Les équations générales de l'élasticité donnent
cf^* dTz dT9
djc dy dz
dTi ^Nj dTi
djr dy dz
dTi dTi dN^
dx dy dz
et, d'après les équations (2), elles se réduisent à
dz ' dz
dx dy dz
Regardons le cylindre comme décomposé en filets parallèles à Taxe. Chaque filet ne subissant aucune force élastique transversale de la part des filets voisins, concevons que chaque filet s'allonge comme s'il existait seul. Alors, en supposant la structure du cylindre différente suivant l'axe des z de ce qu'elle est suivant les axes des^r et des j, on peut poser, d'après le n^ 5 du Chap. II,
, ,. du dv , div ^ div
E étant le coefficient d'élasticité du prisme ('). On a ensuite
-, /d^^ div \ rt^ (d\v du\
donc les deux premières équations (3) deviennent
.^. d^iv d^u d^v d'W
^ ' d^Tz "^ "5? "■ ^' 5? "^ d^dz '-^ ^'
et la troisième devient
/ d^u d}v (i*iv d^w\ pûf*"'
^\dxdz dy dz dx^ dy^ ) ^ d^'
(») L'égalité j^ = 3^ paraît la moins justifiée de cette théorie. On conçoit qu'elle
puisse avoir lieu d'une manière approximative si la section est convexe et si les dimensions de la base ne sont pas très différentes. Mais il n'en est plus de môme si la courbe présente dans sa section des dimensions très différentes. Ainsi, supposons une lame à section recUngulaire, et dont un côté soit très petit par rapport à l'autre, et plaçons l'axe des z suivant la longueur de la lame, et les axes des x et des j^- suivant la plus petite et la plus grande dimension de la section. On pourra étendre la lame suivant l'axe des s, sans
changer sa largeur, et, par conséquent, v sera nul sans que -,- le soit.
OU, d'après (4),
(^) — ]x - -d-z^ -^ d^ -^ dy- - ^•
La deuxième équation (2) peut s'écrire
, ^ du di'
Les trois équations (2) continuent k subsister, si Ton fait tourner l'angle droit des ce, y dans son plan; ainsi l'équation (7) aura encore lieu et exprimera que tout angle droit parallèle au plan des xy ne change pas; il en est de même, par suite, de tout angle parallèle au plan des ccy.
Enfin, nous avons à satisfaire à la troisième condition (1) sur la surface latérale, condition qui peut s'écrire
dsv du\ /di' dir\ .
- — 1-7- cos 0:-. { -r -i- -7- sin a ^ o.
d.r dz ) \dz dy )
llésolution des équations du numéro précédent,
8. Nous avons à trouver pour w, r, w des valeurs qui satisfont en tout point du cylindre aux six équations suivantes :
, . d(i dv . d\v
d.v dy dz
/ fv du <rA'
dy (i,r
. . ¥i — '^.u./i d'iv d-iv d^iv
[j. dz- dxr dy^
Nous avons ainsi deux fois plus (féquations que d'inconnues; nous verrons que néanmoins on peut y satisfaire.
En différentiant l'équation (b) par rapport à x, on a
{Piv d^ du , d^w
^■^^ dx^ dz '~ " dz' dx '~^ ^^ dz^ '
on a, de même,
d^n' d^Kv
^^^ d^dz d^'
DifTérentions {e) par rapport à ^, et, en ayant égard à (/) et {g)y nous aurons
(E-.,./0^ -f^Ur'^ ''rf?^j" "■'-'^''rf?' ou
donc aussi, d'après (/) et {g),
. .^ d^w d^iv
^'^ dx^z^""' dy^z '-''''
Différentions {b) et (c) respectivement par rapport \\ y ^i x et ajoutons : nous aurons
d^w d^ f du dv
dx dy dz dz* \dy dx
et, par suite, d'après (rf),
d^sv ^J^ dxdjr'dz'^'''
Des quatre équations (A), (î), (y), on conclut facilement la formule suivante :
—- : ^0 -r- a^X -\- a^Y -H ( ^0 -f- ^1 •^' -*" ^1 /) ^. Cl .c
Ensuite on dédliit des équations (a)
ce qui permet d'en tirer u à une fonction arbitraire près de y et 3, et l'on obtient
u- h\ a„x ■■-ay~ -I- aixy -\- f i„x -1-*]^ -^ l>iXy\z 4-9(7, s). Puis. d'apii'S (i). on a
par suite,
et, en intégrant,
?(^.=)^ '"'^"^'Tî i-='l'(>')-î-z(.v),
(|^(j). 7,(y) étant deux fonctions arbitraires. 1! en résulte la première de ces deux équations
et la seconde s'obtient de même.
