am I '' -I- G, A- ] , r ; a -l- a
puis, d'après les équations (c), un aura
X — — rsin(aç + st)rfj, z^~J cos(ay -t- ac)rfj, intégrales que l'on sait calculer au moyen des fonctions elliptiques.
DÈFORMATrONS DES TIGES MISCES. l6l
17. Jacques Bernoulli a résolu le premier le problème de la flexion d'une lame droite. Partageant la larac en filets parallèles à la longueur cl remarquant qu'une moitié des filets s'allonge, et l'autre contracte dans la flexion, il trouve que le moment de la forcf à ramener chaque élément de la lame à la forme droite, e tionnci à la courbure de la courbe de flexion. Il en conclut de cette courbe
Prenons l'axe desx vertical; supposons la lame droite prin borizontale et parallèle à l'axe des z ; supposons-la, de plus, à l'extrémité s — o, mise à l'origine des x, y, s, et désigi un poids suspendu à l'autre extrémité s = L. Nous aurons
dans l'équation (c), taisons r\ — ce, et nous aurons
Si l'on suppose la lame peu courbée, A == H cost peut être par H ou P, et. en intégrant, nous aurons
en posant
et remarquant que la courbure est nulle à l'extrémité de la
En remplaçant s par z, ce qui est permis d'après ie degré
mation adopté, on a l'équation obtenue par Jacques Bernoul
M. - Âiatt.
en intégrant de manière que -rr soit nul pour r = o, on a
et l'on en tire
Au reste, cette équation de Bernoulli peut encore se simplifier, puisque -T- a été supposé ti'ès petit. On peut donc remplacer l'équation (/) par
et l'on obtient
ce qui est conibriue a ce que nous avons trouvé {Chap. III, n" 21 ).
ÉffttiUhre d'élaslicilé d'une tige mince primilhemenl droite, lor^f/tie sa déformation est très petite.
18. Lorsque la déformation d'une tige mince est 1res petite, la reclierclie de son équilibre peut sembler se confondre entièrement avec le problème de de Saint- Venant, iîn elTet, dans ce problème, on étudie la déformation d'un cylindre, en supposant que les dimensions de sa base sont beaucoup plus petites que la longueur. C'est du moins dans ce cas seulement que l'on peut compter sur une grande approximation dans la solution ; car le système des forces et des couples appli- . qués effeclivement vers l'extrémité du cylindre ne serait rigoureusement équivalent à celui qu'on admet en tbéorie que si le corps était rigide.
Néanmoins, dans le problème actuel, le rapport des dimensions des hases à la longueur est supposé plus petit que dans le problème du Chapitre HI, et l'on ne recherche plus que la déformation de l'axe de la tige, ensuite, on ne néglige plus les forces extérieures qui peuvent solliciter le corps élastique.
hÊPOn MATIONS DES TIGF.S MISCKS. \6'i
Appliquons les formules (a) du n" 'i en prenant l'axe des z' suivant l'axe de la tige, et les axes des x' et des v' suivant les axes p de la section droite u. Les termes multipliés par - . — i - S( petits et négligeables, et les trois équations (a) deviendront
De même, les équations (^) ln"4] relatives aux couple; produits par l'élasticité se réduiront à
ds f/i fis
Si l'on désigne par X'rfro, Y'dts,7Jdm les composantes des térieures qui sollicitent l'élément de volume da, le volume ( base 7 et pour hauteur ds est sollicité par les trois composani
F ds r-ds( T di, F, ds - ds f\' da, F, ds - ds f Y
et, en remarquant que z est infiniment petit dans cet élémi lume, on voit que le même élément est sollicité par les mo couples
:fds^dsl\\'.v'-\!y')da, S^di -ds Ç'il y' d>}, :f,ds ■ -d On a ensuite (n° 8)
19. Prenons pour axes fixes desx,y, z des axes passant pai de la base de la tige, qui correspond à j = o, et faisons coïncida avec les axes des ce' , y', =', qui passent par ce point avant la tion. La déformation étant très petite, l'axe variable des z' fei un très petit angle avec l'axe des z, et l'on pourra remplace vées par rapport à z' et par rapport à s par des dérivées par ra On voit encore facilement qu'on pourra remplacer les dépi u', v' ,w' qui ont lieu par rapport aux axes des.r', v', s' par lei
l64 <;ilAPITRR V.
menls u, v, ivpris par rapport aux axes des a-, y, z. Enfin, les forces F,, Fî, F et les couples 5,, .f,, ^ peuvent être supposés pris par rapport aux axes fixes des œ, y, z, et nous les remplacerons respectivement par U, V, W et 0,1?, iJP.
D'après cela, les deux dernières équations (2) deviennent
Si nous intégrons les deux dernières équations (i). nous aurons A^-\'^ f LVv. lir^^ l{'-^ f Vd%
L étant la longueur de la tige et A', B' étant les valeurs données de A et de B à l'extrémité j— L.
DilTéren lions les équations (^) pai' rapport à z, et nous obtiendrons ces deux équations semblables.
Il faut ensuite former les conditions aux limites pour cbaque extrémité de la tige.
Faisons s = L dans les équations (i) et désignons par 'o', tp' les valeurs données de et 1? pour 3 = L, et nous aurons d'abord ces deux conditions
S'il n'existe qu'une force (A', B', C) appliquée a l'extrémité j — L, les couples .1. et iiî. sont nuls, et l'on a
DÉKOnMATIOSS l>F,R TICF.S MISCES. l(î5
Mais si un levier rigide agit sur cette extrémité de la tige, la Force qui est appliquée à rextrémitc du levier peut être remplacée par une force appliquée à l'exlrémiEé de la tige et par un couple. Désignons pa" ' ' e', e' les composantes de l'axe de ce couple par rapport aux axe X, y, z, nous aurons, au lieu des conditions (7), les suivantes :
Supposons aussi qu'on écrive les conditions relatives à l'autre t mifé 5 = D, par exemple celles de la fixité et de l'encastrement e mées par
.alors on aura toutes les conditions suffisantes pour déterminer plètement les déplacements u et v. Remarquons que ces déplacer seront fournis par des équations entièrement distinctes.
20. Cas où !a force C est très grande. — Si la force C est très grj il faudra tenir compte, dans les deux dernières équations (1), de termes multipliés par C, que nous y avons négligés comme trèsp Au lieu de partir des équations (se), partons des équations (A) du nous en tirerons, en négligeant des quantités très petites,
(9) k-^Car:^-.- f i]ds, It i-C/y--T:H'-H^ V rf.î, C — T-^f
les quantités H, H', T étant des constantes.
■ Nous avons ensuite (n" 3)
«--cos(=',..).^J, » = cos(=„,) = | ou
c étant très grand, par hypothèse, a pour valeur approchée la
I IIHAI-ITRE V.
nte T, et nou» déduirons des équatiuns (() )
sons s --- L dans ces deux équations, et nous aurons ces deux conions
I déterminent les deux constantes H et H'.
3'après les équations (2). on a
en difl'érentiant ces deux équations par rapport à i ou :;, un ob-
Les équations (11) détermineront les expressions générales de u et Les conditions (6), (7') et (8) détermineront les constantes inlroites par l'intégration si l'extrémité 5 — o est encastrée.
21. Occupons-nous ensuite de la torsion de la tige. D'après la Iroime formule (3), on a, pour le moment de torsion.
d'après la première équation (2), i'angle de torsion u est donné par
DKFORM.VTIÔSS DKS TlUtS »II\CES. 167
l'écuiation
v° csf une quantilé qui varie avec la l'orme du contour de la s( ^no8).
La condition relative à l'extrémité = — /sera
et u sera nul h l'autre extrémité si elle est encastrée.
22. Calculons entin la dilatation longitudinale. D'après la troi: équation iç)), on a
,, ttC ...
Or, d'après la formule de la dilatation longitudinale d'une lige et. par suite, l'équation précédente devient
ils' En l'aisanl z — /dans (i 3), on a cette condition à l'cxlrémité
T étant ht Ibrce appliquée ii cette extrémité dans la direction de h
Vihiattons /ransversa/cs, longitudinales cl tournantes tics tiges <L
23. Il surtit d'introduire la force d'inertie dans les équatio l'équilibre d'étasticilé d'une tige droite pour avoir les équatio
l68 CHAPITRE V.
son mouvement vibratoire, et ces secondes équations auront le même degré d'approximation que les pi:emières.
Ainsi, pour avoir les équations du mouvement transversal, en désignant par D la densité de la tige, nous remplacerons, dans les équations (il), U et V par
ClfJ
ou, plus simplement, par
U et r se rapportant alors a Taxe de la tige.
Les forces extérieures, qui se réduisent ordinairement à la pesanteur, peuvent être supposées avoir des moments nuls; donc il suffira de remplacer X!) et t? par
ainsi qu'il résulte des expressions de .f^, rf^ (n" 18). On voit facilement que ces termes sont négligeables. On a donc, pour les équations du mouvement transversal,
Si les forces extérieures sont négligeables et si la tension T n'est pas très grande, les équations du mouvement transversal se réduiront h
d'v Ex* d'^i' d'ii EÀ- d'ii
cit^ ~ h dz^ dt^ D dz*
Si l'extrémité z --h est libre et n'est sollicitée par aucune force, nous aurons, d'après les équations (6), ces conditions aux limites
