CONSIDÉRATIQNS GÉNÉRALES SUR L'ÉLASTICITÉ
On appelle élasticité cette tendance des corps k revenir à leur première forme, quand on les a légèrement déformés s'ils sont solides, ou qu'on a modifié leur volume s'ils sont fluides, et qu'on a fait ensuite cesser la cause de ce changement.
Si, par exemple, une tige de cuivre est faiblement déformée par des forces qu'on y applique, en supprimant ces forces on fera reprendre, après des oscillations, aux différentes molécules de cette tige leurs premières positions relatives.
Quand on comprime les liquides et les gaz dans un vase rigide, les déplacements sont, en général, trop grands pour que les molécules reviennent à leurs premières positions, après que la compression a cessé; mais alors ces corps reprennent néanmoins un état identique à celui qu'ils possédaient.
L'élasticité intervient dans un grand nombre de phénomènes physiques. Ainsi, c'est par l'élasticité d'un milieu dans lequel ils se trouvent renfermés que les corps électrisés agissent l'un sur l'autre, et il en est de même des corps célestes. On sait d'ailleurs que c'est par la
M. — Élast. I
CUAPITIΠI.
considération de Télasticité de i'éther que Ton démontre les propriétés de la lumière.
Dans ce Livre, nous ne nous occuperons que de l'élasticité des corps solides.
Forces élastiques,
1. Nous dirons qu'un corps solide est à l'état naturel quand il ne sera sollicité par aucune force extérieure; on le concevra donc même soustrait à la pesanteur. La pesanteur déforme, en effet, les corps solides; dans un grand nombre de cas, on pourra négliger cette déformation; mais on en tiendra compte quand on le jugera nécessaire.
Concevons un prisme droit très allongé, c'est-à-dire dont les dimensions des bases soient très petites par rapport à la longueur. Appliquons des tractions égales et contraires sur ces bases, de manière à accroître d'une petite quantité la longueur du prisme. Alors un nouvel état d'équilibre s'établit. Décomposons ce prisme en tranches très minces, parallèles aux bases; chacune de ces tranches sera sollicitée par des tractions égales et contraires, appliquées à ses bases, et égales à celles qui sont appliquées sur les bases du prisme. Et l'on comprend d'une manière générale que les changements de forme d'un corps solide élastique sont toujours accompagnés de forces développées à l'intérieur de ce corps. Si l'on cesse de solliciter la surface du corps et si, dans toutes les parties de ce corps, la déformation était restée suffisamment petite, le corps revient à sa forme primitive et les forces qu'on avait développées à son intérieur disparaissent.
Quand les forces exercées à la surface d'un corps solide élastique sont trop intenses ou plutôt quand les déformations qu'elles produisent sont trop grandes en certaines parties du corps, le corps conserve une déformation permanente dans ces parties, après que ces forces ont été retirées, et l'on dit que la limite d'élasticité a été dépassée dans ces parties.
Quand un corps solide est à l'état naturel, ce corps se trouve dans un état d'équilibre, et, par conséquent, la résultante de toutes les forces qui agissent sur chaque molécule de ce corps est nulle. Quant à l'action élémentaire entre deux molécules, elle doit généralement
CONSIDÉRATIONS (.ÉNÉRALES. '^
changer de sens suivant la distance qui les sépare, être répulsive quand cette distance est inférieure à une certaine limite, nulle pour une distance plus grande, et attractive ensuite depuis cette distance jusqu'à la longueur du rayon de la sphère d'activité, k partir de laquelle l'action devient nulle. Le rayon de cette sphère est extrêmement petit et plus petit que les longueurs appelées microscopiques.
2. Partageons un corps solide par un plan en deux parties, A et B. Si la surface de ce corps est sollicitée par des forces extérieures, la partie A agira sur B, et B exercera une action égale et contraire sur A. Or il est naturel de regarder l'action de A sur B comme provenant de la somme des actions des molécules de A sur celles de B.
Sur le plan P, qui sépare A et B, prenons une surface to extrêmement petite par rapport aux dimensions du corps, mais très grande par rapport au rayon a de la sphère d'activité. Sur cet élément (i> pris pour base, menons un cylindre H dans A et unautre K dans B, les hauteurs des deux cylindres étant réduites à a. La résultante des actions des molécules de H sur celles de K sera dite la/o/re élastique exercée par A sur B en l'élément de surface co.
Regardons l'action d'une molécule sur une autre comme une fonction de leur distance.
Soient m une molécule de H, m' une molécule de K, r leur distance et mm! f{r) l'action de m sur m', regardée comme positive ou négative, suivant qu'elle sera répulsive ou attractive.
En désignant par a, p, y les cosinus des angles de r avec les axes des coordonnées, nous aurons, pour les composantes de cette action suivant ces trois axes,
mm' (xf{r), mm'^f{r), mm'y f{r).
Donc les composantes de la force élastique exercée par A sur l'élément co de B seront
2m^m'fnm'af(r), !,„!„' mm' ^/{r), l,n^„,'mm'y f(r),
les signes de sommation £ s'étendant, l'un à toutes les molécules m situées dans H, l'autre à toutes les molécules m' situées dans K.
La résultante des actions des molécules de K sur celles de H sera la force élastique exercée par B sur A en l'élément a>, et, d'après le principe de la réaction, cette force élastique sera égale et directement opposée à la première.
Désignons par Eco la force élastique exercée par A sur B en l'élément a>; concevons en un point M de (o une force dont l'intensité est E et dont la direction est la même que celle de la force précédente; cette force E sera la force élastique exercée en M sur le plan P et estimée par unité de surface. Cette force E sera, en général, oblique sur le plan P; si elle est normale et dirigée vers A, elle sera une traction; si elle est normale et dirigée vers B, elle sera une pression ; si enfin elle est située dans le plan P, elle sera dite force élastique tan gentielle.
Si la force E est oblique sur P, on pourra aussi l'appeler traction oblique ou pression oblique, suivant qu'elle sera dirigée vers A ou vers B.
La force élastique exercée en M dans le plan P par B sur A sera égale et directement opposée à la même force exercée par A sur B; elle sera une traction ou une pression, suivant que la seconde sera elle-même une traction ou une pression.
3. La définition qui précède de la force élastique se présente fort naturellement. Elle repose sur cette hypothèse, faite par Navier et Poisson, les premiers fondateurs d'une théorie rationnelle de l'élasticité des corps solides, que les actions élastiques sont les résultantes d'actions de molécule à molécule suivant une fonction de la distance. Il est cependant permis d'émettre des doutes sur cette hypothèse. En admettant même que la force élastique soit une résultante d'actions de molécule libre à molécule libre, si la nature du corps varie autour de chaque point, ce qui a lieu pour la plupart des cristaux, on ne voit pas que l'action entre deux molécules ne dépende pas non seulement de la distante r, mais encore de l'orientation de cette ligne.
Or on peut se représenter la force élastique exercée sur un plan et en un point de ce plan d'une autre manière qui n'exige aucune espèce d'hypothèse. Concevons que l'on supprime la partie A du corps solide; l'état de la partie B pourra demeurer exactement le même si l'on applique sur chaque élément co du plan P une force dont la grandeur coE soit convenablement choisie, ainsi que la direction. Cette force (oE sera
la force élastique exercée par A sur l'élément w de B, et la force E, appliquée en un point M de o) et ayant môme direction, sera la force élastique exercée en M par A sur le plan P, qui sépare A de B.
Cette seconde manière de se représenter la force élastique en un point d'un plan n'a pas le même degré de précision que la première; mais, par cela même, elle donnera des formules plus générales. En comparant ensuite ces formules avec les résultats de l'expérience, on pourra examiner si cette généralité est nécessaire ou non. Or on reconnaîtra ainsi que la première définition est trop particulière et doit, par suite, être abandonnée.
Les corps solides que nous considérerons dans ce Livre seront homogènes, en sorte que toutes les parties d'un même corps seront de même nature. Parmi ces corps, les uns sont isotropes et sont identiques tout autour d'un même point; ils se compriment de la même manière dans tous les sens. Les autres, exigeant une étude plus compliquée, sont de nature variable autour d'un même point, mais ils sont identiques dans une même direction. Leur compressibilité varie alors avec la direction de la compression.
Les corps homogènes non isotropes renferment la plupart des cristaux; mais ils contiennent aussi certains corps métalliques non cristallisés, employés dans les arts, et auxquels le forgeage ou le laminage a ôté l'isotropie.
Équations exprimant V équilibre d'élasticité d'un corps solide.
4. Concevons un corps en équilibre d'élasticité sous l'action de forces appliquées à sa surface et de forces agissant à l'intérieur du corps comme la pesanteur. Alors toute partie infiniment petite de ce corps sera elle-même en équilibre sous l'action des forces élastiques qui s'exercent à sa surface et de la force qui sollicite les points intérieurs. Prenons pour cet élément de volume un parallélépipède rectangle dont les côtés dxy dy, dz sont parallèles aux axes de coordonnées.
Désignons par od, et co'^ les faces dont l'aire est dydz, et qui sont parallèles au plan des y-, co^ étant celle qui correspond à la plus petite
valeur de x. Le prisme exerce sur la partie extérieure, située du côté où les X décroissent, une force élastique Eo)<, dont nous désignerons les composantes suivant les axes de coordonnées par
(«) X,Wï, ¥,0)1, Zjw,.
Ainsi, par exemple, X< est positif s'il y a traction dans le sens de Taxe des X. Réciproquement, le prisme est sollicité sur sa base o), par une force égale à la première et de sens contraire, ayant pour composantes
Les forces X,, Y^, Z, sont des fonctions des coordonnées a?, j, z du point auquel leur résultante est appliquée; donc la face co'^ du prisme est sollicitée, de la part de la portion du corps située du côté des x positifs, par une force élastique dont les composantes se déduiront des expressions (a) par le changement de ^r en a? 4- dx^ et qui auront pour valeurs
En réunissant les expressions (i) et (c), on voit que le prisme est sollicité, de la part de ses faces co, et co', par une force ayant pour composantes
-7—* dx dy dz, -j-^ dx dy dz, -3—* dx dy dz .
Désignons ensuite par Wa et 0)3 les faces dz dx et dxdy, qui correspondent à la plus petite valeur dey ou de r, et représentons par
Xs» is» Z3
les composantes de la force élastique exercée par le parallélépipède sur (1)2 et W3. On en conclura de même que ce prisme est sollicité, en
second lieu, par une force ayant pour composantes
-^dxdydz, ^dxdydz, -^^dxdydz,
et, en troisième lieu, par une force ayant pour composantes
—r^dxdydz. —r^dxdvdz^ ——dxdydz, dz -^ ' dz "^ ^ dz ^
Désignons ensuite par pA, pB, pC les composantes de la force qui agit à rintérieur du corps, en représentant par p la densité. L'élément de volume sera sollicité encore par une force ayant pour composantes
p\dxdydz, phdx dy dz, pCdxdy dz.
Égalons à zéro la somme des composantes des forces, relatives à chaque axe de coordonnées, et nous aurons les trois équations suivantes :
e/Xi d\m d\2 .
djc dy dz , V , dX^ rfY, rfY, „
dx dy dz ^
5. Pour achever d'exprimer l'équilibre du prisme, nous avons encore à former les équations des moments autour de trois droites parallèles aux axes de coordonnées; nous mènerons ces trois droites par le centre du prisme, et ces équations exprimeront que le prisme ne peut tourner autour de ces droites.
Prenons les moments des forces autour de l'axe mené par le centre du prisme parallèlement à l'axe des Z. Les forces élastiques exercées sur (i>, et 0)3 ont des moments nuls, parce qu'elles rencontrent l'axe des moments. Les composantes Z^cOf et Z2CO2, parallèles à l'axe des :r, ont aussi des moments nuls. Sur la face (Of, la force X4C0, a encore un moment nul, et la force ¥< (o^ a pour moment
Yi 0)1 — z=z -Yidx dy dz.
Les forces exercées sur ca', ont le même moment à un infiniment petit près d'un ordre supérieur. Ainsi le moment résultant pour les deux faces (o^ et (ii\ est
Yi dx dy dz.
De même, les deux faces co^ et oj^ donnent le moment
— X, djc dy dz.
Ensuite les forces appliquées à l'intérieur du prisme ont une somme de moments qui est un infiniment petit d'ordre supérieur au troisième et à laquelle on ne doit pas avoir égard. Donc, en égalant à zéro la somme des moments autour de l'axe des Z, on obtient
On a deux autres équations semblables; en les réunissant k la première, on obtient ces trois équations
(2) Y,i=X„ Z,= V„ Xa^Zp
Ainsi les neuf composantes des forces élastiques qui agissent sur w^, (Oj, W3 se réduisent à six composantes distinctes seulement.
Nous emploierons aussi les lettres N et T pour représenter les forces élastiques, en nous servant des indices i, 2, 3, qui correspondront respectivement aux axes des œ, y, z. Les quantités N^, N^, N, seront les composantes élastiques normales parallèles aux x, j, z.
Comme on le fait souvent, nous pourrions employer deux indices pour représenter les grandeurs des forces élastiques tangentielles, qui seraient ainsi désignées par T23, T3,, T^a, l'un quelconque des indices indiquant l'axe de coordonnées auquel la force est parallèle et l'autre indice indiquant la direction de la normale au plan sur lequel s'exerce cette force. Cependant l'emploi de deux indices pour désigner ces forces complique l'écriture sans sérieuse utilité; nous désignerons donc, comme Lamé, les forces tangentielles par T,, Ta, T3. Ainsi nous poserons
6. Équilibre d'un tétraèdre élémentaire, — Après avoir considéré l'équilibre d'un parallélépipède rectangle, examinons celui d'un tétraèdre infiniment pçtit et pris à l'intérieur du corps solide. Nous formons ce tétraèdre en menant par un point M de ce corps trois droites infiniment petites, parallèles aux axes de coordonnées, et qui seront les arêtes de ce tétraèdre. Désignons par a la base du tétraèdre opposée au sommet M, et soient
les composantes de la force élastique exercée de dehors en dedans sur la face cr. Représentons enfin par X, [x, v les angles formés par la normale extérieure à la face cr avec les axes de coordonnées ; les trois autres faces du tétraèdre auront pour grandeurs
