TT

et nous aurons

. ,fma\

cosh

où, comme précédemment, on pourra remplacer B par y- Dans le cas oii la dimension b est très petite par rapport à a, on

— ) et cosh( — j par e '* , et l'on obtient Lorsque le prisme est à base carrée, on a i = a et, par suite,

OX» -- —~- — i—- > — ; TZï-rni; - 2,'249232aBa^

De cette formule, on conclut facilement que, si deux cylindres, l'un de section circulaire, l'autre de section carrée, ont des sections qui ont le même moment d'inertie par rapport k leurs axes, le cylindre circulaire résistera plus que le cylindre à base carrée- Les expériences de Duleau et de Savart ont confirmé ce résultat.

72 cii.vriTBE m.

Détermination de la torsion de différents cylindres.

5. La surface latérale du cylindre n'étantsollicitée par aucune force, nous avons à cette surface

(a) Ticos:* t-T, cos^ o,

eii désignant par a, |î les angles de la normale avec les axes des x cly. Si nous désignons par x et v les coordonnées du contour de la section droite, nous aurons

COS? dr

ces a d.v'

et, eu continuant à poser pour les composantes du déplacement

HT..- h y;, i- ---^ B j-;, <v -- ? (.r, .)' i, nous aurons, pour l'équation (o).

De plus, w satisfait à l'équation

^ ' dx' ^ dy' '

et il en résulte que le premier membre de l'équation (h) est une différentielle exacte. Si donc iv est une fonction connue do x et y, l'équation (b) s'intégrera sans aucune difficulté, et l'intégration donnera l'équation de la section droite.

Or If donne le gauchissement de la section, c'est-à-dire la surface en laquelle s'est transformée la section droite. Donc, en se donnant ce gauchissement, on pourra en conclure la figure de la section droite, qui y correspond.

Si nous prenons des coordonnées polaires r et 0, les équations (c) et (6) deviennent

d^w I div I d^^v

ie) B /• r/r -\ rpr df — r-j~ d^j - o.

^ /• dO dr

Adoptons, par exemple, pour w la série

\v 1- \^ r''* ( k sin w h A' cos niO),

qui s'étend à toutes les valeurs entières du nombre /w, et nous aurons pour l'équation de la section droite

K désignant une constante arbitraire.

De Saint-Venant a donné de nombreux exemples de ce procédé {Mémoires des Savants étrangers, t. XIV; iSjj).

Connaissant w, c, (v, on pourra calculer le moment de torsion.

Torsion et flexion de cylindres dont la section est quelconque.

6. Après avoir considéré la torsion de quelques cylindres particuliers, nous allons étudier simultanément la torsion et la flexion dans les corps cylindriques de section quelconque. De Saint-Venant a donné le premier une théorie satisfaisante de ces deux déformations; toutefois, pour l'exposition de ce sujet, nous allons suivre maintenant celle qui a été donnée parClebsch.

Nous supposons une tige cylindrique dont la longueur est assez grande par rapport aux dimensions des bases. L'une des bases. A, est maintenue fixe, et des forces appliquées à l'autre base, B, produisent la torsion et la flexion. Aucune force n'est appliquée à la surface latérale.

Nous négligerons les actions extérieures ((ui, dans les applications

M. — FJast. lO

74 CHAPITRE m.

habituelles, se réduiraient à la pesanteur. Pour plus de généralité, nous supposerons que l'élasticité du corps n'est pas la même suivant la longueur du prisme que perpendiculairement à cette longueur.

La base A ne peut pas être regardée comme absolument fixe, parce qu'elle subira une déformation. Mais, pour diminuer le nombre des constantes à déterminer dans le problème, nous pourrons concevoir la base assujettie à des conditions qui maintiendraient la tige entièrement fixe, si elle était absolument rigide.

Par hypothèse, il n'existe aucune force appliquée à la surface latérale. Sur cette surface, les cosinus directeurs de la normale sont cosa, sina, o, et l'on a ainsi pour cette surface ces trois équations (Chap. I, n°6) :

IN| cos a -h Tj sin a - - o, Tj cosa -^ N, sina -- o, Ts cosa -h Ti sina : ^ o.

De Saint-Venant essaye de supposer que, sur tout plan parallèle aux génératrices du cylindre, il n'existe aucune pression ou traction latérale, c'est-a-dire aucune force perpendiculaire aux génératrices. On a alors, en tous les points du cylindre,

Ainsi les deux premières équations (i) sont satisfaites non seulement à la surface, mais en tout point intérieur, et il ne reste plus qu'à satisfaire à la troisième condition à la surface (i). Si l'on parvient à résoudre le problème dans ces suppositions, il restera à examiner en quelle manière les solutions trouvées sont applicables aux faits de l'expérience.