ÉQUATIONS DE L ÉLASTICITÉ ES COORDONNÉES CURMLIGNES. III
Nous avons ensuite
ddp. dSp ,
~\dp h) A'" ~^ Wpi -^1 / Aï "*■ V t/p» Ai ;
/A, rfâp, A, rf3p, \ rfp, rfp,
"^ vi; rfp7 ^ A, rfp, ^ AT AT "^^ ■ ■■
Divisons par /* et remarquons les égalités
dû ds dp, ^ dp.
nous aurons
il /dèp è/i\
/A, rfâp,
En comparant cette formule avec (i), nous aurons
i-,\ ^ rf«'rf3p 5A
^ ' '' " </y ~ dp A '
rfi' (Ai^' A, rfiîp, A, rfip,
' ' ^''■- ~7h''^dy ~~ il, rfp," "^ â; rfpr'
Désignons maintenant par R, R,, K, les projections sur les axes di x', y', =' (lu déplacement du point M qui résulte de la déformatioi Comme Sp, Jjs,, Sp;, seront les variations éprouvées parp, p,, pj, noi aurons, d'après les formules (B) [n" \ ],
Il A,
ap,
et. d'après cela, les formules (2) et (3) deviennenl >/.tt/i
A X/ip " ' ' dp, h, fi.R,/,, /,, ff.W,/,,
rh.
Par une permutation sur les indices, on obtiendra les Ibrmules rela- (ives aux deux autres dilatations et aux deux autres glissements.
3. Le calcul précédent nous donne dans les glissements les sommes de deux dérivées de u', v', w' prises respectivement par rapport à y', z', à =', x' et à a;', y. Nous pouvons obtenir ces six dérivées séparément, et il nous suffira de calculer une de ces dérivées, les autres pouvant s'en déduire par analogie.
Posons
■ dj-'
D'aprfesce que nous avons vu (Chap. I, n° 14), a désigne l'angle dont Ma;' tourne vers My par suite de la déformation {.fig- 2). Soit M' un point pris sur l'arc s et infiniment voisin de M; menons-y la tangente M'T et désignons par - l'angle infiniment petit formé par M'T avec M.r'; nous aurons
rfv'
et ff sera évidemment égal à l'angle dont tournera M'T.
Par suite de la déformation, les coordonnées dx', rfv'du point M' se changeront en dx'+du, dy'+dv', et l'angle t secbangera en t -[- tr;
KlftJATIOKS DE L ELASTICITE EN COORDONNÉES CURVlLItiKES. 1 li
ainsi, nous aurons
, , dv' -h dv' dy' ( dv' du'\
'""«<' + '>== ETr^T' = i^ (' + 3/ - s)'
u . { dv' du' \
tangT -( = langr ( i + . — . t •
° cos*T ° \ sinToi cosrdsj
On en déduit
d^' . du' ds ds
Or, au point M', les valeurs de R et R, sont
R =: h'cOST 4- y'siHT,
R|-= c'cosT — «'siiiT, et il en résulte
rfRi rf'' . du' , , . , ^dt
—r- = cosr-; sinT-;- — (i' sint + « cost)-t--
ds as as ds
Or j- représente la courbure de la surface p, suivant l'arc s, et l'on a
^ i A, dh
ds /'oi h dp^
On a donc
rfR, </.•' . du' R
ds ds as /jj
par suite
dH, R
ff— — 1
lis r„i
Enfin, d'après la formule (4). on obtient
dç' dl{, R , dR, „/i, dh
' ds' ds r'oi dp h dp,
En permutant les indices o et i dans celte formule, on troi
du' dR R, , dR „ A dhi
^ ' dy' ds, t\o dp, 'A, dp
M, - âla,l.
I r4 ClIAPlTItK IV.
Endn, en ajoutant ces deu\ liernières formules, on obtient
°-^''' ~ h dp, "*" /f, dp '
ce (|ui :>'i<ccurde avec ce que nous avons trouvé ci-dessus poui' les glissements.
4. Il y a d'autres quantités qui se composent des mêmes dérivées que les glissements : ce sont les doubles des rotations de l'élément du corps, situé à l'origine des a;', y, 3', autour de ces axes (Cbap. I, n^lS); elles sont données par les formules
j,, ^ d'f' di'' , du' dtv' , dv' du'
~ dr' dz' '^ ds' dx'' '^ dj:' dy'
D'après les formules (5) et (G), nous aurons
nous aurons de nïème
Expressions des forces élastiques à l'intérieur d'un corps isotrope.
5. Désignons par A, A, , A^ les forces élastiques normales qui agissent respectivement sur les plans des j's', des z'x', Aesx'y' et parG,j, Cîo. ^01 les forces élastiques tangentlelles exercées sur ces plans. Représentons aussi paru la dilatation de volume, et nous aurons (Ghap. Il,
A — Xy + 2(jiJ,, A,^=Xv + af/Jj., Ai^X'-" H- aft^j-;
Donc, d'après les formules qui viennent d'être obtenues, nous aurons
ÉQUATIONS nF, L ÉLASTtCETK EN COOKDONSÉES CURVILIGNES. I I 5
les expressions suivantes des forces élastiques en coordonnées curvilignes :
y d.R,/i , I /rfA, dp, Â| ^ rfp
A.^lv
rrf.RjA, I /rfA, „, dht„ . dht„ , \1 ^ . dp, A.V-'p (/pi rfpï VJ
/Ai rf.R|A| Al rf.R./., \ "'*^^Vi, dp, "^ A, dp, )' (h d.R,/i, A, d.RA\
^"=^VÂ;-d7^ + Â-dprJ'
*'"— '^\A dp, ^ A, dp j'
On peut présenter les expressions des forces élastiques d'une aut manière, en introduisant les rayons de courbure principaux des si faces orthogonales.
i^s dérivées de a', v', w' exprimées à l'aide des rayons de courbur principaux des sur/aces orthogonales.
6. On peut faire disparaître complètement des formules précédent les quantités h, A, , h.^, en introduisant les différentiations par rappc aux arcs s, s,,s.j et les rayons de courbure principaux des surfaces ( tbogonales.
Nous avons obtenu ci-dessus leis deux premières des six furmul semblables suivantes :
rfR, R ^ ds ^ r^, '
du'
dv'
rfR R,
dK, R,
dx, ^ /■„'
de' d?
dB, R,
- ds, * /„
du'
rfR, R
I iG CHAPITRF. IV.
Nous avons aussi trouvé (n^'î) pour^^y une formule qui peut s'écrire !^-/,^n '^ '''* — R ^^
dx' ~' dp ' h dp, ' h dpt
Nous on concluons la première des trois formules semblables R, R.
du'
rfR
ïï'
- ar
rfR
dy
'~ ds,
dw'
rfB
Les formules (A) fournissent les dilatations linéaires. En ajoutant les deux fomnules (a) de chaque ligne horizontale, on obtiendra les glissements ii-j^y.^/j', g-,v; en 'ps retranchant, on aura les doubles rotations $, f,, 'l'^.Enfîn, des dilatations et des glissements, on conclura les forces élastiques.
Travail des forces élastiques dans un corps isotrope.
7. On â, pour le travail des forces élastiques développées dans un corps isotrope,
l'intégrale étant étendue à tous les éléments dvs du volume du corps (Chap. Il, n"6).
Cette intégrale pourrait être mise immédiatement en coordonnées curvilignes; mais auparavant nous allons lui donner une autre forme. La quantité soumise au signe d'intégration peut s'écrire ainsi
■X n (du di'
y + ^-ixfdu ^ d.< ^ rf.ry
a/jt \dx dy dz J
2\dz d
j!^,\di-d;)^
a \dy djcj
(dv d>v
d^v di'\ /d,yd,i ~ 'd= dyj'^^yd^ d-.
du rf,.\ fdu dr
di' du ~ djdx
ÉOCATIONS DE 1.' ÉLASTICITÉ EN COORDOMNKES CURVILICNF-S. II7
Or l'intégrale de la tîoisième ligne, multipliée par d^ et étendue au volume entier du corps, se réduit à une intégrale superficielle. En elTet, nous avons
fdv d^ ^ r ^'- y
,/ ds dy '' " dz " ./ " dyd: ■'
J d:y7n'^--dy'''---j"'d77rz'^''
et, en désignant par [jl et v les angles de la normale à la surface du avec les axes des y et s, on en déduit
r/di-dif rf>rrff\ , r/d,'
dy
(la étant l'élénaent de la surface du corps. Le même raisonnemeii être appliqué à deux intégrales semblables.
D'après cela, désignons par f ce que devient ^, quand on e prime une intégrale superficielle, ot nous aurons
'~ ^Jl F '' ~^\dz dy ) \dx dz)~^\dy dx)
Les quantités x ^ 3~ ' ' ' " ^'*"* '^® doubles rotations autour de des X. y, z, et la quantité soumise au signe d'intégration est invi par la transformation de coordonnées. Pour employer les coord( curvilignes, nous remplacerons d'abord cette expression par
j,__ f^ /*r>-|-^, /rfi-' div'y /dw' du' y /du' rfr'" ' " a J L M- '' ~^ \d^' ~ dy ) '^ \di~ ~ dP ) ^ {TÏ^' ~ 'dp,
oordonr nfin, d'i
.x', y, 3' étant des coordonnées dont les axes varient d'un élét l'autre du volume. Enfin, d'après les notations ci-dessus, nous i
US avons ensuite
Équations de l'équilibre d'élasticité dans un corps isotrope.
\. Calculons la variation £,?', résultant d'une déformation infiniment ;ite. Nous aurons
i-f =-itfl i±2if .j ^.j + tf d* + (f, $<ë^ + <f , Sii^ dis. /•/. 3R .3R, .3RA
Égrons par parties, en marquant seulement par des points une intéile superficielle qui ne doit pas nous servir, et nous aurons
Posons
'S—~kA., «', = — /,,iil,, 'f, = — A,£,
nous aurons
, en négligeant encore une intégrale superficielle.
On a de même
/»■,«*, A, = -/(! gjR-i|jR,)rfp^p,4. + ^...
Décomposons les forces extérieures suivant les trois normales aux
