule de Taylor, appliquée aux accroissements A//, A(^, Aiv, donne aussi ces formules symboliques
AM=:(e«5+P^-^YÇ— i)m, ...;
on en conclut ces expressions
Il en résulte que ces six fonctions symboliques sont les dérivées se-
CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES. \i
condes d'une même fonction 0' et qu'on peut poser
ii'r:
rf»©'
•■^'^' dn'-'
d^dv'
en faisant
Ces formules ont été données par Cauchy.
Afin d'obtenir pour ^', P', ... des polynômes du second degré en $, Y], l, nous réduirons 0' à
,V'" 'V (^;-H(3Y3-t-yC)*
dr 2.3.4
OU encore nous poserons
expression qui renferme i5 coefficients seulement.
Il est facile de prouver que les équations (6) ne sont qu'un cas particulier des équations (5). Prenons la densité p pour unité, et il s'agit de prouver qu'on peut satisfaire à ces six égalités
