X --- o, Y — o, E A cos 9, F r A sin

A étant la tension constante, et Ton satisfera aux deux équations (/) et aux deux conditions (m) par des expressions de la forme

OÙ k est constant.

KQUfLlBRE ET MOUVEMENT \ieHATOIRK DES PLAQUES ET MEMBRANES PLASES. I O.l

Si la (jlaqtic it un mouvemcn( vibratoire longitudinal au lieu d'être en équilibre, on aura simplement à remplacer, dans les équations (/). X et V par

Forme di's conditions attjc limites du mouvement Iransiersal.

iO. Les conditions (a) el (fl) [n" 8| sont écrites sous une forme assez compliquée. Nous allons les mettre sous une forme très simple et très élégante.

L'élément dn de normale peut être délini ainsi. Concevons que le contour j fasse partie d'un système de lignes données par une même équation renfermant un paramètre variable; puis menons à ces lignes des trajectoires orthogonales; nous supposerons que dn appartienne à une de ces trajectoires. Si nous prenons, pour le premier svstème de courbes, des courbes parallèles, dn sera rectiligne.

D'après ce que nous avons démontré (Théorie du l'olenliel, Cbap. IV, n" 16), nous avons

et aussi, en posant -j-, -h -^^ ^ Am',

--— -cos'o -i- a -3 — .— smEpco:iip -j. — r^sin'o dx' ■ djcdy ^ ^ dy' ^

. ds div df

ds dn ds

Enfin, en ayant égard à la formule

^ COSÇH-

l84 CHAPITRE VI.

on met les conditions (a) et (^) sous la forme suivante :

a . ds dw do

a d Aw d l ds dw d<^

2 dn ~ ds\ du dn dn J i\iJi^

La seconde condition peut encore être simplifiée, en prenant Télémenton rectiligne, c'est-à-dire en prenant des courbes parallèles pour la famille de courbes à la(|uelle la ligne s appartient. En effet, on a alors

ce qui simplifie cette condition.

Cependant, si l'on se propose de mettre en coordonnées curvilignes les équations du mouvement transversal, il ne faudra pas poser l'équation (S), et les formules (y) seront entièrement préparées pour faire la transformation en coordonnées curvilignes.

Mouvement tnbratoirc des plaques,

1 1. Occupons-nous ensuite des équations du mouvement vibratoire des plaques. Si l'on désigne par p la densité de la plaque et qu'on pose

il suffira de faire

r, dUv

^'—^-dF

dans l'équation (C) du n*' 8, pour obtenir l'équation qui régit le déplacement transversal de la surface moyenne, et l'on aura

dt^

ÉOCILCBRE ET MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. I 85

Les plaques qu'on fait vibrer ont, en général, leur bord libre, et nous ferons G = o dans la condition (p) du contour. Considérons deux solutions simples

.c^:CsinPK

.v' = {'sin;"

nous aurons ces deux équations

(i) AiC^^'ï.

iK' ■ l'",\

et ces conditions aux limites

dn ds'

ds dZ dv

1 dn ds \ du dn dn

auxquelles Xj satisfait également.

La solution la plus générale est la somme d'une infinité de solutions simples, dont on peut déterminer les coefficients par les conditions initiales, c'est-à-dire si Ton connaît les déplacements des points de la surface moyenne de la plaque, ainsi que leur vitesse, à l'instant initial. Pour cela, on emploiera un procédé connu, en se servant de la formule que nous allons démontrer

(3) /K'rfwz^o.

OÙ dm est un élément quelconque de la surface moyenne. 12. On a (Théorie du Potentiel, Chap. III, n" 17)

Posons

l8(> CHAPITRE VI.

et, d'après les équations (i), la formule précédente deviendra

(Z'*-/*)y'çr^a)-:i-T-j.

D'après la première condition (2) appliquée à !^ et X,\ on a

a^y \ ds dn ds dn

intégrons par parties, en remarquant que, la courbe 5 étant fermée, la quantité qui sort du signe d'intégration est nulle, et nous aurons

1 j { d^ dn d^' dn .

a. ' ^ ds ds ^s ds

Posons

ds d^ ^9 dn dZ d(p

dn dn dn "^ ds ds ds

et désignons par L' la même expression dans laquelle t est changé enJ:'.

En nous servant de la première expression de L et de la seconde condition (2), nous aurons

et, en intégrant par parties,

-if{-§-<-ih'

remplaçons ensuite L et L'par leur seconde expression, et nous aurons

2/1 dn dZ dn dtj .

a ^ \ ds ds ds ds

I est donc égal à J et de signe contraire, et la formule (3) est démontrée.

KQCtr.lBRF. RT MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PUNF.S. I 87

Si ta plaque est encastrée sur son bord, on a, sur le bord, les condi-

tions

~^ ' ~ ' dn ~ ' (in ~

par suite,

donc I et J sont nuls séparément, et l'on a encore l'équation (3).

Equations de condition données sur le bord de la plaque par Poisson cl Cauchy.

13. Poisson a donné le premier une véritable théorie de l'équilibre d'élasticité et du mouvement vibratoire des plaques. Cauchy a ensuite repris la même question et a trouvé des équations identiques à celles de Poisson, du moins dans le cas où le bord n'est sollicité par aucun couple. Ils ontainsi trouvé trois conditions aux limites auxquelles doit satisfaire le déplacement transversal w, tandis que la fonction w ne pourrait satisfaire à autant de conditions et que ces conditions doivent se réduire aux deux obtenues par Kirchhoff. Nous allons montrer comment on doit modifier l'analyse de ces deux grands géomètres.

La solution de Cauchy s'éloignant le plus de la vraie solution, commençons par celle-ci qui se présente aussi plus simplement.

Désignons par E, F, G les composantes de la force exercée sur le bord et estimée par unité de surface, en la supposant la même sur toute ta longueur de la génératrice du cylindre qui forme le bord. Cauchy, sans avoir égard à la minceur de la plaque, exprime que cette force est, en chaque point du contour, égale à la force élastique exercée en ce point. On a ainsi, sur ce contour,

I Ni cosç -i-Tjsinç —E,

(0 ■ T,cosç f-NiSin^. — F,

( T.cosç i-T|Sin? -(î.

Adoptons les notations et les résultats obtenus aux n°' 1-3. lîgalons à zéro le terme indépendant de s et le terme multiplié par la première

et, par

suite.

dx

dv

point situé sur le contour, nous aurons

df df . df

-7- -7- sin 9 — ~ C0S9,

ds dx dv

df df df .'

-;- - -y- C0S9 ~\- -j- sin 9 dn dx ^ dy ^

df . df

-j-sin9 -t- -;-cos9,

du ^ dn ^

df df .

__.^eos9H-^-sm9.

Nous allons ensuite transformer par l'intégration par parties l'intégrale

(B) jjo^j,dxdy..jj(V^^,--^Q--^-,--^%^^^-^^

7. L'élément r/y étant regardé comme positif, nous avons, si /et ']^ désignent deux fonctions de ^, j,

id) ff^%dxdf=f^f,\nc^ds--fff^^dxdf,

formules où les intégrales doubles se rapportent à la surface renfermée dans le contour s et où les intégrales simples sont prises le long de ce contour.

En appliquant deux fois la formule (c), nous aurons

En nous servant de la formule (a), nous avons

/ PCOS9 —^ — ds I Pcos'9 -. - ds -h I P sm9C0S9 —1— ds.

Ensuite, la courbe s étant fermée, la dernière intégrale devient, par

ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. I 89

se confondent avec les deux conditions au contour du mouvement longitudinal (n°9).

On obtient ensuite, pour les équations (3) après les avoir divisées par -- [X,

(5) (^a-^-,-^6-^^-,jcos9-i-2^^^-smcp.^o,

Enfin, en supprimant les termes en X, et Y,, comme nous avons déjà fait, nous obtenons, pour Téquation (\),

Les équations au contour {i), (G) et (7) sont celles qui ont été données par Cauchy, et Ton en peut déduire les deux conditions données par Kirchhoff, dans le cas où G est nul.

14. Pour adopter ensuite le raisonnement de Poisson, nous allons examiner les forces qui se trouvent sur le contour et les moments qu'elles produisent. Considérons d'abord la force élastique totale qui a lieu sur tout l'élément Q.tdsd\x contour, compris entre deux génératrices distantes de ds. Les composantes de cette force suivant les axes desa?etdes j doivent être égales 'd2iEdsei iiY ds. Ainsi nous posons les deux équations

(N, C0S9 -4- T3 sin9) dz — 2eE, 1 (.T, COS9 ->- Nj sin9) dz -— acF,

et nous en concluons de nouveau les deux équations ( 2 ).

Désignons par .x, j les composantes suivant les x et j de la force élastique en chaque point de l'élément du contour 2ids; nous aurons, pour la composante normale k l'élément ds,

-V-COS9 -t-3'sîn9.

Exprimons que la somme des moments de ces forces par rapport à la

tangente au contour de la surface moyenne est égale sur Vé\émeni'2tds à un moment donné ttds. Nous aurons ainsi

y\'.X-C0S9 -h ^ sino)zdz —H

ou, en développant .v. et ff suivant les puissances de ::,

ou encore

-7. (A^, coso 4- 5'i sin©) -~ H.

Or on a

/ d^iv , d^ir\ d^iv

Donc Téquation précédente devient

c'est la condition (a) trouvée au n'' 8, lorsque H est nul. Elle résulte alors aussi d'une combinaison des équations (^5) et (6).

15. La force élastique dirigée suivant Taxe des :; et qui s'exerce sur l'élément itds Am contour a pour expression

V ds ds I (Tscoscp -f- T, sin9)û^.-,

et l'on a

V ~\i I ( t'o + 7\ z ~h Tj — j COS9 -h f To -h Ti :; 4- r, — j sin9 dz

= M f 2£To-t-TjyjcOS9 -f- f2£To+T2 .A sio 9 .

Or on a

ÉQIILIBRE ET M0l'VE3IENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. I() I

l'expression de P devient donc

P:. -iiuUr:

^|jl£'(Tj COS9 -t T, sin9)

Cherchons ensuite le moment de torsion M ds qui a lieu autour d'une normale à la section moyenne et qui provient des forces qui s'exercent sur l'élément mds.

La composante tangentielle de la force élastique pour toule valeur

de z- est

— /TCOS9 - ^. siii9;

on a donc

M^ — / [(-!ToH- -Ji:?) COS9 (A-o4- -X'iZ) s\n(^]zdz

as'

— ;j- (-T, COS9 - -\-, sinip)

^-, - 77^js'«?^os?-5:ir^/sm«9--cos'9)

Le couple Mds résultant de forces tangentielles peut être remplacé par un couple formé de deux forces qui sont normales à la surface moyenne de la plaque et qui agissent aux extrémités du bras de levier ds. Ces deux forces au commencement et k l'extrémité de^^ seront M et — M ; sur l'élément ds qui suit, ces deux forces seront remplacées

par M -h -^'ds et — M - ~J~^^' I^^'^^» au point de séparation des deux éléments ds, on a les deux forces M et M -î —.-ds, qui se réunissent

en la lorce -7- as.

ds

Donc, en définitive, l'élément 28^^ peut être considéré comme sollicité suivant l'axe des z par la force

V ds \- -,~ds:

ds

si, tout le long du contour, on applique une force 2G£ parallèle k l'axe

des z, on aura donc l'équation

as

et, en remplaçant P et M par leurs valeurs, on obtient

d r/(fuv rf«(T\ . d'if , . . . c\

/rf'ii- d'iv \ ( rf'iv d^w\ . 3(;

C'est exactemenl l'équation (^p) du n*^ 8. Poisson exprimait séparément l'égalité de P à G et l'égalité de M à zéro ou à un couple donné. La démonstration, qui précède, de l'équation (9) a été donnée par M. Boussinesq.

Remarquons ici les conditions aux limites à adopter si la plaque est simplement appuyée sur le bord, en sorte qu'elle puisse tourner librement autour de la ligne médiane du contour. Alors, pour l'équilibre, le moment autour de la tangente à cette ligne doit être nul; on a donc pour conditions au contour fv = o et la condition (8) dans laquelle H est nul.

On doit remarquer que, dans ce cas encore, on peut appliquer l'équation (3) du n'' 11.

Équilibre d élasticité et mouvement vibratoire d'une membrane.

16. La membrane est supposée extrêmement mince et parfaitement flexible, en sorte qu'elle n'a pas de forme déterminée à l'état naturel et qu'elle n'acquiert l'élasticité que par suite des tensions qu'on v applique. Nous supposerons en outre cette membrane homogène, d'épaisseur constante, rendue plane et fixée sur tous les points de son bord. Toutes les conditions précédentes peuvent être réalisées par des feuilles de papier mince.

Dans la déformation d'une plaque, on a tenu compte de son épaisseur et, bien qu'on ait regardé cette épaisseur comme très petite par rapport aux autres dimensions de la plaque, on a eu égard à la varia-

ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT VIBKATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLVNES. I qS

tien des forces élastiques dans l'épaisseur de la plaque. Dans la membrane, l'épaisseur est considérée comme incomparablement plus petite que les déplacements des points de la membrane. Il n'y a donc plus lieu de développer les forces élastiques suivant les puissances de la distance à la surface movenne, et ces forces seront considérées comme invariables dans toute l'épaisseur.

On peut encore employer, pour le travail qui s'opère dans la membrane, la formule adoptée pour les plaques

-l'-fffl^" ! ^î^^'-^i^-'-^i.-î+}-^?+^(^^ + ^ + ^0

dxdv dzn

oii chaque élément de l'intégrale indique le travail dans l'élément correspondant dxdydz de la membrane. Mais maintenant, dans cette formule, il faut considérer les six quantités ^ et ^ comme des déformations qui ont lieu dans la surface moyenne de cet élément de membrane et perpendiculairement à cette surface.

Les forces élastiques N^, T^, T, sont encore nulles, comme pour les plaques, aux deux surfaces (et, par suite, même nulles dans toute l'épaisseur). On en conclut, comme pour les plaques, que cf peut être mis sous la forme suivante (n*^ 2)

.? ^ - IX ^yy 1^? (.^î H- ^ J ) 4- h ^\ + \ ^n^«1 dx dy dz,

et, dans le cas actuel, cette expression peut être remplacée par

i - p.£ / 7 * [a (,V 4- ,v ) ,.^h c\\ 4- g\ ] dx dy,

^» ^<» g2 étant des déformations produites dans une surface devenue légèrement courbe.

d7. Mettons le plan des xy dans le plan moyen de la membrane et, par un point M quelconque de cette surface après la déformation, menons des parallèles MA, MB, MC aux axes des .r, y, :; (fig. 9).

Par la déformation, la ligne très petite MA = / sera entièrement déplacée et, en ramenant l'extrémité M a sa place primitive, sans

M. — Èlast, 25

194 CHAPITRK VI.

changer la nouvelle direction de la droite, MA viendra en MA'; MA' a la direction de la trace du plan tangent sur le plan desxz. Donc, en

abaissant A'D perpendiculaire sur MA, on a

dx dx

par suite,

«*■- Vi- »)■- (£)'

et, comme . , est en gênerai très petit par rapport a ^-) on a

Mv /[■-, ^^-, '('r;-

L dv '?. \ dx

On a aussi

il en résulte

MA' /(iH-c>);

du I f d\v\

(tu I / uw y

on a de même

. . . dv I fdwY

Calculons ensuite g.2. La quantité ^^o représente le décroissement de rangleAMB(Chap. I, n*' 14). Soit A'MB'ceque devient cet angle par la déformation. Les projections de MA' sur les axes de coordonnées sont

du\ , dv , div ,

ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. IqS

et celles de MB' sont

d{> \ , dw ,

On a donc

du dv dw div

/A/nvnr / 77 \ dv dar dx dy

cos( A'M B ; . cos ( - - ,'.j ^- -^ ^- ^^; .

dx / V dv /

le dénominateur peut être réduit à l'unité, et Ton obtient

fo\ du dv dsv d\y

dy cix dx dy

18. Remplaçons maintenant les expressions (i), (2), (3) dans cî, nous aurons

en posant

-f I = — 2/JL6 y / /) dx dy, 'ii- -— 2/jLS j j\dx dy,

2 L\a.r/ \dy I J a.r r/r 2 \«/ ^*^

- - 2[ya:V^^/ '^ dy\dy) \

b V du /di\'\^ dv /dn'\^~\ f du dv\ div ^-..

(c^</ c/i' \ div div dy dx J dx dy

La première partie .7, de Ja été déjà obtenue pour la plaque; elle donnera les deux mêmes équations pour les déplacements longitudinaux u et (', et l'on y ajoutera ces deux conditions au contour

La seconde partie ^2 servira à déterminer le déplacement transversal. Nous avons

oS^—.— ilLî(j ôi^dxdy,

et, en supprimant les termes en ou et ôr, qui seraient très petits par rapport à ceux qui entrent dans S^, , et que, pour cette raison, nous

Ji)6 CHAPITRE VI.

avons pu négliger dans le calcul de u et r, nous aurons

en posant

p fiu chv dv div /du dv\d\v

dx cix' dy dx \dy dx ) dy '

.. dv div du diX' f du dv \ d%v

dy dy dx dy \dy dx ) dx

Kntin, en intégrant par parties et observant que Iw est nul sur le contour, on a

Désignons par Z la force normale extérieure qui sollicite la membrane en chaque point, nous aurons, d'après le principe des vitesses virtuelles, pour Téquilibre d'élasticité de la membrane

OrT, 4- 2 î / Z OU' dx dy = o,

et nous en déduisons celte équation

,f. /dP dQ\ „

19. Si la membrane est tendue également dans tous les sens à l'état naturel, et qu'elle ne soit sollicitée parallèlement au plan des xy que par des forces appliquées sur son contour pour la tendre, on satisfera aux équations générales en // et (^(n° 9) en posant

(5) u=zkx, <' — Ay,

OÙ k est un coefficient constant, et les expressions de P et Q peuvent être réduites a

V^ia + b)k-^-, Q = ia + Ù)k^.

Ainsi le déplacement transversal w de la membrane sera donné par

ÉQUILIBRE ET M0UVE31ENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. IC)/

Téquation

Pour passer de l'équilibre au mouvement vibratoire, nous ferons

^'-"^-dr-'

et nous aurons pour Téquation de ce mouvement

d^w ix{a -^ b)k /d^iv d^iv

dl^ p \dx^ df*

L'expression du coefficient du second membre peut être simplifiée. On a d'abord

/. -h 2|JL

Si nous désignons par F la force avec laquelle la membrane est tendue,

nous aurons

.. . div (du dv\

et, en remplaçant^ ^^T '^'*P''^s (^)» ^"^ tire de ces deux équations

2|JL(3>. H- 2|JL)

On a donc enfin, pour l'équation du mouvement vibratoire de la membrane,

dt^ ~ p \^x* "^ ^/'

et la condition sur le contour est «^ = o.

On pourra mettre la membrane en mouvemenl en soufflant de Tair sur une de ses faces.

Seconde solution du problème de la membrane.

20. La solution précédente a l'avantage de faire comprendre la différence essentielle qui existe entre le problème de la plaque et celui de la membrane. Mais on peut résoudre ce dernier problème d'une manière plus simple par les considérations employées par Poisson.

Les axes des oc ci y seront encore pris dans le plan moyen de la membrane, quand elle est tendue également dans tous les sens et à l'état de repos.

Sur les faces de la membrane et, par suite, sur la surface médiane, les forces élastiques sont nulles. Si donc, après la déformation, a, ^, Y sont les angles de la normale à cette surface avec les trois axes, nous aurons, dans toute l'étendue de la membrane.

Ni ces a -h Ta cos^ -h T, cosy -- o, T3 ces a -h \,cos(3 -H Ti cosy — o, T, cos a -h Tj cos J3 H- N3 cosy : : o.

On a ensuite, en taisant p — -j—y q =1 -—,

^ dx ' dy cos a 1:1: -7 r-^^ ) cosp - -, cosy — »

formules qu'on pourra réduire à

cos a — /?, cosj3i ij, cosy--i, et les équations précédentes deviendront

Pour plus de généralité, supposons l'épaisseur it variable, et considérons l'équilibre du prisme qui a pour base dxdy dans le plan des^y et qui est terminé aux deux faces de la membrane. Nous aurons à faire un raisonnement tout semblable à celui du n*' 4 du Cbapitre I ;

ÉQVILIBRE ET MOUVEMENT VinRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. 1 99

les faces du prisme, perpendiculaires sur le plan des xy, sont sollicitées par des forces élastiques et, en égalant à zéro les composantes de ces forces suivant les trois axes de coordonnées, nous aurons ces trois équations

ax a Y

dx dy

disT.) d(sTi)

(Lv dy

X, Y, Z étant les composantes des forces extérieures estimées par unité de volume.

Dans la troisième équation (6), remplaçons Ta, T, par les valeurs (à) et, en ayant ensuite égard aux deux premières équations (b), nous obtiendrons

21 . Prenons maintenant £ constant. Supposons pX et ^^Y très petits devant Z, et exprimons que la membrane est également tendue dans tous les sens par une force F appliquée normalement en tous les points du contour et la même en tous ces points; nous aurons

T3 = o, N,~ N2Z=:F, et Téquation (c) deviendra

^[dj^-^- dr)-^^^^''^

Enfin, s'il n'existe pas de forces extérieures, Téquation du mouvement vibratoire sera

-/d^iv d'\\'\ d^w

dx* dy- j ■"' dr-

Les quantités /7 et q étant très petites, la valeur de N3 peut être con-

200 CHAPITRE Vf.

sidérée comme nulle d*après la troisième équation {a), et Ton a

,. . div (du dv\

Portons cette valeur de -j- dans N, et N.>; nous aurons

dz 1 . '

-. dif - dv , , du d\'

' djr ' dy ' a.r ' dy

( du dv \

Enfin portons ces expressions dans les deux premières équations (6) réduites à

dx dy dx dy

et nous retrouvons ces deux équations du déplacement longitudinal

dru d^u , , ^ d^v I -,

avec les conditions // = o, v =^o sur le contour. Enfin, si X et Y sont nuls, d'après ce que nous avons dit (n"* 19), // et s^ se réduisent à des expression^ de la forme kx et ky.

Dans le Chapitre V du I*'' Volume de ce Traité (Cours de Physique mathématique), j'ai étudié les mouvements vibratoires des membranes circulaires et elliptiques. En particulier, j'ai déterminé leurs lignes nodales et les divers sons qu'elles peuvent produire.

Equilibre d'élasticité d'une plaque circulaire.

22. Supposons une plaque circulaire horizontale. Sur tous les points de l'une de ses faces, on exerce des pressions normales, de manière que ces pressions soient les mêmes pour une même distance au centre de cette face.

EQUILIBRE ET MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. 20 I

Ce bord sera d'ailleurs ou entièrement libre, ou simplement appuyé ou encastré.

Adoptons des coordonnées polaires r et 9 ; r est la distance au centre et ç l'angle du vecteur r avec une direction fixe. Nous négligerons les déplacements horizontaux pour ne nous occuper que de ceux qui produisent la courbure de la plaque.

Si Ton considère dans la plaque un élément cylindrique dont la surface latérale est normale aux faces, ayant une base égale à t et ayant pour hauteur l'épaisseur 2£ de la plaque, il sera sollicité verticalement par la force itg^z^ où ^est Taccélération de la pesanteur, et aussi à très peu près suivant la verticale par la force IIt, II étant la pression exercée à la face supérieure; cet élément sera donc sollicité par

2£T (^p H jj et la plaque est dans un état qui diffère très peu de celui

qui proviendrait d'une force extérieure verticale et égale k g^-^ —'

Faisons [xa = co^ et, d'après la formule (C) du n'* 8, on aura, pour l'équation du déplacement transversal,

:t- a Ait- -h irp -^ ^= o.

Celte équation peut être remplacée par les deux suivantes

(i) Au'i.-'|, A':j/i-<7(ll4-'>.cpA0»

en posant

— — - — cr.

Désignons par/; le poids de la plaque et par /son rayon; nous aurons

P — 'itlHp^'^,

et, comme iv ne dépend pas de l'angle 9, les deux équations (1) peuvent s'écrire

d^ÛJ i d^h /„ p

M. — f'.last.

Si le bord est libre et que G soit une force tangentielle verticale qui sollicite le bord et reste constante tout le long de ce bord, les deux conditions au contour sont (n^ 10)

(t . d\v do r/A<r 3 ^,

•i (In as (ir ixv

et, comme on a actuellement

as . — raOy -,' - ' »

^ as r

ces deux conditions peuvent s'écrire

'1 ^ r dr dr ^o'e'

Si le bord de la plaque est appuyé, les deux conditions du contour sont (n^ 15)

... a . \ dw

•X ' r dr

Enfin, si la plaque est encastrée, ces conditions sont

(0) IV — O, —r- = O.

dr