t- è fiVSR -1- F, m, -+- F, âR,) rfro ^ o
et appliquons les formules (a) du n° 9; nous obtiendrons ainsi I mière des trois équations semblables
rf5„,
rfA, ds,
rf6,
/it^,
Ces équations ont été démontrées par Lamé pour un syslèi coordonnées provenant d'un triple système de surfaces orthogo mais, d'après notre raisonnement, elles sont également applic: des coordonnées déterminées par un système de surfaces et ses oi'tbogonales.
Démonstration géométrique, des équations précédentes.
i3. Nous allons retrouver les formules précédentes, en expi l'équilibre du parallélépipède curviligne, construit sur ^f, ds,, ds l'influence des forces élastiques qui s'exercent sur ses faces forces extérieures.
Les forces élastiques, qui s'exercent vers l'extérieur sur le faces correspondant aux plus petites valeurs de s, s,, s^. sont d( par le Tableau suivant :
<?oi
Coi
<?io
t CIIAPITltK IV.
forces de cliaqtio ligne verticale élant dirigées suivant les tangentes arc indiqué au-dessus. Désignons par rfa', rf^r',, dé.^ les trois faces ►osées à fh, th,, (h^ dans le parallélépipède, et représentons par les ations précédentes, avec un accent, tes forces clasliques qui solliînt ces faces. Désignons aussi par j', s\, j'^ les arcs s, s,, s.^, terminés : faces da', th'^, di'^. Alors les forces élastiques, qui s'exercent sur faces et vers l'intérieur, seront représentées par le Tableau précéi(, dont on accentuerait toutes les lettres A, ç. s et t. )ésignons par M le sommet du parallélépipède, où commencent les is arcs ds, ds,, dsj, et menons en ce point M une tangente Mj-' à ds, s projetons sur cette droite toules les forces qui sollicitent le paralipipède, afin d'égaler leur somme à zéro.
'renons d'abord, en les changeant de signe, les projections des :es indiquées par la première ligne verticale du Tableau ci-dessus celles des forces semblables A', f'„,, g:'^„. Nous aurons, pour leur ime.
-ds, li^ff', — Goi ^^1
en nous rappelant les formules qui donnent rfn' - d-r nous ob-
ons
six autres forces indiquées par la deuxième et la troisième ligne ticalc du Tableau ont des projections nulles sur Mo*'; mais les six :es semblables agissant sur di', di\, di'.^ ont des projections dilTé- [es de zéro, et nous allons les déterminer, -a projection provenant de A', est
(/s, ndiquani la direction de la tangente ii l'esti^émilé de r/v,. Il est d'ail-
KQUATIOXS DK I.'kLASTICITR KN I.OOIlDON.NtES IXll
leurs évident qu'on peut remplacer A', par A, danse
numérateur de ^^iJ^iil. varie et s'annule en même !
ce rapport est analogne à une dérivée ; nous le calcu
De même, la projeclioii provenant de A., peut s'écri
,,, . COS(.(,,.î) ,
On verra encore que 5^,, dirigé suivant *',, et e^j.dirig lient respectivement les projections
s\ et s^ étant ce que deviennent les directions des U
dst quand s s'accroît de la quantité <h, indiquée au d
Enfin, il existe deux forces égales à d. dirigées
l'autre suivant s\, et qui donnent les deux projections
1,1) p ^"^^-''îl^rfTCT P ^^illlïtljT.-
par exemple, s... dans la première, iiidi(iuc ce que de de la tangente à ds.^ quand s, s'accroît fie t/s,.
11. Prenons maintenant des axes rectangulaires 1 et par rapport à ces axes désignons par a, b, c les ci de la tangente menée au commencement de ds; soie c, les mêmes cosinus pour ds,, et fl,. Aj.c^ les mêmes
Les cosinus directeurs de s\ sont ce que devienncnl .(, s'accroît de ds, ; donc les cosinus directeurs de s\ s<
l3o f.HAPITRK IV.
OU (Théorie du Puleniiel, Cli:ip. IV, n" 18)
COS(j'i.j) i
On a de même
cosl.ï',^, 1 *■/(/ , dh de I
On H ensuite
i-os{,(',,.î) da, ^db, dc^
V-^^— — n-7-!-^-6-7-l^-c-J--■ Pour nous représenler le cosinus de cette formule, pieiions MJMj = ds., et par le point .M^ (/îg. '\) menons l'arc s\ ; soient M^.r\ et M,v', ce que
deviennent .Mx' et Mj'. L';uc s\ sera normal à s.j vl à M.x',. lîn négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur, .t', ou M^v', peut être regardé comme normal au plan x'Mz' et. par suite, normal à M.r'; on a donc
COS (.(',, s)
Il l'cstilte de là i|ue lus expressions ((^/} sont nulles, cl ijue les exprt sions (a), (h), (a) ont les valeurs suivantes :
Faisons k somme de ces quiitre ex[)ressions, de l'expression (a) et de la composante Fr/ci des forces extérieures, et égalons celle somme
Éyl'ATIONS l>R l.'KIASTICrrK F.\ rOOBDONNftK.S r.mvii.iGNF.s, i^r
à zéro; nous retrouverons la premièro îles équcitionît île ibrces élastiques, obtenues (n" 12), el les di'uv autres iminéiliatement.
Équations de l'élasticité en coordonnées cyiindi
15. Appliquons les équations oUlenues dniis ce VMa corps isotropes au cas très particulier ou les (rois svstèn orthogonales sont : i" des cylindres de révolution aulo axe; 2° des plans méridiens passant par cet axe; 3" des diculaires à cette droite.
Désignons par/- le rayon des cylindres, par o l'anj-le ridien avec un méridien fixe et par = la distance de chai plan fixe perpemliculaire à l'axe. Puis posons
nous aurons donc
ils - dr, ih, -- rd^. ds. r: dz ; par suite.
Désignons par l', V, W les déplacemenis suivant r courbures principales sur six sont nulles, et l'on a (u"
Nous aurons ainsi, pour les expressions dos forces élasti dirigées respectivement suivant r, la perpendiculaire 1 suivant l'axe des r.
«rces tan^entielles sont
. : rfV , ,l\\
'■" ■"' .fi "' r ,h •'
1 I ,iy ,i\ \\
iljilalioti cubiqui' u satisfiirl à rrquation
' do*
a ensuite, pour les équations du inouveiiieiit qui renferment le l'équiliUre (n"8 ),
(ivi. rfe
t/irVi </\y ~l: ITo
d\\ dV:
dr " ~d:
dU d[r\)
KI.VSTICITÉ KN (.OOKhUNM
E'i natif >fi.i de l'élaslicite en coordonnées s/i/n
16. Le corps considéré est encon- isotrope, et l'oi; triple système Je surfaces ortiiogonales : i" des splièrt liont le centre est en 0; 2° des cônes qui ont leui point et(|ui sont di> révolution antotir d'une mémi des plans passant par L.
Soient r le rayon diîs sphères, s la latitude ou le l'angle de r avec la droite !,, entin ■]/ la longitude ou I du troisième système de surfaces avec un de ces pis conséquence, posons, dans les formules jjénérales.
nous aurons
-- di;
,rfç.
et, par suite,
/nos 9
On en conclut, pour les six courbures principales,
Remplaçons R, R,, R^ par les lettres l', V, \V. Ain les projections du déplacement total sui'?-, la tangent la tangente au parallèle. Cela posé, nous olitiendrons, sions des forces élastiques.
dvr i
'^V^'CCso d-l I- r
CirAPITRF, lï. - ÉQL'ATIONS DK I. iXASTlCITÉ, K.TC.
5 d'il "^ i
' \ ilr rcos^ «■} /• /
et la dilatation cubique qui entre dans les trois |ircniièt'es forces a pour expression
t dir^V) I </ (Vco s?l I rfW
La dilatation cubique u RiUisfait à l'équation
"I ' j- rf -r cos o ,. ,.
t \ (lr I I \//3 ■ / I d' j III '/'u
/■• (//■ /■' COftO do /■' COS'O rf'i' À + 'if/ f/('
iMifin les équations qui ex|)riment l'équilibre d'élasticité ou le niuuvenienl vibratoire sont les suivantes
dZ
'" rfC j
dz
~di
ditt^
>. J- Tfi
'do
dr ~
'" ,fr
dans lesquelles on fait
rf(Wrcoso) rfL'
-rr- . "!■ COS9,
dV d(rV)
DEFORMATIONS, Ql'I NE SONT PAS TRÈS P
DES th;es minces.
KircIilioU'a expost- une théorie de la défoninition tics (Gesarnmelle Abkandlungen, p. 285), qui a été reprise par observent que, si l'on décompose une tige mince en trar tites- par des plans normaux ;i son a\c, les déplacements i feront dans une tranche seront très petits par rapport au: de cette tranche et conformes à ceux qu'on étudie daos la raie de l'élaslicité. Mais, néanmoins, bien que la défoni pas permanente, les déplacements peuvent n'être plus trt toute la longueur pai' rapport à des axes, dont deux sont t plan d'une des bases et dont l'autre est perpendiculaire
Considérant d'abord une lige droite, ces géomètres supj: subit une courbure qui n'est pas très petite ; puis, à cliaqi la tige, ils appliquent les formules de la flexion et de I: prismes, données par de Saint-Venant.
Or il semble qu'il y a plusieurs remarques à faire au s plication de ces formules. D'abord, les formules de de Sai doivent pas être très approchées dans le cas où une dini section est grande par rapport à l'autre, comme je l'ai fa dans une note (Chap. III, n° 1 ), En second lieu, les de Saint-Venant sont établies dans l'hypothèse d'une certî lion des forces sur les bases d'un prisme, et alors, en prisme long par rapport aux dimensionsde la section, on | mativement substituer à cette distribution des forces un a de forces staliquement équivalent. Or, danscbaque tranch siunsdes bases sont très petites, mais finies, tandis qu'on
ï3() CHAPITHK V.
le calcul la hauteur couiinc infiniment petite. H n*est donc nullement rigoureux de faire un pareil changement de distribution des forces sur les bases des tranches en lesquelles on divise la tige.
Pour étudier ensuite la déformation d'une tige courbe et les forces élastiques qui l'accompagnent, Kirchhoff conçoit qu'on déforme la tige courbe de manière à la rendre droite, puis de la forme droite il la fait venir à la forme courbe qu'elle doit obtenir en définitive.
Par ces procédés, on abandonne les méthodes analytiques rigoureuses employées par les géomètres après la création de la théorie de l'élasticité, pour revenir à des méthodes analogues à celles des Bernoulli et d'Euler.
Cependant, nous allons adopter cette théorie comme pouvant donner une approximation; mais nous en changerons complètement l'exposition, afin de n'entrer d'abord que dans des considérations entièrement rigoureuses, que nous n'abandonnerons que vers la fin de la recherche, quand nous appliquerons les formules du problème de de Saint-Venanf.
Equilibre des forces élastiques sur la Iranclie d'une tige
qui est droite à lètat nalurel.
l. Divisons une tige droite en tranches de hauteur infiniment petite par des plans perpendiculaires à son axe, et cherchons l'équilibre d'une de ces tranches après la déformation. Soit o" la base; dans cette base d'abord plane, traçons par le pied M de l'axe deux droites rectangulaires. Après la déformation, ces deux droites et l'axe, devenus courbes, resteront néanmoins rectangulaires entre eux. Désignons par s la courbe en laquelle l'axe se change, et par ^,, s^ les courbes en lesquelles se changent les deux autres droites.
Représentons par — C, — A, — B les trois composantes de la résultante des forces élastiques exercées sur la base a, ces trois composantes étant dirigées respectivement suivant les tangentes menées au commencement des arcs ds, ds^, ds.^, qui passent par M. Soit cj' l'autre base de la tranche, correspondant -d s -{- ds; par le point où Taxe rencontre la base a , menons avant la déformation deux droites parallèles aux deux droites rectangulaires tracées dans œ, et désignons par s\, s[, ce
DÊFORMATrOSS IIES TIGKS MISCES. l'ij
que deviennent ces deux droites après la d61'orniation. La l'csullantc des forces appliquées sur </, étant décomposée suivant le prolongement de dsel suivant*', els'^, donnera les composantes
Décomposons les a\cs des couples qui sollicitent les bas la même manière. La section a sera ainsi sollicitée par un les composantes seront désignées par — 2, — ^Jt,, — ife, et cité par un autre couple dont les composantes seront
Il doit y avoir équilibre, d'une part, entre les forces qu l'élément de la tige et, d'autre part, entre les couples qui j qués. Pour obtenir les équations de l'équilibre, nous empi formules obtenues (Cbap. IV, n"' 13 et 14).
En premier lieu, projetons les forces qui sollicitent la tri tangente Ms', menée au point M de ds. Les sections a' avant la déformation, peuvent être encore considérées a| égales; car elles ne diffèrent que d'un infiniment petit du s(
Les projections de C et de — C ont pour somme
La projection de — A est nulle et celle de -V est cis
de même la projection de — B est nulle et celle de B' est
Enfin, désignons par F(^5 la composante des forces extér
M. - Élati.
38 CIIAPITIIK V.
raticlie, prise suivant la niéiiie direction. Kn égalant à zéro la somme le ces composantes, nous aurons
Le point M' (^g-. 5), situé sur l'arc set infiniment voisin de M, peut tre considéré comme situé dans le plan s'^f/'; élevons à la courbe s
ine normale MO située dans ce plan; elle rencontrera Xy en 0. Désignons OM par r..\ r^ sera aussi le rayon de courbure de la projection le s sur le plans'M/'. Nous obtiendrons de même r,, le rayon de cour- )ure de la projection des sur le plan z"S\x'.
Le long de s, et de s.^. on peut concevoir des lignes normales aux surfaces a; ces lignes formeront deux surfaces c, et d,, et, d'après ce jui a été vu (Cliap. IV, n" 14), on aura
cos(y.,5) I COs(s;.,v) ___!__
Ainsi, l'équation {a) devient
rfC A lî .-,
2. En second lieu, projetons les forces qui sollicitent la tranciic de la tige sur la tangente Mx' menée à ;,.
DÉFORMATIONS DES TTGES MIMCES.
Les projections de A' el do — A ont pour somme
la projection île C est nulle et celle de C esl
