ÉQUATIONS DE L ÉLASTICITÉ EN COOKDUNSÉES CURVILIGNES. I I
surfaces ;:, p, , p^, menées en chaque point du corps, et désignons par F, F, , F, les sommes de ces composantes. Représentons aussi par (S.f) ce qui reste de Sj', quand oa en supprime les intégrales superficielles indiquées ci-dessus, et nous aurons, pour l'équilibre, d'aprijs l'équation générale du principe des vitesses virtuelles,
(3,î) +y "(FâR + F, 5R, -h K, SU,) rfnt ^ o,
en négligeant les conditions à la surface du corps.
Apres avoir remplacé (oS) par sa valeur dans cette équatic Ions à zéro les coefficients de ^R, ëR,, SR, sous le signe commi tégralion. et nous aurons ces équations obtenues par Lamé et r à l'équilibre d'élasticité d'un corps isotrope
dpt <lp, p A|^'i dp fj. hyhi
rf3 rfA. / + 3fj ]h ^ l Xl
dç/ dp) fi A,A (ipi j h,/)
çL\. rfii!. > , + 3fx A^ ^ I F,
dp, dp n fiti, dpi ^i /i/i,
i^V, ii!i, c étant fournis par les équations (n" 4)
l dp,\hj rfp, U,/ /',A, ' ,„' ) d /RA d /lt\ A, ,
'"> \d-p[7^)~dfX7^)--^7;j.''-'
I ^p, V(/ dp \/iJ'- /i/>^^-
Si, au lieu dos équations de l'équilibre d'élasticité du corps, lait avoir celles de son mouvement vibratoire, on ajouterait, ( équations précédentes, aux forces F, F,, Fj respectivement le d'inertie
rf'R rf'R, d'fi.
m étant la densité du corps.
La dilatation cubique u satisfait (Chap. 11, n'' 2) à l'équatiou qui peut s'écrire
L'A kSlf^M hhh Vm^«^P/ , W^d^J , V/'^i^pJ I
m fl?-y
2/JL t/^«
Dans le cas de l'équilibre d'élasticité, les équations (L) et (M) seront, en général, bien disposées pour l'intégration. On déterminera d'abord la forme de u par l'équation
Ay =: o;
les trois équations (L) détermineront ensuite ai>, lUi, £; puis des trois équations (M) on déduira R, R,, Rg.
Équations de V élasticité en coordonnées pros^enant d'un système de surfaces et de lignes orthogonales à ce système de surfaces,
9. Un système de surfaces étant donné, on ne peut en général trouver deux autres systèmes de surfaces orthogonaux entre eux et orthogonaux au premier. Mais on peut alors considérer Je système donné de surfaces et le système des lignes qui coupent orthogonalement ces surfaces.
Traçons sur ces surfaces les lignes de courbure que nous désignerons par 5| et s,^, et désignons par s les lignes orthogonales aux surfaces. Nous pourrons encore décomposer le volume d'un corps en parallélépipèdes curvilignes infiniment petits, dont les côtés seront situés sur trois lignes ^, s^ , s^ passant par un même point, et le volume de chacun de ces parallélépipèdes sera dsds^ds.^.
Nous nous sommes déjà occupés de ce genre de coordonnées dans la Théorie du potentiel (Chap. IV, n"* 17-23). Désignons par a les surfaces données; soit M un point d'une surface a, soient s^ et s,^ les lignes de courbure de a qui passent par M. Le long de s^ et s.^, menons
EQUATIOSS ItK f, EI.ASTICITK fi.N COOIIDONNKES (;^■RVI1.Il;^F.S. 121
les lignes s ortliogonales aux surliices a; nous formerons deux surfaces (|ue je désigne respectivement ptir Uj e( i,. Les lignes s, s,, ï, ne seront pas des lignes de courbure des surfaces o-, et ct^. Mais nous pouvons considérer les sections normales faites dans ces trois suivant les tangentes à ces courbes. Désignons alors par r,- y de courbure de la surface •jj suivant l'arc j,.
Nous aurons, pour les éléments dos surfaces n, 7,, n...
th -- ftx, dsi, di, -r: (Ysj (h, ds~ ^^ ds ds^.
Posons
le parallélépipède curviligne construit sur ds, ds,, ds^ aura 1 dv =: ds,ds^ (|ui correspond à s, et sa base opposée eh' corn a s -h ds, et nous pourrons représenter di' — d^ par —.-ds. ( connait facilement qu'on a
il en résulte
d-j' -~ ds — — ( 1- - J dm,
OU la première des trois formules semblables
dda ^^ df7 d d<i, d-j, dd7, d-j,
"df^"'^' ~d7r~'~~'^' ~/ï, "V'
10. Nous allons maintenant montrer que les formules obt n" 6 ont encore lieu.
D'abord, le raisonnement du n" 3, qui sert à établir la ton:
rf.' d\\, H
reste entièrement applicable, et l'on en conclut par analogi formules (a) du n"(l.
Cberchons ensuite la formule qui donne i,. — '-"-,■ Il s'a
primer cette ijuaiilité au moven de R, R,, Rj. Pour simplifier, supposons d'abord que R^ soit nul.
Menons les lif^nes .Ma-', ^ly, Mz' tangentes aux arcs s, s,, s^ 1"' passent par le point M. Soit Mb ~ ds, qui se projette en M //= doc".
Le point M (fig. 3) éprouve, par suite de la déformation, un dépla-
cement R suivant Ma;' et un autre H, = Me suivant My. Le point b, extrémité de ds, se déplacera d'abord de R -4- rfR suivant la tangente en b, par suite de rfR — bc par rapport au point du corps situé primitivement en M, et en second lieu il se déplace de ch = R, + rfR, normalement à l'arc Me. Des points c et A, abaissons sur Mx' les perpendiculaires ce , hh' .
Le déplacement total du point b, par rapport au point M, aura pour projection sur l'axe des r'
On a ensuite (;3) h' h' -Ji' c' ~- b' c' .
En négligeant des intiuiment petits d'ordre supérieur, on obtient
puis, en menant la tangente r'ï à l'arc *,
1,'c'-- — RjCOS{/ic,j:') — lî, siii((;T,.t'); l'angle de cT avec jM.-r-' est l'iuigle de contingence de l'arc Mf; on a donc
ds
Ainsi l'égalilé (fl) dcvieni
ÉUL'ATIONS \}f. l'ÉLASTU:ITK KX COURIiONNKKS CCUVILIGSKS. I 2'i
Divisons par ds et remarquons que -!-'- est égal à -J^,; nous aurons
dj:' "" i/s /■„,
Eu établissant cette formule, j'ai supposé R^ mil; si Rj nul, il donne évidemment dans ~j-, un terme tout semblal que donne R,, et il en résulte
rf«' rfli Rj [{,
C'est h première des trois Ibrniules (A) du n" 6; les deux t déduisent par analogie.
• II. Occupons-nous ensuite des équations de l'équilibre d Nous aurons encore, pour la variation S.J' du travail intf forces élastiques, en supprimant des intégrales superficielle
5,T'^-^j'(ï-±^.â. + a'ôa' + .r,ô.
■A'i + 'f.â'r. Wfe,
c/rn étant égal à dsds, ds^.
En faisant la somme des trois dilatations linéaires, nous
-et tf, <e,, a\, doubles des rotations, ont pour expressions Ne considérons dans 05' que les termes en l^ et supprime
tégralos siiperlii'icllcs. Nous aurons
Nous aurons de même
cl, par l'iutogration |iar pailles,
Dans l'équation du principe des vitesses virtuelles (11" 8) égalons à zéro le coefficient de oR; nous aurons
Celle équaltoii peut s'écrire
br, '''- ^- '^ ■ (T/.r ^ '.T.) J '''' ~ 1.7/.; '''■ -^ '^' hs. + 7;:) J ''■'■
Appliquons les formules (a) et divisons par (/j c/j, rfj^ ; nous aui-ons
KQUATioss m: l i:i.astii:itë En cookuosskes clavilioses. la première des trois équations scmblahles
</y\ 'r, /d^ __ ^\ }. ^7.fA dj i
^ ^ fd^ '-t^N î. -H '(p rfj \ ..
t/.t, *'ot V ds r,„J jx ds, )i '"
>l% ^ (d^ Jl \ L±Jif^ f'^ 1 F ds r,o \ds, /'oi ' p '/.*! p '*
Quand on aura déterminé a'. «■■,, 'jfi au moyen de ces i lions, on calculera R, B,, Rj au moyen des trois équations aux rayons de courbure r,.,, 1:^,, To,, Ta^. qui entrent dans cei ils pourront être calculés selon ce qui a été dit {Théorie d Chap. IV. n''M8et23).
liquadons exprimanl l'équilibre des forces élastiqu.
12. Dans les numéi'os précédents, nous ne nous somm que des corps isotropes; nous allons maintenant exprimer e nées curvilignes l'équilibre des forces élastiques à l'inté corps homogène, isotrope ou non.
J.e travail élémentaire des forces élastiques qui agissent à du corps a pour expression
ai r -l\\, o\\ -. N, o,V -H N, ô.^, -+- T, oV,.+ T, o>,,+ T. 5^
(Cbap. I, n" 19).
Par un point M qucicouquc du corps, menons les tangi M/', M3' aux lignes 5, s,, s^ qui y passent, et ces droites axes de coordonnées pour des points situés à une distance petite de M. Considérons le parallélépipède curviligne r/cr dont le sommet est en M, et désignons encore par je Tableai
Poi.
, Ci.
sui' da T^dsjdsj,
iS„
11 da, -ds,ds.
» da, = dsd)t„
CHAPITIIK IV.
les forces élastiques qui agissent respeclivemunt suivant ds, rh,. ds.^. En appliquant la formule précédente, nous obtiendrons
j.*=-/"rAj^+A,jj;+A,o-!^
J | da:' dr dz'
Or nous avons trouvé (ii*" (i et lU)
rfl( 11,
ci-c'
" dx ;■„,
dv' df
dK, II,
rf«''
dW, Il
(iï, /■„
rfll, rfll,
,;ii, rfii
dt,
di'
dit ,m,
Les termes de o-T dépendront do oK.olt, ou SR^; calculons seulement ceux qui dépendeut de oK :
/ \ 1 --T—, du ds donne — / y^~oi\ds,
f\,à'^dc,ds II -^ j'A.^d^jds,
/K.5 -r-; d's ds » ^ / A, — dids,
r^ -.{du' rfi-'\, , /T d(i?,„,d-;,) Co,rfff,l,,, ,
ÉQUATIONS DR L ÉI.ASTICITF. E."i COORRONNÉF.S CURVIUG>ES.
Égalons ensuite à zéro le coeflicient de cR dans l'équation
