ÉQUATIONS DE LÉLASTICITÉ EN COORDONNÉES CURVILIGNES
Nous allons nous occuper, dans ce Chapitre, d'établir les équations de l'élasticité en coordonnées curvilignes. Ce sujet a été traité pour la première fois par Lamé, avec une grande habileté, dans le Journal de lÂouville, i84i- Nous sommes déjà entré dans quelques considérations sur la théorie des coordonnées curvilignes dans le Chapitre II àaCours de Physique mathématique et dans le Chapitre IV de la Théorie dupolenliel. Il sera utile ici de rappeler d'abord quelques principes généraux de cette théorie.
Rappel des principes de la théorie des coordonnées curvilignes.
l. Considérons un triple système de surfaces rapportées à des a; rectangulaires et te! que les surfaces de chaque système soient ortl gonales sur les surfaces des deux autres systèmes. Alors chaque si face d'un des systèmes est coupée par les deux autres systèmes suivi ses lignes de courbure. Soient
les équations de ces surfaces, où p, p,, p, désignent leurs paramèti variables. Tout point M de l'espace, au lieu d'être défini par ses coi données rectilignes x, y, z, peut l'être par p, p,, p^, qui sont appe ses coordonnées curvilignes.
Désignons par s, s, . s^ les trois arcs suivant lesquels se coupent trois surfaces orthogonales qui passent par le point M, les arcs s, s,.
io8
étant respectivement normaux aux surfaces p, p,, p2. Posons
ydx ) dx )
dy)
Le carré de la ligne infiniment petite qui joint le point {x,y,z) au point {x -f- dxj y -f- dy, z -h dz) sera donné par cette formule
dx^-hdy^-^dz^=:^^dp*-h j-tclp\-h ^dpl
et les éléments des lignes s, ^, , s.^ au point M seront
dsi
dsf
On peut exprimer les rayons de courbure principaux de ces surfaces au moyen des quantités A, A,, Aa- Désignons, en général, par r^j le rayon de courbure de la surface pj suivant Tare s^; i, / sont deux des nombres o, i, 2 pris inégaux.
Fig. I.
A partir du point M (/îg. i), portons sur Tare s^ la longueur MM| = r/y^, et nous aurons
dpi
dsi-
ih
Les normales élevées en M et M, à la surface p se rencontreront en un
ÉQLATIOSS UE L ÉLASTICITÉ EN COOHDOS.NEES CURVILIGHES. 1 09
point 0. L'arc s qui passe par M, est représenté par M,*', et il est tangent à M,0.
Pour un accroissement dp de p, l'arc ds, se change en M'M', = ds\ compris entre Ms et M, s', mais qui peut être remplacé par la partie de la même ligne interceptée entre MO et M, O. On en déduit
'10 '"lO à II,
Le premier membre de cette Formule représente la variation quand on passe de M à M' ou quand p s'accroît de dp. Nous donc, en diiïérentiant l'équation (C) par rapport à p,
' h\ dp '^ '^
Butin, des deux dernières équations on tire
Dans le cas de la iigure aciuelte, r,, est considéré comme | ds\ est plus petitque ds,, et, par suite, -p- est positif. On voit rayon de courbure principal r,,, de la surface p est dirigé dans suivant lequel le paramètre p et l'arc s croissent.
Si le rayon de courbure r,^ est dirigé en sens contraire,
mule (D) subsistera encore, pourvu qu'on regarde alors r,, i
une quantité négative; en eiïet, ds\ sera plus grand que i
dh, . ..„
-p sera négatif.
De la formule (D) on déduit ensuite les six formules renf dans la suivante :
1 hj d/ii
r,j '~ hi d(,j
Expressions des dilatations, des glissements et des rotations en coordonnées curvilignes.
i. Désignons par / une ligne intiniinent petite située dans un corps et par £/ l'accroissement de cette ligne, provenant de la déformation du corps; nous aurons cette formule obtenue (Chap. I, n" 13)
-j ^ ^jCOs'a + ^j-cos'jS -f- ^; cos'y
+ A'yîCos|3cosy -i-^';jCosy cosa -i- /j:^yt:osixi:os^.
Soit M l'origine de la droite /. Considérons un triple syslème de surfaces orthogonales, et soient s, s,, s.^ les intersections de ces surfaces (|ui passent par le point M. Menons en M à ces courbes les tangentes Mx\ My, Ms' et prenons-les pour axes de x", y', z'. La formule précédente peut être appliquée par rapport à ces axes de coordonnées.
Les quantités 'i^-, '^^-^ 3,- seront les dilatations suivant les normales aux surfaces p, p,, p^, et g^-^-, g-^v 5'^/ seront les glissements sur les éléments des plans tangents en M. Nous aurons ainsi
h g y-- cosp cosy -\
du' ,
~ ; COS' « -i- ,
a, fi, Y étant les angles de / avec les nouveaux axes. Chercbons maintenant à exprimer -j en coordoj Nous avons
et, en différentiant selon o.
Il h A, h, A, A,
dl(dè^ __ <^ M\ dp, f d^p, dp^ ôk,\ dprfdSpi dp, oh,\ ~ h\ h /i h ) '^ h, \ h. A, A, j "*" A, \~^
