D'après cela, posons définitivement

U, — Kxy^-k- Bj:'+ Gj; + SCC^cosm/ -\- 2 De-™'' ces mj,

es signes £ indiquant des séries. Cette fonction satisfera encore à (1 ) A elle satisfera de plus aux deux conditions (3) si l'on pose

; étant un nombre entier. Nous n'avons donc plus qu'à satisfaire aux leux conditions (3) ou à

2C'Me"'*C0Sm/ — 2Dme-""co5/M/-l- hy-— ■ - j;'-i- G r^ o pour J^ = ±: -;

ce qui donne les deux équations

Ces deux équations peuvent être remplacées par les suivantes :

(4) { mn

jG t-aîOmcosh — (LQsmy^—hy-

Pour obtenir le coefficient C de la dernière série, multiplions

deux membres de la dernière équation par cosmydy et intégron

b . h a + - ; nous aurons

ma r* /■'

aCmcosh - / cos'mydy^ — h j y'cosmydy.

Nous avons ensuite

i y* cos mycty r- - y'sinmy i- -^ y cos my ■ - jSinmv, j y'-i:osmydy=~(-iy\ ot il en résulte

coshf — t

En multipliant les deux membres de la seconde équation (4 ) par t intégrant encore de a -, on a

'■--- „--' lis-

lOO CHAPITRE III.

Nous avons ainsi

U, - Aa7v»4-Bj7*-i-Gj7-4 r >, / — - ,-sinh(/n^)cos/nv.

•^ 2 71* -^^ , f ma\ A'

A=:iCOSh( — j

Portons cette valeur de U, dans les expressions de T, et Ta données ci-dessus, et nous aurons

* '^ ' TT* -Ad A * , / ma \ ^

k. 1 cosni -^- I

^ ^ k..\ cosh(-^-j

D'après ce qui a été vu (n** 17), on a

E I x^ dtj

Donc les valeurs de a, v^ w et celles des forces élastiques sont complètement déterminées.

Désignons par œ\ y\ z' les coordonnées de la courbe de flexion du prisme. Comme w est nul pour a? = o, y — o, z' est égal à sa valeur primitive z^ et nous aurons cette courbe en faisant a; — o, j^ — o dans u et i^, et remplaçant w, s^, z par x\ y\ z'\ nous aurons ainsi

'-'ii}-'

^' tr:: - I f -3' * - - -^ I 1 J^' =r O,

Son rayon de courbure p est ainsi donné par la formule

' '^"' -i.il -').

rfs'

et il est en chaque point inversement proportionnel k la distance de ce point à Textrémité libre.

Recherche de l'ellipsoïde délasticilé dans un cylindre Jlëchi et tordu.

22. D'après les formules obtenues pour la déformation d'un cylindre, nous avons (n" 6) en chaque point de l'intérieur de ce corps les équations

et l'équation, qui donne tes forces élastiques principales (Cha n" II), devient

Cette équation du troisième degré a une racine nulle, et l'ellip! d'élasticité se réduit à une ellipse.

Le plan sur lequel cette force élastique est nulle est parallèle à des ::. En effet, si l'on désigne par m, n, p les cosinus directeurs normale à ce plan, on a, d'après les équations (y) [Cliap. I, n" 11

et. en faisant m — cosa, «-- sina, nous aurons

T, langa:-— ^j--

Les deux autres forces élastiques principales A, et A, sont renfen dans ce plan et ont pour grandeur

D'après les équations (j) citées ci-dessus, les directions de ces forces élastiques sont données par les équations

oîi l'on remplacera A par les valeurs de A, et A^.

Soit M le point où l'on veut déterminer les deux forces élasti

principales; par ce point, menons MX, MY, MZ parallèles aux axes des coordonnées et égaux respectivement à Ti, T,, A. Le plan de l'ellipse est déterminé par MZ et la résultante de T, , Ta. Les deux forces élastiques principales A, et Aj, perpendiculaires entre elles, font avec Ms des angles dont les cosinus sont

Conditions de résistann- à imposer aujc corps solides.

23. Quand on veut appliquer des forces considérables à un corps solide, on recherche souvent quelles sont les plus grandes intensités qu'on peut donner h ces forces, pour qu'il ne se produise pas de déformation permanente et qu'il n'y ait pas danger de rupture. Alors, après avoir calculé les expressions des forces élastiques qui se développent dans le corps, on impose une limite à ces forces.

Cependant, il est beaucoup plus rationnel de rechercher les expressions des dilatations qui se produisent à l'intérieur du corps, afin d'exprimer que ces dilatations ne peuventdépassor une certaine valeur. En effet, comme l'a remarqué Poncclet, ce ne sont pas les forces élastiques elles-mêmes, mais les dilatations qu'elles font naitrc, qui produisent la désagrégation de la matière. Suivant ce qui a été aussi reconnu par Poncelet, la compression en elle-même ne produit pas en général la désagrégation; ainsi, un corps comprimé uniformément sur toute sa surface ne se briserait pas. La rupture d'un corps comprimé dans un sens n'est due en général qu'à la dilatation qui provient de la compression et qui se produit perpendiculairement à la direction de cette compression.

Considérons cet exemple très simple donné par de Saint-Venant.

Prenons trois parallélépipèdes rectangles identiques et isotropes. Pour le premier, développons des tractions égales et uniformes sur toutes les faces; pour le deuxième, les mêmes tractions, mais seulement sur quatre faces opposées deux à deux; enfin, pour le troisième, n'exerçons ces tractions que sur deux faces opposées.

TOItSIOS ET FLEXION UF.S PRISMES OU CYLINDRES. ioi

Les forces élastiques tangentielles sont nulles dans les trois cas. .et les forces élastiques normales ont pour expressions

■.ii.]i^ '-liyi-li;.

(lH-.p)J,+ ).J.,

»,-|-<)-. jp»,.

On en tire

-.MSxV.,/"-^'''

.«ji + ^f)"^'-*-"')-

Dans le premier cas, on a

^== sr-lr^ii^-'

dans le deuxième cas.

et, dans le troisième.

La quantité 3^ représente dans chaque cas la plus grande dilatatii et si, par exemple, X est égal à [a, elle prend ces trois valeurs

X 5 X lo là'

quantités très inégales, bien que la force élastique maximum resti même dans les trois cas.

Le cas de traction le plus facile à réaliser dans l'expérience est troisième : c'est celui d'une tige tirée suivant sa longueur. On p constater par l'expérience la plus grande dilatation linéaire i qu'on c produire dans celte tige pour qu'il n'y ait pas déformation permaner Suivant de Saint-Venant, dans les trois cas, il suffira de pren Sj<J. Cela ne parait pas exact. En effet, considérons dans le para

I04 CHAPITRE m.

lépipfede un filet parallèle à Taxe des z. Dans le troisième cas, ce filet, en s'allongeant suivant Taxe des z, se contracte perpendiculairement à cette direction, et cette contraction doit contribuer à la cohésion. Dans le premier cas, au contraire, la dilatation étant supposée la même suivant les axes des x et des y que suivant l'axe des 5, il y aura élargissement du filet perpendiculairement à Taxe des z, ce qui produit une tendance à la désagrégation. La limite à assigner à i)^ doit donc être prise plus petite dans le premier cas que dans le troisième.

Supposons donc qu'on ait trouvé par l'expérience la plus grande valeur D qu'on doit donner à D^ dans le cas d'un parallélépipède tiré uniformément suivant les normales à ces faces, on sera assuré de satisfaire à la condition de résistance d'un solide de même matière en exprimant que la plus grande dilatation y est partout plus petite que D.

24. On a obtenu (Chap. I, n° H) l'équation du troisième degré qui donne les dilatations principales; elles sont positives ou négatives suivant qu'il y a véritable dilatation ou rétrécissement. Si les trois racines sont négatives, il n'y a que des compressions, et l'on n'a à satisfaire à aucune condition. Mais, si une au moins des racines est positive, désignons par y la plus grande racine.

Supposons d'abord le corps homogène et isotrope. Alors la plus grande valeur que doit prendre la dilatation sera la même en chaque point et dans tous les sens. Désignons par D cette valeur maximum déterminée, comme il a été dit ci-dessus. La condition, pour qu'il n'y ait pas de déformation permanente, sera qu'on ait en chaque point

Lorsque le corps est homogène, mais non isotrope, la valeur limite à donner à la dilatation linéaire varie avec la direction. Désignons par m, n,p les cosinus qui donnent la direction de la dilatation; de Saint- Venant pose

(a) D -:Am»-hB/i*-hC/^S

A, B, C étant les valeurs de la limite de dilatation D dans les directions des axes des a?, j, z, supposés des axes de symétrie. On pourra toujours prendre D de cette forme. En effet, si, par le point considéré M

TORSION ET FLEXION DES PRISMES 00 CYLINDRES. I o5

(lu corps, on mène des droites dont la longueur est donnée par la formule (a) et dans la direction (m, n,p), les extrémités de ces droites formeront une surface. Concevons ensuite qu'on ait la véritable surface des dilatations maxima, obtenue en menant par le point M des rayons vecteurs égaux à ces dilatations. Construisons alors une surface de la forme (a) intérieure à la précédente et qui en soit aussi rapprochée que possible. On pourra évidemment prendre cette surface pour celle des dilatations maxima.

On aura alors satisfait aux conditions de la résistance du corps si Ton vériiie que la dilatation, en chaque point de ce corps et dans toute direction, est plus petite que D.

Conditions de résistance permanente d'un cylindre.

25. Nous considérons un cylindre qui n'est sollicité par des forcer qu'à ses deux extrémités, conformément au problème de de Saint' Venant, et il s'agit d'établir les conditions de sa résistance.

On a obtenu, au n" 7, les équations

Donc l'équation du troisième degré, qui donne la grandeur d des dilatations principales (Chap. I, n" 16), devient

et ses racines sont

Supposons maintenant le cylindre isotrope. Regardonsd. comme po sitif et exprimons que la plus grande dilatation est plus petite que la limite D; nous aurons ainsi

M. - ^.latl. li

On peut écrire cette inégalité sous une autre forme. On a, en effet, (n»7)

avec les égalités (Chap. Il, n" 4)

E l'(3J + ïc) ,,

dont on tire

mx + p)

Ainsi l'inégalité (a) peut s'écrire

Nous avons supposé ii^. positif, et le cj'lindre était étiré. S'il y a, nu contraire, compression du prisme suivant sa longueur, la rupture ne peut se produire que par des dilatations transversales. La quantité i^ étant alors négative, posons

nous aurons

C'est (a quantité ^^ qui ne doit pas dépasser la limite D, et l'on aura à satisfaire à rinégxiité