X.' âAv' P
et déterminera -..
Ainsi les équations {a) font maintenant connaître q, y,, q^ pour toute valeur de « ou de s.
La direction de l'axe fixe des s est donnée par rapport aux axes variables des x',y, z par les cosinus
(5) c,— sinSsiny n^ -y 17,, u, smi/tuoy — --^
Supposons que le commencement de la tige qui correspond à s = o soit fixe, la tige étant encastrée, et désignons para;^, r^, z'^ ce que deviennent les axes des x', y', z' en ce point. Pour obtenir la position de l'axe des z par rapport au système des axes des x'^, y\, z\, il faudra faire, dans les formules (5), s ^^o onu = ni. Donc, en indiquant par l'indice o les valeurs (a) de y,, q.^, q cl celles de Q et ç> pour « = nx, nous aurons
sine^sin?»^^- ('/,)„, sine,cos<p,--^ -^ (7,)„, cosôo— "^(?)o-
^0 est l'angle de l'axe des x^ avec la trace T du plan des ir', v^ sur celui des XY. Connaissant donc T, on obtiendra l'axe des = en menant une perpendiculaire à T, qui fasse l'angle 0, avec celui des z'^.
La direction de l'axe des x n'est pas encore déterminée; on l'obtiendra en choisissant la constante g.
Nous pouvons maintenant obtenir les équations de la courbe affectée par l'axe de la tige. Les cosinus des angles de la tangente à la courbe s
DKFOnX.VTtOXS DES TIGES M[>CES.
avec les axes des x, y. z sont a, h, c; nous avons d
dx . n . , dv . n . '
-r — sm9sinij(, -j- = — smflcostj/,
par suite, les coordonnées de la courbe s sont exp la variable ti par les formules
X — - / s'\a9s,\a-^du, /^ — ■ / sin^cosijx/H,
les intégrales étant prises depuis u = n-z, si l'on vf axes des x, y, z coïncide avec celle des cc\, y\, z\. Jacobi a donné des expressions élégantes des ( sammelte W'erke, t. U, p. 291); elles pourraient ê ce calcul.
14. Considérons ensuite le cas où, lesextrémil encore soUicitées que par. des couples, les momi section sont égaux, en sorte que l'on a
Alors, d'après la première équation (i),^ aura une donc la torsion - de la tige est constante, et, si nou
les deux dernières équations (1) deviendront
dq, dn^
on en tire
9i~ |3sinïi.î -I- y cosïii, 7, - (Scosmi —
^ e( Y étant deux constantes arbitraires. Si l'on dé:
i courbure de l'axe, on a (n" 5)
Les couples .i.,iib, S doivent avoir des valeurs données x', v)>', s' pour extrémité *= L de la tige, et, en appliquant les formules (4). on ohent ces trois équations
X' — — Ex*o(|3 siiiTiL ■+ ycosriL), VW-- EX*it((3cosï)L--)' sinrjL),
u moyen de ces trois équations, on pourra déterminer d'abord y), puis s deux constantes p et -j--
En prenant la direction de l'axe fixe des z comme il a été dit dans le is général, on déduit de l'équation
le l'angle de la tangente a la courbe avec l'axe des = est constant, et )n a
tégrons ensuite les équations
rfj" -ni ^y ai ^" a
-i- = sindsinil, -j- — — sinScosi, -;- — cos9, ds ^ ds ^ ds
ins lesquelles 6 csi ccnslzni, et nous aurons, pour les équations de lélice en laquelle l'axe de /«-.tige s'est changé.
- — r sine sinl
DÉFORMATIONS IIES TICES MrSCES. 1 .17
On pourra choisir les constantes x^, y„, 3„ de manière que a:,y, = oient nuls pour 5 — 0.
D'après la seconde formule (3), on a
Si la section de la tige est circulaire et de ravon R, on a K R
Flexion d'une tige dont t'axe est primitivement une courbe
15. Cherchons la flexion finie d'une tige dont l'axe est une liane. Nous supposons cette lige encastrée à l'extrémité i -- o . itée à l'autre extrémité s ~-= /par une force agissant dans le pli ourbe.
En un point M quelconque de la courbe, menons Ms' (Jig.
;ont à cette courbe, Mx' perpendiculaire à Ms' dans le pla ourbe, enfin My perpendiculaire à ce plan. Faisons ensuite C( c plan des sx des coordonnées fixes avec le plan des s'x'. L'extrémité s = o étant fixe, toute force perpendiculaire à I autre extrémité produit un couple dans chaque élément de la e couple est situé dans le plan des z'x'.
l58 CHAPITRE V.
Appliquons la troisième équation (f() du n'' 4, qui se réduira à
ds
A étant égal, pour^ — /, à la composante A' d'une force donnée. En remplaçant iPo par sa valeur (n® 9)
\\\^-'^Y.vJj - V\
où r, et Ti sont les rayons de courbure primitif et définitif de la courbe, nous avons
D'autre part, des équations (a) (n** 3), mises sous la forme du n^ 10, on déduit, pour les forces dirigées suivant les axes des x et z,
Aaj -h Crt H, Ac, -1- Ce ~ L,
H et L désignant deux constantes arbitraires. Désignons par t l'angle \Mx' de l'axe des x avec l'axe des af ; nous aurons
e?, - cos(j:, .r') -T cost, a— cos(5',j:) - sin?, c\ co%{zyx') r - sinr, c - - co^i z\z) — cost,
et ces deux équations deviennent
A C0S7 -1- Csinr — H, — \sinr - Ccost -L;
on en tire
A -- H cost — L sinT, C — H siuT -+- L cost.
Ainsi l'équation (c) devient
(H COST— LsinT).
ds \ /•, /', / ~~ E^V
Désignons par z' la valeur de i avant la déformation ; nous aurons
1 dr I d-:'
r, ds r\ ds
DË:F0RMAT10^S DES TIGES HINCES.
et l'équation précédente devient
t' étant une fonction connue de s.
Formons ensuite lescondilionsretativesauxextrémttés.La tige encastrée à rextrémité î = o, on a
