En portant ces valeurs dans (rf), nous aurons
loi -/;(»,j; 1 i,j::) i 5'J.'(,r)-z'(/) I -/i(o,.v-i t,,rs)-:-3V'(j;)-:-X'(j-);
les fonctions ^{y), /,(/)• ^'(■^)' X(^) sont donc des trinômes du second degré, et l'on peut poser
Z(.)-) -o'H-n'.jho;,'. ^{r)--.l'--b\y .-b',}',
\l,x).-a'-] a\x -\-a\jL-, ^'{x)--l>"^-b\j:-i b\j:'.
L'équation (k) devient ainsi
o -zi — ha^a: — hb^xz H- {b\ 4- 2 b\y)z -t- a\ -h '^a\y — ha^y — hb^yz-T-{b\-\-'i b\ œ) z -\~ a\ -r- '^ a\ x,
et Ton en tire
a'j Z-: jha^, a\ -H a\ = o, a\ =^ {ha^ , 6; = '^hb,, b\ + 6'; =r. o, b\ z= lA^i.
Posons
a\ 1-1 — «j :rz a, 6 j =:: — 6'J -in (3,
et nous aurons
~— h\a^y -{- a^xy -^ a^ -^ ^ ^ 4- (^o7 -H ^i-^J "^ ^« ~ â ~ )^
D'autre part, de l'équation qui donne ^ on déduit
w — {ao-h a^x -{- a^y) z -\- (60+ b^x-^b^y) - -f- F(x, /),
F(a?, j) étant une fonction arbitraire.
Portons cette expression dans (e), et nous aurons
d^¥ d'F E-2/jiA,, . . ,
Pour simplifier la forme de cette équation, posons
F:z=:û-. 5^:^- ^60 ^^•^- 4- b,xy*-^ b,yx*\ - 6'a? - b'y.
et nous aurons l'équation
dx^ dy^
8o CHAPITRE m.
10. Nous avons dit ci-dessus que la base A ne peut pas être regardée comme absolument fixe, parce qu'elle subit une déformation. Mais, sans restreindre celte déformation, nous pouvons supposer qu'un élément de la base A demeure dans son plan primitif, qu'un point de cet élément reste fixe, ainsi qu'une droite infiniment petite menée par ce point dans la base.
Plaçons l'origine des coordonnées en ce point fixe 0, et mettons l'axe des X suivant la droite fixe infiniment petite.
Le point restant fixe, nous avons d'abord
1/ r3 o, r -— o, \v--o pour j^ l= o, y --o^ z—~o.
Le point, qui a pour coordonnées {dx^ dy, o), a pour déplacement suivant l'axe des z
\dx)ç, '^"^ \û^y/o •^'
et, comme ce déplacement doit être nul, on a
Enfin le point (dxy o, o) doit rester sur l'axe des x; on a donc
D'après les valeurs obtenues pour //, ^, i^^', ces conditions deviennent
l'indice o indiquant qu'on fait, dans l'expression qui en est afl'ectée, ^ — o, y = o.
Prenons, pour l'origine des coordonnées, le centre de gravité de la base. Nous avons
TORSION ET FLEXION DES PRISMES OU CYLINDRES. 8l
faisons la somme de toutes les forces longitudinales sur toute une section, et, en remarquant les égalités
ix dfj = o, \ y d(j =r o,
OÙ les intégrales sont étendues à tous les éléments rfa de la section, nous aurons
Or cette résultante doit être indépendante de :;; on a donc
Les termes multipliés par b' et b", dans w, i', w, introduisent deux rotations de tout le corps autour des axes des^ et des j, comme on le voit facilement; ils ne changent donc pas les valeurs des forces élastiques. Et les valeurs de w, r, w deviennent, en définitive,
[^î yï / r* r* \ 1
Oqû: -ha, : h «s^rj-i- Ibi- ■ h b^xyjz
z^ . z^ (dÇl\ ^
<'=— A ûfoj -h^j^^- '— -^ a^xy -^ /^,ZJZ^ 4. b^xy\z
Nous obtenons ensuite, pour les expressions des forces élastiques,
dz- "-<-\dz ' dy)' "- <'\dJ^'^dzJ
M. — Alast. I I
Sh/' la fonction Q.
li. La fonction ii satisfait on tous les points du cylindre àréquation
et, de plus, à la condition à In surface latérale
qui peut s'écrire
'°* j -.[-,..(,.-l)...,«,,|.i(3„-l)...-*f]si„,.
On démontre facilement que, si une fonWi,on ii satisfait à l'équation (A) dans l'intérieur d'une courbe s, et safjsfait, de plus, sur ce contour à une condition de la forme
dn étant l'élément de normale au contour, celte fonction f\*^st déterminée à une constante additive près. Comme on a
rfii dSl dii .
l'équation (B) est bien de la forme (C), et la fonction li qui nousX occupe, étant assujettie à être nulle pour a- = o, y = o, est complfe*^ment déterminée, lorsque les coefficients Jî, b,, b.^ sont connus.
Dans l'équation (B), tous les termes qui ne dépendent pas de £2 sont multipliés par une des constantes 6,, b.,, p; il en résulte que Ton peut mettre £2 sous la forme suivante
où U<, U^» U3 sont des fonctions de œ, y indépendantes de ces constantes, et que le problème se partagera dans les recherches séparées des trois fonctions U,, Uo, U3. Ces fonctions, dans les points intérieurs, satisfont aux trois équations
da:^ "^ dy^ ~ ^' dx^ '^ dy^ ~^' dx^ "^ dy- "'"^
et à la surface latérale aux conditions
-T-^cosa -H -;— sina= -x^-^ 3A v' cosa-h h Krvsina,
dx dy 11 2\ix y \ \ix J ^
dx dy Vf^ / -^ \2^ i\ix. / J '
cosa H — r^sin
d\]^ û?Us . /a/ • \
--7-^cosa-+- -T-^sina=:p(jcsina —/cosa).
Nous avons dit que la fonction H doit s'annuler pour a? = o, j = o; donc, de même, les trois fonctions U,, Ug, U3 doivent s'annuler pour ces valeurs de x et j.
Décomposition de la déformation totale en déformations partielles .
12. Les valeurs générales trouvées pour w, c^, «^ se composent de termes affectés des six coefficients a^, a^, a.y, i,, ia, p. En conservant un de ces six coefficients et annulant les cinq autres, on obtiendra une déformation possible de la tige cylindrique. Comme les six coefficients sont arbitraires, l'ensemble de ces six déformations, prises chacune avec une amplitude arbitraire, représentera la déformation la plus générale de la tige dans les conditions où nous nous sommes placés. Examinons ces déformations partielles.
Première déformation : Étirement ou contraction longitudinale. — Si nous annulons toutes les constantes, sauf «o^ nous avons
Ces formules nous donnent simplement un allongement ou une contraction longitudinale. La déformation se fait suivant les formules relatives à une tige allongée par un poids. (Chap. Il, n^ 4.)
Deuxième dèjormation : Torsion. — Des six coefficients ne conservons que p, et nous aurons
=4"-KS).-(f).]
Ces formules expriment la torsion; nous les avons déjà obtenues (n° 5), diminuées des termes qui contiennent les valeurs des dérivées de U3 pour x = 0, y = o-^ mais ces termes ne produisent aucune force élastique et n'indiquent que des rotations de tout le corps autour des axes des œ et des j.
La force N3 étant nulle, les forces appliquées à la base libre B du cylindre agissent toutes dans le plan de cette base.
Remarquons que // et ^ sont nuls pour
\dy )o ^ \ dx
et, par suite, le filet, indiqué par ces deux équations, conserve sa position primitive.
13. Troisième déformation : Flexion. — Considérons ensuite Tensemble des deux déformations qui dépendent des deux constantes a.
et &,, et annulons les autres coefficients. Nous aurons
Les déplacements donnés par les trois premières formules indiquent un état de déformation que nous allons expliquer et qui porte le nom de flexion.
Après la déformation, les coordonnées a?, y, z de chaque point deviennent
Considérons une droite parallèle à Taxe des z. Tout le long de cette droite, x et j restent les mêmes et z est variable. On aura donc la ligne en laquelle cette droite s'est changée en éliminant z entre ces trois équations, et, comme u et \^ sont très petits, on pourra faire cette élimination en remplaçant z par z' dans les deux premières équations; ce qui donnera
u' et i/ étant les valeurs de m et i' dans lesquelles :; est remplacé par z\ La courbe en laquelle la droite s'est changée a donc pour équations
y = y — hxy(ai-hbiz')-hbJ-^)z\
x\y\ z' étant les coordonnées de la courbe. Cette ligne, d'après la
deuxième équation, est renfermée dans un plan parallèle a Taxe des x et représente, d'après la première équation, une parabole du troisième degré.
La grandeur de la flexion peut se mesurer par les déplacements du centre de la base B. Les déplacements de ce point (.r = o,j = o,5 = /) sont, puisque (U,)o est nul,
iV ru O.
Les expressions des glissements gy.^ g.jc se déduisent immédiatement de celles de T,, Tj, et l'on a
ces glissements représentent (Chap. I, n^ 14) les décroissements des angles droits formés par une parallèle à l'axe des :; avec les parallèles aux axes des j et des ce. Comme ces quantités ne sont pas nulles, il en résulte que les filets longitudinaux du cylindre ne sont pas restés normaux sur les sections droites, et que ces sections se sont gauchies. Le long de la surface latérale, on a (n° 6)
Ta— o, TjC0sa4- Ti sina = o
ou, d'après le n° 24 du Chap. I,
S^xy =o, gzx cos a -t- ^'-jr sin a = o,
et de même que Tacosa -+-T< sina représente la force élastique tangentiellc suivant Taxe des z sur la surface latérale, de même
gzx cos a H- gzy sin a
est le décroissement de l'angle formé par une parallèle à l'axe des z avec la normale à la surface latérale. Donc, le long de la surface latérale, la direction des filets reste perpendiculaire sur la position* que prend cette normale.
Quatrième déformation : Flexion. — Considérons enfin l'ensemble (les deux déformations qui dépendent des deux constantes a.^ et bi^ et qui produisent ce que nous appellerons la quatrième déformation. Elle est toute semblable à la troisième; les rôles des axes des x et des y se trouvent simplement intervertis.
Application de la théorie précédente aux problèmes de la pratique.
14. En nous posant le problème de la déformation des cylindres homogènes, nous avons dit que nous regarderions la longueur de ces cylindres comme grande par rapport aux dimensions de la section. Cependant on ne voit aucunement la nécessité de cette supposition dans les calculs qui précèdent. Ce n'est en effet que pour en tirer des résultats très approchés pour la pratique que cette supposition devient nécessaire.
Concevons actuellement que des forces soient appliquées près de l'extrémité de la tige cylindrique. En général, elles ne le seront pas comme il résulterait de la théorie précédente et, par exemple, s'il y a simple torsion autour de l'axe, comme nous l'avons déjà dit, elle s'opérera ordinairement par des forces appliquées sur la surface latérale de l'extrémité de la tige, tandis que nous avons supposé qu'il n'y avait point de force à cette surface.
Cependant, en concevant que le cylindre devienne rigide, les forces appliquées effectivement vers l'extrémité de ce corps se réduiraient à une force résultante et à un couple. D'autre part, d'après la théorie précédente, cette même extrémité est sollicitée par des forces qui se réduisent de la même manière. En exprimant l'égalité de ces deux systèmes de forces, on formera six équations qui pourront servir à déterminer les six quantités a,,, «<, ^i, «2» ^^2» P> qui entrent dans la théorie précédente.
Désignons, d'après cela, par F les forces qui seraient appliquées à l'extrémité de la tige d'après la théorie précédente et par ^ les forces qui y sont appliquées effectivement. Le système des forces ^ peut être remplacé par celui des forces F et par un autre composé des forces cf et des forces F' égales et opposées aux forces F. Ce dernier système se
88 rHAPiFRE m.
lerait équilibre sur le corps devenu rigide, et nous admettons qu'il
ne produirait de déformation sensible que vers l'extrémité où il est
appliqué.
Cela résulte de ce théorème général qu'il serait bon de démontrer rigoureusement :
Un syslême de forces appliquées à une très petite partie d'un corps solide, et qui se feraient équilibre si le corps était rigide, ne produit pas de déformation sensible à une distance notable des points d'application des forces,
15. Désignons par a-, T', % les sommes des composantes des forces exercées auprès de la base libre z = l. Désignons par j^, 3Il, x les sommes des moments des mêmes forces autour des axes desx,y, z. Les mêmes quantités, dans le problème tbéorique qui vient d'être résolu, seront représentées par les intégrales suivantes étendues à tous les éléments rftr de la base :
/TjrfT, fJxda, J'^^da, /(N,^ - T, /) da, /{T,/ - N,:r) da, /(T, x — t,y) da.
Donc, d'après ce qui a été dit, nous poserons
l fTida =X, fr, da = ?, Tn, da = fc,
(/(Njj — T,/)rfff-J^,'" /!iT,/— Njx)rfT=3R., /'(T,x-T,/)rf!r— X;
ce sont les équations qui serviront à "déterminer les six constantes a^, a„b„a.,,h.„ p. 'X^
Nous avons mis (n" 10) l'origine des coordonnées au centre de gravité de la base A, ce qui donne les doux équatioiss
j xd'3 = 0, fy dar-o; \
on peut de plus choisir pour axes des x et des y les axesUirincipaux de la base, en sorte que l'on ait
/ j- V du ~ o.
Les trois premières équations (a) deviennent
(3) EaoO"=:2b.
Ces trois équations déterminent respectivement è,, 62, ««. Les quatrième et cinquième équations (a) deviennent
(4) E{a,-hlb,)fy^dcr= C -^^3',
(5) E{ai'hlbi)fx^d<j = — DïL-hlX';
elles donneront donc ^i et ^3. Enfin on obtiendra pour la sixième équation (a)
et elle déterminera ^.
Les cinq premières de ces équations sont susceptibles de simplification, comme nous allons voir.
Calcul des intégrales j --r- da^ 1 -j- da.
16. Clebsch a fait remarquer qu'on peut calculer ces deux intégrales sans déterminer la fonction Cl.
Désignons par s la courbe qui termine la section œ. Si nous représentons de plus par F, U, U, trois fonctions des coordonnées a?, y
M. — Élast, 1 2
ÇfO CUAPITRE m.
d'un point de o-, on :i ces formules connues
:, ^ étant les angles de la normale avec les axes des :r et des y. Dans es deux équations faisons -
ax dy
t nous aurons
rdO.. r dQ. , rd'ii.
j rfï '''' ^J ^^ '^"^^ '^ - j ^ ^' '''•
0=^ I X -r- cosS ds— I j; -7-; rfo.
Ajoutons CCS deux équations, en remarquant que nous avons d'Si d'il
dx* dy* "~ ' ^t nous aurons
fda. r (dit dit .\ ,
D'après ce que nous avons vu (n" 11), on a
dîï dil . ^ va
-T-cos« -+- -j-cosp=^ Xcos« -h Ycosp,
*t et Y ayant les valeurs suivantes
r^<fa^: /'(jXC0S»-xïC0s3)rf..
Dans les formules (p) et (y) faisons U = i , U, = i , F = ^X, F, = a?Y, et ajoutons; nous aurons, d'après l'équation précédente,
Nous avons de même
On a ensuite
d(xX)
dx
= P;^ . , ^/, 5) J,^^ + 5 Ai, ». + ( J ! ,,^ 4, ,,.,
et, si Ton prend les axes de coordonnées comme ci-dessus (n^ 15), en sorte qu'on ait
jx û?(7 = o, j y d(jz=o, Çxy dfj = o,
on obtient, d'après (S), On a de même
17. D'après cela, les équations (i), (2) et (3), qui donnent les coefficients 6,, 62» <^o> se réduisent aux suivantes
h^^Jx^dfj—^^, K^ J y'^ dfs z=i^ , ^o—g-;
les équations (4) et (5) deviennent ensuite
a^^fy^ d<7 = Ji^, ai lS.fx^ da— — DM .
CHAPITItF. 111.
ssion I (x-f yj-]da n'est pas susceptible des simplifi-
tenues pour les intégrales (5) et (s), et l'équation (6) ne de changement.
!portant aux formules des quatre déformations partielles, on liéorème suivant :
HJsante a produit l'extension ; la composante X, et le moment 3K. une flexion ; de même ^ et j;. Enfln le moment X n'agit que
où la section du cylindre a des axes de symétrie.
is le cas OÙ la section du cylindre a deux axes de symétrie, eulement
fxd<3=^o, Jyd/j-=v, Jxyda=^o,
rfiji^o, j x^yda =.0, jxy^da^o, j'y*da-=o,
iséquent, l'équation (6) du n° 15, qui donne la constante ft,
ons posé(n'' H)
lions U,, Ui, U, satisfont non seulement à l'équation
■e respectivement à trois conditions à la surface. Il est facile litre que
cosa est impair en a-, pair en y, sinor est pair en x, impair en y.
On en conclut que le second membre, dans les équations de condition données (n° 11), est respectivement
impair en x, pair en y,
pair en x, impair en y,
impair en x, impair en y.
On en déduit ensuite que U,, W.,, Uj sont respectivement de même parité que ces seconds membres. Donc aussi les fonctions
dy •' ax dy d.r
sont la première impaire en^ et la seconde impaire en x. Donc, dans la seconde intégrale de l'équation (/>), les parties multipliées par />, et b^ sont nulles, et l'on a
r( do, dii\, ^ rf rfu, dv,\.
L'équation (/>) devient donc
et ne renferme plus que l'inconnue p.
Il résulte de là que, dans le cas de cette double symétrie, l'extension, les deux flexions et la torsion constituent quatre problèmes entièrement distincts.
On peut remarquer une simplification dans les formules de la flexion lonnées (n** 13). En effet, U, est pai et, en y faisant a? = o, j = o, on a
On peut de même simplifier les formules de la torsion. U, est impair
dVS,
riables, et l'on a
Ainsi les formules de la torsion se réduisent aux suivantes :
„ = Pjî, .■=-P=x. ,r = (SU„
Ce sont effectivement les formules qui ont été employées pour la torsion du cylindre elliptique et celle du parallélépipède rectangle. Lorsque le cylindre est elliptique, on a
A et B étant les demi-axes de la base, et, dans la formule (q), il faut faire
Flexion d'un cylindre elliptique.
19. Nous avons déjà calculé la torsion d'un cylindre elliptique sous l'action d'un couple perpendiculaire à son ase et s'exerçant à son extrémité. Il reste à considérer les deux llexions, et il nous suffira de calculer l'une d'elles. Alors la fonction Ù, qui a été décomposée en trois parties, se réduira à une seule
ii-6,U,;
U, satisfait en tous les points du cylindre à l'équation
et sur la surface latérale à l'équation
rfU, rfU,
dx dy
rfU, rfU, . r/t , /E Zh\ ,1 /E ,\
TORSIOK ET FLEXIOS DES PRISMES OU CVLISDBES. g5
Désignons l'équation de là section droite pai-
nous aurons
lang<" = l5fj'
et la condition à la surface devient
,a> ■>. ""Ji ., ''tJ, r/. , /E 3/,\ 1„. If. ,\,, ,
Nous pourrons satisfaire à l'équation (a) et à la condition (^), en prenant pour U, ud polynôme entier. Posons
cette fonction satisfait à (a); substituons dans (P) : nous aurons B'Cjr-l-3B'Dvr»— 3D(B'+aA'}x/'
Cette équation devant avoir lieu à la surface, remplaçons y* par sa valeur tirée de l'équation (a)
l'équation précédente ne renfermera plus que des termes en x et en a;' qui devront se détruire séparément, et l'on aura ainsi
La seconde de ces équations donne D immédiatement, et, en les ajoutant, on aura, pour C,
•)(> CHAPITRE m.
En remplaçant maintenant U, par sa valeur dans les formules de la )remière flexion (n" 13), nous aurons
'.t a,, b, ont pour valeurs
<T, = — j 0,=^ — ) avec fx^aa^^-7-A'a.
Après cette déformation, les coordonnées x,y, z de chaque point se iont changées en
'our une section droite, = est constant, et x, y variables. On aura la iurface en laquelle cette section s'est changée, en éliminant ce, y entre :es trois équations; ce qui donnera à très peu près
v' étant ce que devient w, quand on y remplace x, y par x', y'. Cette iUrface a donc pour équation
='^z + a,^'^ + *,[! Vx'- (^ - A)^y'+ D(x''- 3xy)] ,
;t elle est du troisième ordre.
Par un échange de lettres, on aura les formules relatives à la seconde lexion.
Flexion du prisme rectangle.
20. Ce corps possède deux plans de symétrie, qui sont pris pour }lans des zx et des sy, et les faces latérales de ce prisme seront données
pnr les équations
Supposons que ce prisme soit fléchi dans le plan des sx, et, par conséquent, nous avons à appliquer les formules de la troisième déformation (n° 13).
Si la flexion est produite par une force ->; appliquée au centre de la base libre, perpendiculaire à l'axe du prisme et dirigée suivant l'ay" des x, le moment autour de l'axe dssy est
et, en remplaçant jtl et -x par des expressions obtenues (n" 17), noi avons
a,.-- -bj.
( -T-îj est nul, comme nous avons vu (n" 18); supprimons, de plu: dans les formules des déplacements u, v, w de la troisième déform; tion, les termes en i-r^) qui indiquent une rotation de tout le cor] autour de l'axe des y. Nous aurons
^hb,a,yt,l-i),
i-ES,
dy\'
La fonction
satisfait
en tous les poi
iifs du pi
■isme à 1
'équation
dy-
et, pour que les forces élastiques soient nulles îi la surface latérale d u prisme, nous devons poser
pour pour
dy "
Nous satisferons à l'équation (1) en posant
U," Aj7/'-i-B.r>
;t faisant
tn substituant celte expression de U, dans (2). nous obtiendrons
