X -^- ±: ~i y zr- it
Posons encore
et nous avons l'équation
La force élastique doit être nulle sur la surface latérale du prisme; elle se réduit à zbTg pour ar — zh - et à ±T, pour y = =t -; nous obte-
b nons donc ces deux conditions
div dx
Br
pour
d^v dv
Wx
Nous aurons une solution de l'équation {a) en posant
\v — (Ae'"-^ -i- Ge-'"-^) sinmj,
et la dérivée par rapport à j sera nulle pour j - zh -, si l'on fait
en désignant par k un nombre entier. Nous satisferons donc à Téqua-
TORSION ET FLEXION DES PRISMES OU CYLINDRES. 6c)
tion (a) et aux deux conditions (c), en posant
et étendant le signe sommatoire V à toutes les valeurs entières et
positives de ^. .
II reste ensuite à déterminer les coefficients A et C par les deux conditions (6); ce qui donne
(fna Mtt\
(ma ma \
Ae * -Ce* ysinmj = Bj,
et il en résulte
Cr^ -A,
^ wAjtCOshf — j sinmr — By.
Pour une valeur de m comprise dans la formule (rf), multiplions les deux membres par sinmyc/y et intégrons depuis y= jusqu'à
y= -7 et nous aurons
wA^-coshl j / sin^m^dy:=zBf ysmmydy.
tous les termes se détruisant, sauf le terme en sin/wj, comme on le voit facilement. On a ensuite
J s'm^ mydy---. J y s'm mydy — -^^(—ly,
et l'équation précédente devient
Aji — — ,
O ( mu \
yO CHAPITRE lir.
On en conclut, pour l'expression de w,
„ 8Bfr'-ri (-1)* sinh(m^)
En permutant a; avec y, a avec è et changeant B et — B, on peut mettre w sous cette autre forme
4. Calculons le moment de torsion. Désignons-te par 3^, et nous aurons
l'intégrale étant étendue à tous les éléments de la base. Représentons, pour abréger, la formule (e) par
II': -^xy [-P,
et nous aurons
par suite
Calculons les deux intégrales de cette dernière formule
Sp-dî''"'''^- f ^Zf,*-H-Ô' "^7ï^»\J »iil«'»-"'-j vs,n™j.rfv
3aB6;v . ''""(?)
cosh(^— j
ce ''Pj J SBt'v (—0' 1 r'dsinmy f' .
JJ dy ' »• ^(î*-n)'^^^|^/may , dy ■'J.
On a
/• 1 / V j ^ i f nia\ 2 . . fma\
par suite
r r dP }6Bb''a ^ I 32B6* ^ I
s.nh(— )
cos h
Substituons les valeurs de ces deux intégrales dans l'expression de 5^, après avoir remarqué l'égalité
