j=TC0S)., (72^= ŒCOSp., 0*3::= (T COSV

et les trois forces exercées sur ces trois faces ont pour composantes, d'après les notations des numéros précédents,

— XiT,, —Y, (7,, — ZiŒi sur T,,

— X^o*!, — *-t^t9 — ZjTj sur 0*2,

— Xa^s, — VaCTa, — Z3 0*3 SUT ffj.

La force, qui agit sur la masse du tétraèdre, est un infiniment petit du troisième ordre et doit être négligée.

Égalons à zéro la somme des composantes dos forces qui sollicitent le tétraèdre, suivant chacun des trois axes de coordonnées, et nous obtenons les trois équations suivantes :

IX = Xi COSX -\- X, COSfJL -H- Xs cosv, Y 1- Y, cosX -h Yj cos/x H- Y3 cosv, Z - - Zi cosX-+- Z2 cosfjL-hZa cosv.

Ces équations conduisent à un théorème d'un énoncé fort simple. Considérons, par exemple, la première de ces trois équations. Désignons par E et E' les forces élastiques exercées sur a et a, et estimées par unité de surface. X représente la projection de E sur Taxe des a-, c'est-à-dire sur la normale à Œi, et le second membre de la première équation (3) peut s'écrire

X, cosX -H- Y, cos/jL -f Zi cosv

M. — Èlast. 2

lo r.HAPiTKF. I.

et représente la projection de E' sur la normale à ct. Comme (Failleurs G" et a, peuvent être considérés comme deux éléments plans passant par un même point et dont les normales ont des directions quelconques, on en conclut le théorème suivant :

Si E cl E' sont les forces élastiques exercées en un même point du solide sur les plans V etV\ la projection de E sur la normale à V est égale à la projection de E' sur la normale à P.

On s'est servi des équations (2) pour démontrer ce théorème, et, d'autre part, les équations (2) sont renfermées dans cette propriété.

Les équations (3) ont lieu, comme les équations (i), en un point quelconque de l'intérieur du corps; mais c'est surtout à la surface du corps que nous les appliquerons. Si la face ci du tétraèdre est un élément de la surface du corps, X, Y, Z, dans ces équations, devront être remplacés par les composantes de la force qu'on applique en chaque point de cette surface, et qui sera en général connue.

Nous verrons que les composantes des forces élastiques peuvent s'exprimer au moyen des dérivées des projections u, r, w du déplacement de chaque point (^, j, z) du corps solide. Ainsi les équations (i) deviendront trois équations aux dilférences partielles entre les trois quantités u, t^, \v\ puis on aura pour conditions h la surface les trois équations (3), dans lesquelles X, Y, Z seront des fonctions données des coordonnées des points de la surface et où X, [ji, v seront les angles de la normale à cette surface avec les trois axes de coordonnées.

7. Mous^cment vibratoire. — Des équations (i), (2), (3), relatives à l'équilibre d'élasticité d'un corps solide, on peut passer facilement à celles qui conviennent à son mouvement vibratoire. Il suiïît d'ajouter aux composantes de la force extérieure pA, pB, pC les composantes de la force d'inertie

dKr' d'y' d*'z'

-^'dF' ^^Tfr^' -^-dF'

en désignant par a-\ y\ z ce que deviennent, pendant son déplacement, les coordonnées du point situé en ar, r, :; avant le déplacement. En posant

CONSIDERATIONS GENtKALKS. I I

Xy y, z ne varient pas avec /, et, par suite, les équations (i) se changent en les suivantes :

d\\ ^ci\\ dy d^^

llx ^dy-^-7h ^^^ ""^dt^'

dLx dL^ dVj-, ,^ d^iv

Les équations (2) et (3) subsisteront sans changement.

Distribution des forces élastiques autour de cliaque point d\in corps solide.

8. En exerçant des forces a hi surface d'un corps solide, on déforme ce corps et Ton développe à son intérieur des forces élastiques. Ainsi, par un point M quelconque de ce corps, menons un plan; ce plan sera sollicité en ce point par une force élastique, et h chaque position du plan mené par M correspondra une nouvelle force élastique. Nous allons examiner la manière dont varie cette force autour du point M.

Par ce point menons trois axes rectangulaires et un élément plan w dont la normale fait avec ces axes des angles dont les cosinus sont m, w, p. Soit P la force élastique qui s'exerce sur w; k partir du point M et dans la direction de P portons une longueur exprimée par le même nombre que la force P, puis désignons par j:, y, z les coordonnées de cette extrémité. D'après les formules du n^ 6, nous aurons

Ix -^ mXi -H /iXg 4-^X3, y — mYi -I- n\i H- /> Y„ z -~in'L^ -h /^Z2 H- /7Z3.

Désignons respectivement par F,, F^, F3 les forces élastiques qui s'exercent au point M sur les plans des yz^ des zx, des xy. Les composantes de ces forces sont

(Xj, Xj, Xj), ( II» ij> ^3)» (Zi, Zj, Z3).

Les forces F,, Fa, F3 sont, en général, obliques entre elles; prenons-

les pour axes des x\y\ z' d'un second système de coordonnées. Les seconds axes font avec les premiers des angles dont les cosinus sont donnés par le Tableau suivant :

Za F,

Par suite, nous obtenons ces formules de transformation de coordonnées

La comparaison des formules (a) et (A) donne immédiatement les suivantes :

sachant qu'on a

Or on a la relation

1 1 — Aj, Aji — 1 3, A 3 — = Zii.

on a donc, par rapport aux axes obliques, Téquation

F? Fî FJ

ce qui représente un ellipsoïde rapporté à ses diamètres conjugués.

CONSIDERATIONS GENERALES. lô

Donc le lieu des extrémités des longueurs qui représentent les forces élastiques autour du point M est un ellipsoïde, et les forces élastiques, qui s* exercent sur trois plans rectangulaires menés par M, forment trois diamètres conjugués de cette surface.

Lamé, qui a fait le premier le calcul actuel, a désigné cet ellipsoïde sous le nom d'ellipsoïde d'élasticité.

9. Choisissons pour le système de diamètres conjugués de cet ellipsoïde celui de ses axes de symétrie. Alors les forces élastiques F|, Fj, F3, dirigées suivant ces axes, seront appelées forces élastiques principales. Nous allons démontrer que les forces élastiques principales sont normales aux plans sur lesquels elles s'exercent; autrement dit, nous allons prouver que, dans ce cas particulier, les deux systèmes de coordonnées des Xy y, z et des x\ y\ z' coïncident.

Les deux systèmes d'axes étant actuellement rectangulaires, on obtient entre les cosinus des angles qu'ils forment entre eux les relations suivantes :

* 3 "FJ-"' F» — '•

En éliminant X,, Yj, Z, entre ces équations et ayant toujours égard aux équations (</), on obtient

(fï ~ Fî) ^^ ^ (f! "" ^) ^* '^°'

Supposons F^, Fa, F3 inégaux et rangés par ordre de grandeur, en commençant par le plus grand. Alors les deux termes de la première équation (^) sont positifs, et leur somme ne peut être nulle qu'en po-

F» ^ FJ ^ F? '

Fî^F»

FJ ^ FJ ^ FJ

X» Yî F? ^ F'

Il 2 1 •» 1 .

Xî , YJ Fî"^FÎ

l4 CIIAPITUK I.

sant les deux premières des trois équations

Xj = o, X3 — o, V3 — o,

et la troisième de ces équations se déduit ensuite de chacune des deux autres équations (e). Ainsi les composantes tangentielles des forces élastiques sont nulles; ces forces sont donc normales aux plans sur lesquels elles s'exercent. On a

Xi=:Fi, ^î-'^âl Z3 — F;

et aussi, d'après (h),

Le théorème est ainsi démontré.

10. Désignons maintenant par A, B, C les trois forces élastiques principales. L'ellipsoïde d'élasticité, rapporté à ses axes, aura pour équation

On déduira des équations (c)

pour les cosinus directeurs de la normale au plan o), sur lequel s'exerce la force élastique représentée par le rayon P, qui joint le centre M au point (^, j, ^) de cette surface.

L'équation du plan co, qui est

/nX -f /^ Y -h/;Z =: o,

X, Y, Z désignant les coordonnées courantes, peut donc s'écrire

CONSIDKUATIONS GÉNÉRALES. iT)

Par suite, la direction du rayon P est conjuguée du plan co dans la surface du second degré

et elle rencontrera cette surface en un point où le plan tangent sera parallèle à co.

Ainsi, pour avoir le plan sur lequel s'exerce une des forces élastiques au point M, il suffira de mener par ce point un plan diamétral conjugué de la direction de cette force dans la surface (h).

On voit que les axes de la surface (A) sont les racines carrées des axes de la surface (/).

Si A, B, C sont positifs, ils représenteront des tractions; on prendra le signe -h dans le second membre de Téquation (A), qui désignera un ellipsoïde. Si A, B, C sont négatifs, ils désigneront des pressions, et la surface (h), obtenue en prenant le signe — dans le second membre, sera encore un ellipsoïde. Dans ces deux cas, tout diamètre de la surface (/) représente une force élastique de même espèce que A, B, C, c'est-à-dire que sa composante normale sera une tension ou une près sion suivant que A, B, C seront des tensions ou des pressions.

Si deux des quantités A, B, C sont de signe contraire à la troisième, il faudra considérer l'ensemble des deux surfaces données par l'équation (A), en conservant les deux signes dans le second membre. Cette équation représente ainsi un hyperboloïde à une nappe et un autre à deux nappes, ayant le même cône asymptote

(0 Â + 1r + ïï^-^-

Tout rayon de la surface (/) représente en grandeur et en direction une force élastique qui sera de même espèce que la force élastique principale qui rencontre la même nappe des surfaces (h) que ce rayon. A la limite, quand le rayon de la surface (/) viendra sur le cône («), le plan diamétral conjugué dans la surface (A) sera tangent au cône le long de ce rayon. Donc la force élastique représentée par ce rayon sera tangentielle au plan sur lequel elle s'exerce.

l6 CHAPITRE î.

Détermination des forces élastiques principales,

11. Supposons connues les forces élastiques qui s'exercent en un point sur trois plans parallèles aux plans de coordonnées, et proposons-nous de déterminer en grandeur et en direction les trois forces élastiques principales qui passent par ce point.

Soit A une de ces trois forces; elle est normale au plan sur lequel elle s'exerce. Si /w, n, p sont les cosinus directeurs de la normale au plan, mPiy nA,pA sont les projections de A, et, d'après les formules (3) du n*^ 6, si nous adoptons les lettres N, T pour représenter les composantes élastiques (n** 5), nous aurons ces trois équations :

l /«(Ni — A)-4-/iT3 + /?Tj = o, (y) ///T3+/i{N2-A) + /?T, = 0,

( /?rrj-4- «Ti4-/?(N3— A) = o.

En éliminant m, n, p entre ces trois équations, nous obtiendrons la

qu'on peut mettre sous cette forme

( A«~(^^-+-N,-^N3)A«4-(N,N,-^N3^^^-NlN,-TÎ-Tî-T5)A ^'^ I -hNiTî-+-N,ïî + N8Tî-N,N,N3-2T,T,T3=o.

Cette équation du troisième degré donne les grandeurs et les signes des forces élastiques principales, le signe -h indiquant, comme nous l'avons dit (n** 10), une traction et le signe — une pression. Cette équation est entièrement semblable à celle qui donne les carrés des inverses des axes d'une surface du second degré, et les équations (y) semblables à celles qui donnent ensuite les directions de ces axes. Il est donc inutile de discuter ici ces équations.

Si l'on trouve, d'après l'équation (k), deux forces élastiques principales égales à B, toutes les forces élastiques, appliquées au point M

considéré et perpendiculaires à la troisième force élastique principale, seront égales à B et seront normales au plan sur lequel elles s'exercent. Si les trois racines de l'équation (k) sont égales, toutes les forces élastiques qui s'exerceront au point M seront égales entre elles et normales au plan sur lequel elles agissent.

12. Cas où l'une des trois forces élastiques principales est nulle, — Supposons, par exemple, que C soit nul. Concevons d'abord que C soit très petit, l'ellipsoïde (/) se change en une plaque elliptique, et, à la limite, toutes les forces élastiques autour du point M sont situées dans le plan des forces A et B, puisqu'on a alors z =pC = o.

(o étant encore le plan sur lequel s'exerce la force élastique P, désignons par Y l'inclinaison de co sur le plan des^ry. Nous aurons, d'après les équations (g),

m — ^, ^^ = 0' /?— cosy,

et l'équation de ce plan sera

—. h '^ -r Z cosy =-- o.

Par suite, l'équation (/) deviendra

(/') ^, + ^=sin«y.

Donc, sur tous les plans w, passant par M et inclinés du même angle y sur le plan des xy^ les forces élastiques exercées sont les rayons de l'ellipse (/').

Le rayon P de l'ellipse (/'), qui représente une de ces forces élastiques, rencontre la courbe

en un point; en menant en ce point la tangente, on obtient la direction de la trace du plan co sur celui des xy. Comme on connaît aussi son inclinaison y sur le plan des xy par l'équation (/'), ce plan est déterminé.

M. - Èiasc. 3

l8 CHAPITRE I.

Cas où deux forces principales sont nulles. — Supposons, par exemple,

qu'on ait

on déduit des équations {g)

Ainsi toutes les forces élastiques sont dirigées suivant l'axe des x et sont égales à la force élastique principale A, mullipliée par le cosinus de l'angle de la normale au plan o) avec la force A.

Sur les déformations très petites d'un corps.

13. Occupons-nous ensuite des déformations très petites d'un corps solide, puisqu'elles déterminent les forces élastiques développées dans ce corps.

Concevons ce corps décomposé en parallélépipèdes rectangles infiniment petits, dont les arêtes sont parallèles aux axes de coordonnées; on connaîtra complètement la déformation du corps si Ton détermine celle de chaque parallélépipède. Or il est évident que la recherche de la déformation de cet élément de volume se réduit à celle des dilatations de ses côtés et des variations de ses angles.

Cherchons d'ahord la dilatation d'une très petite droite /qui joint le point M ou {x,y, z) au point M', ou

(^4-5, y-'-ri, c-^-o.

Désignons par w, (^, w les projections du déplacement du point M du corps qui viendra ainsi se placer au point m de l'espace ou

Désignons aussi par //', r', iv' ce que deviennent //, r, \v quand on passe du point M au point M'. Lo point M' du corps viendra donc en un point m' ayant pour coordonnées

La droite MM', qui a pour projections ^, rj, Z, s'est donc changée en la droite mm' qui a pour projections

Ainsi l'accroissement géométrique de la droite / a pour projections sur les axes u' — w, v ^ r, v^' — tv, et, en le projetant sur la droite /, on obtient, pour la dilatation de cette droite.

Or i. Y], (^ sont supposés. très petits; on obtient donc, en négligeant leurs carrés,

, du . du du ^

u' ~ u ~ -j-.E -- -r--n -h -T-Ki dx ' dy dz

. , . j , di„ di> di^ ^

, div ^ div d\v ^

dx dy dz

Substituons dans l'équation précédente, puis Faisons

^-=/cosa, Y)— /coSt3, Ç— /cosy,

a, p, Y étant les angles de / avec les axes, et nous aurons

I ^ du , d\> , ^ dKV

~k=.-r cos'a-h -r- cos*p -f- -7- cos*y / dx dy dz *

, fdv dw\ ^ fdsv du\

/du di^\ r.

Cette expression donne la dilatation au point M, dans la direction de la ligne /, estimée par unité de longueur. Remarquons que, cette quantité étant très petite quels que soient a, p, y, les six coefficients des carrés des cosinus et de leurs doubles produits sont eux-mêmes très petits.

14. Prenons maintenant pour la ligne / successivement les côtés clx\ dy, dz du parallélépipède élémentaire, et appliquons la formule précédente. Un cosinus sera égal à l'unité et les deux autres égaux à zéro, et nous obtiendrons les trois dilatations de dx^ dy, dz,

• du d\f dw ^1 l'i.^' !■'• • -I a"

ainsi 3-j -7-> 3- seront les dilatations linéaires suivant les trois axes

dx dy dz

de coordonnées.

L'arête dx se changeant en dx(\ -H y* ) et ainsi des autres, le volume dxdy dz du prisme se change en

Donc la dilatation du volume est donnée par la formule

du dv dii'

djc dy dz

et elle est égale a la somme de trois dilatations linéaires, prises suivant trois directions rectangulaires.

Cherchons ensuite la déformation des angles du parallélépipède. Ces angles, qui étaient droits, prennent, après la déformation, des valeurs que je désigne par