DÉFORMATIONS DES TIGES MINCES

auxquelles nous joindrons les conditions (7 )

m^^- (SX-

De même, d'api'ès le n° 22, on obtieni, pour le mouvcmeni dinal de la tige, l'équation

et l'on aura pour condition à une extrémité libre

24. Rnfin occupons-nous des vibrations tournantes. Il fau dans l'équation (12) du n° 21,

Désignons par -■{' l'angle 1res petit de rotation autour de l'a: nous aurons

« = -+/. ^' = ']>^ et, par suite,

iNous obtenons ainsi, pour l'équation générale des vibrati Hantes,

A une extrémité libre on aura pour condition

ds ~°* et à une extrémité fixe

Lorsque la section 3- est une ellipse, dont les demi-axes so

M. - flatl.

170 CHAPITRE V. — DÉFOIIM,1TIONS DES TIGES MmCES.

on a (Chap. III, n" 18)

ainsi l'équation (p) devient

et, si la section est circulaire.

On peut remarquer que les vibrations tournantes sont assujetties à une équation et à des conditions aux limites, toutes semblables à celles qui déterminent les vibrations longitudinales.

Dans le cas où la tige est circulaire, le mouvement vibratoire tournant de la tige, qui s'cfTectue sans changement de densité, ne devrait pas agiter l'air. Cependant un son est ordinairement entendu, comme l'a constaté Chladni, et il faut attribuer ce fait à une perturbation, d'après laquelle les points de la lige ne décrivent pas exactement des arcs de cercle autour d'un axe (ixe.

Dans le Chapitre VII, nous nous occuperons de l'intégration des équations précédentes; mais nous reviendrons aussi sur la détermination de ces équations diirércntielles.

La théorie de l'équilibre et du mouvement vibratoire des p minces, homogènes, planes et d'épaisseur constante, a été trai goureusement, pour la première fois, par Poisson {Mémoires de demie des Sciences, t. VIII, 182g). Mais, en parlant, comme Kin de l'expression du travail des forces élastiques provenant de la mation d'une plaque, on simplifie beaucoup cette théorie.

Expression du travail des forces élastiques dans une plaque p

{. La plaque homogène est comprise entre deux plans par très rapprochés et terminée par un bord cylindrique normal deux plans. Nous prendrons potir plan des x, y le plan moyen d plaque, en sorte que les deux faces de la plaque auront pour lions

Ecrivons ainsi les expressions des forces élastiques

en posant

N,= (J + afi)l)+XJ, + )iJ,.

N. = »J-l-XJ, + (). + ti|»)>,.

T.= Cff.

du , * rfjr' '■ dy'

rfiv

It dw dw du U'^ dy' *'' -'dx* d^'

du l^'^-Jy

172 CHAPITRE Vr.

Les forces élastiques N3, Ta, T, agissent sur chaque élément de surface perpendiculaire à Taxe des z suivant les axes des g, des x et des j, et, comme on supposera que la plaque n'est sollicitée que sur son bord par des pressions ou tensions venant de Textérieur, ces trois forces sont nulles sur les deux faces de la plaque.

Développons suivant les puissances de z les quantités suivantes

Ni= i^l»o-»- -'^1'^ "+- <^ï ^ •••> Nj=:^ lli>o4-^î>i'S -1". . ., Nj=: So+ ^1^^-..-.

W n- /^Q-f- ^^,;; -h //j — +. . ., (. ^ (»^ | j;^ s -| . . . ^ (^p; — ( Vq -h tV, 5 -h . . . ,

^ diiQ dut du* 5* ^ dv^ dvx n rr

en faisant dans g^

ÏT — ^ i- ^ U - — -4~ — ' u - — -i- — -

° dy dx ' * ^ K dx * <^/r ^j™

Les quantités £/o> ^o> ^'o sont les valeurs des déplacements w, k\ w pour la surface moyenne de la plaque et ce sont les quantités que nous chercherons à déterminer.

2. D'après ce que nous avons vu (Chap. II, n^ 6), le travail des forces élastiques qui s'exercent dans la plaque a pour expression

où l'intégrale triple s'étend à tout le volume de la plaque.

D'après ce que nous venons de dire, T, est nul sur les deux faces -s = =b e; si donc on pose, en développant T<,

T,— To-hTi« "i-T,- -4-...,

on aura

To-+ Tj- — O, T,4-T3:7 =0,

ËQtlILiBRE KT MOUVEMENT VIBRATOIRE OES CLAQI^ES ET MEMBRANES PLANES. 173

si l'on néglige les termes d'ordre supérieur à e^; on a donc

qui est de l'ordre de £*. La même chose a lieu pour 1^; donc ans; et g, sont du même ordre, et l'on peut négliger leurs carrés d l'expression de ?'.

Nj est aussi nul sur tes deux faces s = -t t; on en conclut

>i> + ^^i -(-(>. -t- 2/x)i>,- - O pour zr-±i,

et il en résulte, comme ci-dessus, qu'on peut poser

oii le dernier terme est de l'ordre s^.

Supprimant donc g et g, dans iy et remplaçant 5^ par la demi expression, puis négligeant seulement les termes de l'ordre e', on tiendra

En remplaçant i, ^, et g^ par leurs développements, nous pourn mettre J sous la forme suivante

en posant

aUdu^Y /dvAn ^du^di'„ i ,,,

^du^ du, rfi', di'jl . / diia dv, ^ tliiy dvA ., .. '" ""[rfF dl ~^ ri^ dy\ "^ '\ii^ ^ "'"rfj" rfr/"* ° "

r/rfHA> /rfi'A'"] , rf"i rf", „i

(/«o rf«i dv^ rfr,\ /'/«o rfi", rfco rf«,

rfj; rf.r dy dy j \<

djc (ly ' (/)■ djc } ' " '■

Emploi des conditions relatives aux faces de la plaque, 3. Sur les deux plans 5 — Jb £ qui terminent la plaque, on a

{a) Ns^^o, T, = o, T,^o.

Les deux dernières équations peuvent s'écrire

5* dW(. dw* dw* 5*

dwo dw* 5*

--1 h -T- 5 -h ... -h Wt -h UfZ H- Mj h ... — O

pour s = =h e, et l'on en conclut

dwo dwi

' dwQ dw*

en négligeant dans ces équations des termes en £*, ce qui est permis; car elles servent à calculer des quantités qui sont elles-mêmes multipliées par £* dans l'expression de J'et dans les équations de l'équilibre d'élasticité de la plaque.

Ensuite la première équation (a), prise aux deux faces de la plaque, donnera de même

En ayant égard à la première de ces deux équations, les équations (b) deviendront

dw^ dwo

' 2\dxdy dy j' * >2.\dx* dxdy)

Equation du principe des vitesses virtuelles.

4. Désignons par X, Y, Z les composantes de la résultante des forces extérieures en chaque point et par unité de volume et par E, F, G les trois composantes des forces élastiques qui agissent sur bord, estimées par unité de surface. Soient aussi d<û un élétnt de la surface cylindrique qui forme le bord et ds un élément du ce tour de Ia base du cylindre, nous aurons

</w r= ds dz,

et nous obtiendrons, pour l'équation du principe des vitesses v tuelles(Chap. 1, n" 20)

( or^a^+ ff(\\5u-^YSi' + Z6'.v)dxdyds (A) -'-^-^

-i- Jj(?.èu->^Vàv^C,Siv)d<ù.

En effectuant dans l'expression de ê l'intégration par rapport à de -— eà -i- £, on a

Ensuite, si l'on pose

X = X.-i-X,s-i-X,?'+ ... V--=Y, + Y,3 + .... Z^Z„+Zi3-^.. on aura de même

J'ffiTidu + YÔi' + Z3^)dj;dj'ds

r=2ïyy(Xoa«„-)- Yoôt',-hZo5.i'„)rf^af/

+ Ç fj\^'^i O^i + X, ô«o+ X„ Ô«H- . ■ ■ ) djr dy. Kniin, en posant encore

nous aurons

ff(^ au f- F ar -+- G âwO dz ds

-f- -2 J^ (2EiôW|H-E2(îwoH-Eo<îwj-+-. ..)ds.

En général, on pourra réduire X, Y, Z, E, F, G à leur premier terme et, par suite, supprimer dans les deux formules précédentes les parties multipliées par e'.

D'après les deux premières formules (c), on peut poser

en faisant

^'— a (^ -^^ -+- ^ ^-*A 4- b (— ^ 4- ^ ^\ -I- U U • \ djc dx dy dy ) \ dx dy ~^ dy dx ) ** * '

la fonction H ne dépend que de w^ et la fonction H' ne dépend, comme ^o» q^^ de Wo et i'o, ainsi qu'il résulte des expressions de u^ et de ^2, données par les formules (c).

5. Kirchhoff et Clebsch ne tiennent compte, dans les dilatations et les glissements et, par suite, dans les forces élastiques, que des termes indépendants de z et des termes dépendants de la première puissance de z. Il s'ensuit qu'ils n'obtiennent pas H'; mais il est absolument indispensable de calculer H', afin de pouvoir reconnaître ensuite qu'il est en général négligeable.

On voit que w^ entre dans S^ par la quantité âH et nullement par les quantités SH' et S^o, qui ne contiennent que u^ et v^. Il en résulte que w sera donné par une équation et des conditions aux limites qui ne renfermeront pas u^^ et ^o-

D'autre part, les équations en u et v seront formées au moyen de ^^ et de H'e^; mais les termes provenant de ^M î} seront en général négligeables devant les termes provenant de 5^. Nous réduirons donc ^^2 a H.

Ainsi nous ferons, en supprimant maintenant l'indice o de iv,

{ePw d'^è-.v d*u-

/d*\V rfl^M' d*iV

"^ ^ Wj' dx^ "*■ dx^

et, si nous posons

nous aurons

' (/./■ «y rfx rf »-

Calcul (lu déplacement transversal de la plaque.

6. Occupons-nous des ternies qui dépendent de Zw dans l'équ du principe des vitesses virtuelles et qui doivent servir à déteri le.déplaccnient transversal (vde la surface moj'enne de la plaqu Commençons par rappeler deux formules dont nous aurons b( L'origine des coordonnées étant supposée à l'intérieur de la coi qui limite la base du contour, désignons par n la normale extéi et par s l'arc compté à partir d'un point tixe dans le sens indiqué flèche, ou de Oy vers Ox (/ig. H). Désignons aussi par ^ l'anj

la normale « avec l'axe àesx. Alors, si /représente une fonction conque des coordonnées x, y d'un point, et si nous suppose

point situé sur le contour, nous aurons

df df . df

^ — :7- sin 9 — -^ C0S9,

«.V a.r av

df df df /

-%• - - -r- ces 9 -T- -7- sin 9 ct/i dx ^ ay ^

et, par suite,

, , df df . df

,;, df df df .

{h) -f- ^^ ~-cos9 -i- -.- sin9.

dv ds ^ dn ^

Nous allons ensuite transformer par l'intégration par parties l'intégrale

(B) j joh.çi.dy..j J I^P^,^ -^Q-^---^S^^^

7. L'élément rf^ étant regardé comme positif, nous avons, si /et 'j» désignent deux fonctions de œ, y,

formules où les intégrales doubles se rapportent à la surface renfermée dans le contour s et où les intégrales simples sont prises le long de ce contour.

En appliquant deux fois la formule (c), nous aurons

En nous servant de la formule («), nous avons

I P COS9 -7 — ds ----- j F cos'9 —. — ds -^- I P sm9 cos© —-7— ds.

Ensuite, la courbe s étant fermée, la dernière intégrale devient, par

ÉQUILIBRE ET MOCVEMEST VIBRATOIRE DES PLAQCES ET MEMBRANES PLANES. I 79

l'intégration par parties,

— / -r-fPsiriçcos^) lîivrf.î.

Donc on a enfin

Ensuite, en appliquant deux fois la formule (d), on a

appliquant la formule (h) et intégrant par rapport à s, on obtiei Qsmç-^— as-- I Qsin*<s—7—as -h f -j- (Qsino cosrf) oi\-ds. On a donc

En intégrant par parties d'abord par rapport à a-, ensuite pj port à r, on a

r r cp»- d^iw , , appliquons la formule (b). et nous aurons

[jjd.rdrd.rd/-''^'-

,..., ' /■'''"■ ■ rfo»' rd { dUv \,

I r *''"'■ ^ ^ ce *''"* i / ^

J dj.' dy ^ J J dx* rf)-'

l8o CHAPITRE VI.

Pour que l'expression de Tinlégrale du premier membre se présente sous une forme plus symétrique, renversons Tordre des deux intégrations; intégrons d'abord par rapport ky, ensuite par rapport à .r, et nous aurons la formule suivante que nous ajouterons à la précédente

ax ay

dx dy dx dy /i^rx ' r^*(r . dèw, rd [ dUv . , \. ,

■ -. Cm^ '''^ ^ ^" ^'^ -^. ffdPdy- ^''^ ^'-^ "^'^

iNous obtiendrons l'intégrale ( B) en ajoutant les formules (I), (II) et quatre fois les intégrales HII) et OV).

8. Si nous substituons ensuite la valeur de l'intégrale (B) dans l'équation (A) du principe des vitesses virtuelles et si nous égalons à zéro le coefficient de Iw sous le signe double d'intégration, nous aurons

3 \dx^'^ dy'' ~^ dxûîy^J

ô \ax* ay* ax'ciyj

OU

c'est l'équation qui régit le déplacement iv d'un point quelconque de la surface moyenne de la plaque, dans l'équilibre d'élasticité de cette plaque.

Cherchons ensuite les conditions relatives au contour.

Dans l'équation (A), parmi les termes soumis à l'intégration par

rapport à^, ceux qui sont multipliés par -r-^ et ceux qui le sont par ow doivent s'annuler séparément.

Les termes multipliés par —r^ donneront

d*{v P cos*(p -f- Qsin'cp -i- 8 -y — ,- sinçcosç — o

ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQl'ES ET MEMBRANES PLANES. I 8l

OU, en remplaçant P et Q par leurs valeurs et a par b -+- 2,

c'est la première condition au contour.

Egalons ensuite à zéro le coeffîcient de ow sous le signe d'intégration par rapport à s, et nous aurons

u { -7— C0S9 4- -r (" sinocoso) h — 7- sino 7- 1 Q snio cosq>)

o ( djc ^ ds ^ ^ dy ^ ds ^ ^

'-^d^ûry'''''^^-'d-7dy''''''^^'ds[^^

-\- 2ÊG=rO

OU

-r-^ 4- 3 — -— ) coscp h ai , ^ ^ ! smo>.

dx^ dxdy^l ^ \dx- dy cty^ ) ')

Les conditions au contour (a) et (^) sont exactement celles qui ont été données par Kirchhoff (30'*^ VorlesungûhermathematischePhysik), Si la plaque était encastrée le long de son bord, le plan tangent ne changerait pas le long de ce bord; on aurait donc ces conditions sur le contour

et les termes, qui ont donné les conditions (a) et(P), s'annuleraient

dw du

par les facteurs hv et 5;%- •

Calcul du déplacement longitudinal dans la plaque, 9. Calculons j'JZ^^^dxdy. Si nous posons

du , dv dv , du .,

a -j — H 6 -7- 1= L, a-j — h 6? -5- = M, dx dy dy dx

nous avons

*o r dhu ^.ddv ,, /ddu dSv\

t82 chapitre VI.

et, en intégrant par parties, on obtient

J'fdfy^ dx df .^nLconc^ -f- UoSin9) duds -h f{}l[s\n(p 4- UoCOSç) dv ds

On déduit donc de Téquation (A) du principe des vitesses virtuelles, pour les déplacements longitudinaux w, r d'un point de la surface moyenne de la plaque, les deux équations

fdL d[]\ ^

fdM dV\ ^ ^[-dy-^dj)^'^--'

/ d'u d'il ,, , du- \ -,

f'y'dr^-'-dy-^^''-^'^dJd})-^^-=°'

/ rf»i' du- ,, , d*u \

En égalant ensuite à zéro les coefticients de Bu et de èv sous le signe d'intégration par rapport à ;, on a ces conditions aux limites

Dans le cas où la plaque ne sera sollicitée que sur son contour par une tension partout la même, parallèle à la plaque et normale au contour, on devra poser