DEFORMATIONS DES TIGES MINCES
4, Occupons-nous ensuite des éi|uations qui exp (les couples. Désignons par ,f(/î, ^,efst ^^ds les coi Ms', Mot', My' du couple provenant des forces extérit le tronçon de la tige. Mais à ces couples il faut ajou produits par les forces A, B, (^ En effet, les deux for sont appliquées aux deux bases et qui sont égales et il des infiniment petits près, produisent un couple rigé suivant Ma;' et dont la grandeur absolue est lîrfj B est positif, la force — B est dirigée suivant le prol B' est parallèle et de même sens que Mv'; le couple tourner l'élément du corps de l'axe des =' vers celui < du couple doit être représenté par
— B ds.
On voit de même que les deux forces —A et A' di dont l'axe est dirigé suivant Mv", cl qui est représen
EnlÎD les deux forces — C et C ne donnent pas de ca
Or les couples se composent comme des forces, nous obtiendrons les équations de l'équilibre des i plaçant A, B, C par -i,, ut,, o et F. F, , F^ par
ri, .T,-B, -■?,+■ A,
dans les équations (a). Nous avons ainsi ces équatio
1 ds p /■,
f rfiH. X G j .
\ ds p /■,
'nation du rayon de courbure de la courbe s au moyen de r, et r,.
s'agit (le dôterininer \f. rayon df courbure p île ta courbe s au des rayons de courbure r, et r, des projections de * sur les ans rectangulaires s'M,r', ;'.\Iy' {fi^- (>) menés par la tanitente ne j.
î avons, par rapport à un svstème d'axes fixes des j-, v. z,
iKaprès les notalions du n" 3, la tangente M=' a pour cosinu urs «. b. r; donc on a au point >I
cosinus directeurs du rayon de courbure sont
DÉFORUATEONS DES TtGES MtNCES.
on a donc
on a de même
y — cos{/),7')
et, par suite aussi.
D'après cela, sur Ma;' et Mj', prenons MC, — r aurons les centres de courbure C, et C^ des projt plans z'^\x' et s'My'; joignonsC,Ca et du point iV pendiculaire MP sur C|Cj; cette ligne MP sera en rection le rayon de courbure /j de la courbe s.
Le rayon de courbure r de la projection de s sur Ms' et faisant l'angle a avec z'Mx' sera donné par la
Équations de l'éyaiiibre d'une tige divile par rappo
des X, y, z.
(). Formons maintenant les équations de ré(|uil. rapport à des axes llxes. Pour cela, multiplions les pectivement par a, a,, a„ et ajoutons; nous auron de la projection suivant l'axe des a-:
rfC dX d\i A« lia Ba, '
' ds r
r, a a,\ „/ lia a.
tn posant
Le coefticient de A est nul. On a en effet
-,— -h a la — j-i + b -^ -t- c -r^ ]-i-a,ia, — r-^ + Ai -^ -i- c, as \ ds ds ds } \ ds ds a
jda,
)n démontrerait de même que le coefficient de B est nul, et l'on t jour le coefficient de C,
da , db de
-r + b -j- -^-c ^ as ds ds
Ainsi l'équation (rf) devient la première des trois équations semilables
U, V, W étant les composantes des forces extérieures suivant les axes les X, y, z.
Opérons sur les équations (p) comme nous avons fait sur les équations (a), et nous aurons
i^(a,X + fl,\l!, + «S)-f-V) -«,B-t-a,A^o, P (c, X + C, II!. -H C © ) -1- VP — C, B H- C, A ^ o,
DÉFOnMATIOSS DES TtGES MINCES
en posant
\''.-r-.*.T-i-ft|.f,-V-ft,.T„
«B> — c .T + c, -f , -(- Cl J, ;
o, ■<>, ^ sont ainsi les composantes d'un couple extérieures par rapport à des parallèles aux axes par le point M, origine desar'.y, ;'.
Les équations (A) et (B) peuvent ainsi rcinpia et (^) desn-^'S et 4.
Emploi des formules de la flexion et di
7. Les raisonnements qui précèdent n'emprui que les premiers principes de la Statique et sor reux. Nous allons entrer maintenant dans de n'auront pas la même rigueur.
Pour établir les équations (a) et (P) ou (A) o et desj' tracés dans la section <t et rectangulaire été déterminés. Or, après avoir mis l'axe des z' centres de gravité des sections, plaçons les axes les axes principaux de la section. Les lignes s, dessus seront donc ce que deviennent ces trois d déformation.
Comme dans le problème de de Sainl-Vcnan nous admettons que les lignes s, et s.^ restent n déformation, ainsi d'ailleurs que deux droites conques tracées dans le plan de la section droite.
Désignons par h', v', w' les déplacements des p la tige par rapport aux axes des x',y', z'. La li; suff, et 5^, si les glis!<ements
du' dtv' dv' div' «3 d.r dz dv
sont nuls pour x' = o, y = o, î'= o (Chap. I, r ces conditions en supprimant dans les formules
M. — fiÀlM.
r.llAPlTRR V.
trmes qui indiquent une simple rotation de tout l'élément du et écrivant
- A a,y + o, ; h n, j:'y -+- ib, •
(a„ -h a, x' + atf) s' -h ib,x' + b^y')-
Pour plus de simplicité, supposons que la section ait deux axes igulaires de symétrie et posons
(pressions représentant les moments d'inertie de la section par rt aux axes des x et des y, et, en appliquant les formules des et 18 du Chapitre III, nous aurons, pour les couples ^k., ■\Si,, Z,
.1!-: -E>.'^a, Kî.'<7^:';,
-T^ et -j7, étant très petits, on a, pour les courbures des projocde la ligne s snr les plans des s'x' et z'/.
quantité ^, qui se trouve dans les expressions de (/', c', peut être
DEIOHMATIOSS UliS TIGKS MiSCtS
(lélinie ainsi : —^ds est l'angle dont la section 17 ligne A, tourne de Ooî' vers Oy par rapport à o on a donc (n" 2)
D'après cela, posons
v^ dépendra de la fonction U, et, par suite, de la et nous aurons, pour les couples =1^, n!,, c ,
(joniiiie nous avons vu ( n" 3 ). —, — . - s'exnr
neuf cosinus a, b, c, ... et de leurs dérivées p; neuf cosinus peuvent s'exprimei' au moyen de ment. Ainsi, si l'on remplace x, nu, c par les dans les équations (^) et (B), les six équatiot et (B) auront lieu seulement entre les trois qui trois cosinus et pourront servir à les déterminer Remarquons aussi que la dilatation longitudi la formule
Déformation d'une tige primitivemen
9. Les équations (a) et (^), qui expriment I sur une tige déformée, restent entièrement app primitivement courbe au lieu d'être droite ; car, 1
(>) Dans le cas d'uue tige à section circulaire, on
du Chapitre VII que l'on doit rompit qui est égal à E pour ), = ;x,
l^S CHAPITRE V.
n'entre que des quantités relatives à ta forme tinalc alfectée par la tige. Les équations (A) et (B) sont donc aussi applicables. Les quantités r,,/',, p exprimeront les mêmes éléments que précédemment dans la forme finale de la tige.
Occupons-nous ensuite des expressions de A,, a,, c à substituer daos les équations (P) ou (B).
Considérons dans la tige à l'état naturel une tranche dont l'axe est courbe et dont les bases sont normales à cet axe. On amènera l'axe à être droit, en appliquant sur la base t des couples — J.', — «l.', — S' et sur la base opposée <j' des couples
i.W-h~r~us, Wb H 7— as, S'-t :— as,
ds ds ds
tous ces couples étant égaux et de sens contraire à ceux qui, de la forme supposée droite, amèneraient le tronçon à la forme courbe primitive. Désignons donc par u, v les déplacements de l'axe suivant les axes des x' et y' pour passer de la forme droite à la forme courbe primitive: nous aurons
Kl,' ^ E î.ï 5 f^^ ~ - E >,= ff 4- .
r[, Tj, js' étant les mêmes quantités pour la forme primitive que r,, r^, p pour la forme définitive.
Ensuite, pour passer de la forme droite à la forme courbe définitive, il faudra encore appliquer à la base a les moments — a", — Db", — S", et à la base o' les moments x", in>", S" augmentés de leurs différentielles; d'ailleurs, A,", iib", £" sont donnés par les formules
X" — — Ex'ff-, ■U!."=EX'ff-. £'— Ev'ff-!..
On aura ensuite, pour les couples qui sollicitent chaque section de la
DÊFUR»AT10>'S DES TItitS HI>X(':S.
lige quand elle passe de la première (orme courbe
-.1, = -V + a-,', |il.= »!-'+ it!.', £ =
OU
formules dans lesquelles r^, r,', p' sont des quantit pressions de -x,, ift>, S sont celles qu'il faudra subsl tions(p)ou(B).
E(juilibre d'une tige priinitiveinenl droite qui n'est force extérieure en dehors de ses ejctr
10. Les forces extérieures, qui agissent sur la plus ordinairement à la pesanteur. Supposons que gligeable et qu'il n'y ait pas d'autres forces extérie lions (A) deviendront
âu»,.«„..-c„, = o. ...
et s'intégreront immédiatement. On a donc, en dési trois constantes arbitraires,
Les premiers membres représentent les composan fixes des a:,/, z, des forces qui agissent sur une ! Ainsi, bien que cette section, qui a une grandeui direction, la force élastique qui s'y exerce est co, et en direction.
En résolvant les équations précédentes par rap aurons
A=Ha, + H,6,-)-H,c„ BzirHa,-^ H,i,-i- H,c„ Dans les équations (P) [n° 4], remplaçons A, B
CIIAPITltt: V,
lies et '^', in>, o pav
,1, — — E Tx' 4 ' '"' -= EffX' us aurons ces équations
us avons dit que la force qui a pour composantes H, H,, H^ est ante en grandeur et en dii-eclion; prenons l'axe li\e des :; suivant direction, et nous aurons
ions, de plus.
équations deviendront
. équations sont entièrement semblables à celles de la rotation [:orps solide pesant autour d'un point fixe, lorsque la droite qui le point de suspension au centre de gravité est un axe principal ■tie. Pour passer de ce problème au problème actuel, il faut ;er le temps / en la quantité s et remplacer les cosinus qui dentés directions des trois axes principaux (directions variables
t>F.FORMATlO.NS DES TIOES MISCE,'
avec /) par les cosinus qui donnent les direction chaque section et la direction perpendiculaire, remplacent les moments principaux d'inertie.
II. Un cas particulier, où te problème devient rst celui oii la force H^ disparait et où la tige n' des couples. On a alors les équations
-(/' — l')îiî,^o,
qui sont celles d'un corps solide qui n'est sollicil On passe des axes des x, y, s à ceux des x',
Désignons : i" par i|/ l'angle compris entre l'a: plan desir'y sur celui desicj; 2'*pari^ l'angle d des a;'; 3° par l'angle formé par l'axe des = avt gles i et ç seront regardés comme variant de comme variant de o à Tt seulement, linfin, l'ai l'axe des x vers l'axe des y, et l'angle ç, qui est x'y', est compté en tournant de M^' vers M y'.
Alors les cosinus a. a,, a.., ... s'expriment ai ^, par ces formules
n, 7- - <.'os9 sin4' sino -h (^os'lcoso,
d, ■ ■ — cos9 sini^cosç) - ■ cosi sin9,
a ~ sin9 sinijj,
&, ^-- cos^cosv}' sintj) + sin'^cos<j>.
fi, =^ cos9cos']>coscp — sini)' sinç,
b TT. — sin^cosiji,
c, TTsin^sino, c,=: sin9cosv,
iSa CHAPITRE V.
En combinant les équations (c), on en déduit les deux suivantes
' rf.î ' dx ' ds
ot, en intégrant, on oLtit^nt
A et / étant deu\ constantes arbitraires.
12. Le problème de Mécanique cité ci-dessus est résolu dans la Section IV de ma Dynamique analytique. D'après cela, pour abréger, transportons les formules du n" 7 de cette Section dans la recherche actuelle. Dans le problème de Mécanique, on a choisi pour plan fixe des xy le plan invariable. La direction de l'axe fixe des z sera donc déterminée.
Supposons
puis, introduisant une variable u. posons
T étant une constante arbitraire. Nous aurons alors ces formules qui déterminent les trois courbures g, q,, q^
(a) j q,- ii/ ---__ cosamw,
''"^"Vî:'-^^^^)^""'""''
le module de ces fonctions elliptiques étant
UÉFORSIATIO.NS DES TIGES MIM
On aura ensuite
puis un obtient l'angle ^ , au moyen de son sinu: prës les formules
//, = -j SU19 sinQ, 7) " ji coi
Reste à déterminer l'angle tj^. Nous calcule l'équation
Désignons par &(x) la fonction de Jâcobi
9(x) m — a^'ooS"!^ -i-a7"cos -|^ ai;
en faisant
Jo V ' — * alors, en posant
et désignant par g une constante arbitraire, on
13. Montrons d'abord comment on calculera couple, qui sollicite cbaque section de la tige, axes des x', y', z', donne les autres couples
I J..-- — Ex^a ' — Ex'iTfl, 1 '"'
{S,) (il!. = EX*!ï— — EX'ir?,
l5.'( CHAPITRE V.
A l'extrémité de la tige j— L, ces couples doivent avoir des valeurs données a', ift'.e'. D'après ces équations, on obtient les valeurs de y,, 9a, q pour 5= L OH u — n(L -\- t); puis, en les stibstituant dans les équations (3), on en conclura les constantes h cl /. Donc le module k des Fonctions elliptiques est aussi connu.
Mais les conditions pour *= L doivent aussi déterminer la constante T. En effet, la seconde équation («) donnera
