Intégrons Téquation (3); nous aurons

~P-—-\ Il rdr-\ -,zr~h-

dr rj 2 7:/* /•

en remarquant que la constante C doit être nulle, afin que ]/ reste fini pour r = o ; puis, en appliquant Tintégration par parties, on a

. 'sLz^ C 4- >^^, /•'-+- fflogy / Urdr — fji Il/'logyc/r.

Remplaçons '^ par cette valeur dans (2), multiplions par/* et inté-

ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT VIBRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. 2o3

grons; nous aurons

dr 2 iott/*

//• \ogjdr I U rdr «^

— (7 / rdr j Ur logjdr.

Des intégrations par parties on déduit

/ r logjdr I n rdr — / 6^f — log 7 — 7- ) / H rdr

On reconnaît encore que la constante b est nulle, et l'on obtient

div Cr

dr 2

— -- I Ur \oSydr-h ~- 1 Jlr^dr.

Intégrant de nouveau, on a

— - / /y//' / Ïï/Io^yfl^r H- , / ~- / II/*^^/-.

Los trois intégrales doubles de cette formule ont respectivement pour valeurs

— / llr]ogjdr - j n/Mogy^/, logÇ fUr^dr - / n/-^ log 'jdr.

'20\ CIIArMTKK M.

En substituant dans Texpression de (v et réduisant, on obtient

H- ^(n log^') ( ïl r^ rh — j r^ f Ur\ogj(h-y f H/'logjrfr.

C'est la formule donnée par Poisson.

24. Il ne reste plus qu'à déterminer les deux constantes C et/. Si le bord de la plaque est libre, nous avons sur ce bord celte équation

qui peut s'écrire

et qui servira a déterminer la force G pour qu'il y ait équilibre.

Dans le cas de la plaque aux bords libres et dans celui de la plaque appuyée, on a la condition

>. ^ /• cir

qui a lieu sur le contour. Il en résulte pour la valeur de C, dans les cas de la plaque k bords libres et de la plaque appuyée,

Si la plaque est encastrée, on a, d'après la seconde condition (6),

La valeur de / est indéterminée pour la plaque à bords libres; mais dans les deux autres cas,/ se détermine par la condition cr = o

ÉQUILIBRE KT MOUVEMENT VinRATOIRE DES PLAQUES ET MEMBRANES PLANES. 2o5

pour r= /. On a ainsi, dans ces deux cas,

/= ^ -rr- l--^ -r \ n rdi — - / Wi-'^dr

Posons

dr ^ \\

en désignant ainsi par P le poids total de la charge, et nous aurons, en remplaçant C par sa valeur :

i^ Pour la flèche de la plaque appuyée

2" Pour la flèche de la plaque encastrée

25. Considérons le cas particulier où la charge P est également répartie sur toute la plaque. On aura alors

tu/* et l'on en conclura, pour la grandeur de la flèche,

En calculant l'expression de tv, on reconnaîtra que la surface moyenne de la plaque aff^ecte la forme d'un paraholoïde elliptique.

Considérons ensuite un second cas particulier : celui où la plaque, restant horizontale, est tirée par un poids suspendu a son centre. Il

faudra alors appliquer les formules générales en supposant que II ne prend des valeurs sensibles que tout près du centre. Il en résulte que

les intégrales

r^di\ I Ur^logjdr

seront négligeables devant

r- f Urdr —

On aura ainsi