TT TT TT

— — iT — tr __ ir

En faisant r^ = o, (^ = o dans les formules (i), nous obtenons, pour les accroissements des coordonnées de l'extrémité de l'arête dx.

du , ^t' , d^v , -7- ax. -7— dx. -7— dx ; dx dx dx

ainsi les projections de l'arête dx sur les axes fixes deviennent

du\ , dv , d\v ,

-7- dx, -7— dx,

dx dx

et les cosinus des angles de cette arête avec ces axes sont

du dv dKv dx dx dx

De même, les cosinus directeurs de l'arête dy après son déplacement sont

du dv d\v

dy dy dy

On en conclut, pour le cosinus du troisième angle du parallélépipède formé par les deux directions précédentes,

(t: \ du d\'

OU simplement, puisque gj^y est très petit, la première des trois formules semblables

du dv

or —

■ dy

dx

ëyz

dv dz

dw

dy

ëzjc —

div dx

du dz '

Tels sont les décroissements des angles du parallélépipède; ces quantités sont souvent désignées sous le nom de glissements. Au reste, à partir du sommet M du parallélépipède, portons, suivant tir et dy, des longueurs égales à Tunité et terminées en P et P'; le point P décrira

une longueur égale à -r- parallèlement h l'axe des j et le point P', une

longueur égale à -7- parallèlement à l'axe desj?. Ainsi l'angle droit PMP'

subira les deux diminutions -^ et ■^\ ce qui reproduit la première des trois formules précédentes.

15. Dans l'équation {c) posons r = i/qi-y > en choisissant le signe dr

de manière que r soit réel, et portons cette longueur, k partir du point M, dans la direction indiquée par les angles a, p, y. Le lieu de l'extrémité sera une surface du second degré. En nous servant des formules (d)

et en désignant par X, X, Z les coordonnées courantes, nous aurons, pour l'équation de celte surface,

On peut choisir les axes de coordonnées de manière k faire disparaître les rectangles, et l'équation se réduit alors à

aj- dy dz

Ainsi, par cliaque point du corps, on peut faire passer trois plans rectangulaires, de manière que les glissements y soient nuls. Les dilatations correspondantes sont appelées /?rma/?a/e^.

Nous avons vu ci-dessus que la droite / ou MM' s'est changée dans la déformation en une droite mm\ dont les projections sont données par les expressions (a). En ramenant le point m au point M de l'espace, sans changer la direction de mm\ les coordonnées x, y, z de l'extrémité /n' seront

du\ ^ du du

en ajoutant quatre termes qui se détruisent deux a deux, nous pouvons écrire

/ du\^ I /t/i' du\ I /du dKv\ ^

\ dx)^ 'i\dx ay) ' 'x\dz dx)^

1 fdv du\ I /'du dsv\ ^

2 \dx dy J 2 \dz dx ) ^'

D'après cela, nous pouvons partager les expressions de x, y, i en deux parties, en posant

puis faisant

( du\ ^ \ I

et

\ f dv dti\ I /'dti div

, \ fdii d\v\ .^ I fd^v d\'\

9\dz d.v ) * 2 \^j ^:?/

Or, quand un corps solide tourne d'un angle infiniment petit autour d'un point fixe, les coordonnées ^, y], X, de chaque point subissent des accroissements a\ h\ c\ donnés par les formules

p, y, r désignant les angles de rotation autour des axes des x, y, z. D'ailleurs les formules (/) peuvent être identifiées aux formules {g) en posant

« ^=KI-'-^)' .=^'""--i. -^(---1

1 /du div\ I / dv du\

2 \dz dx j^ 2 \dx dy )

Ainsi, aux environs du point M, le déplacement se décompose en deux autres, l'un donné par les formules {e) et l'autre par les formules (/), qui expriment une rotation autour du point M. Et le second déplacement partiel ne produit pas une déformation de l'élément du corps qui entoure le point M.

Nous avons vu à la fin du n^ 14 que, par la déformation, l'axe des x

tourne vers celui des y d'un angle égal n -^ et que l'axe des y tourne

dans le même sens d'un angle égal à — ^-- Si l'angle des deux axes

ne variait pas, ces deux rotations seraient égales, et l'on voit, d'après la troisième formule (A), que l'on prend la demi-somme de ces deux rotations pour la rotation r de l'élément de volume autour de l'axe des z. La même remarque s'applique évidemment à/> et q.

16. Si l'on place les axes de coordonnées au point M suivant les dilatations principales, les glissements seront nuls sur les plans de

coordonnées, et les équations (e) deviendront

Donc un point, qui avait pour coordonnées aura ensuite, pour ses coordonnées «, />, r,

On en conclut que les points situés sur les trois axes de dilatation après la déformation, se trouvaient sur trois mêmes droites rectangulaires avant la déformation.

On obtiendra les dilatations principales par le calcul qui donne les axes d'une surface du second degré. En désignant par s une de ces rois dilatations, par w, n^p ses cosinus directeurs et par ^^, î)^,, 5^ les dilatations linéaires suivant les axes des x, j, z, nous aurons ces trois équations

kgxyni-\-(by-~s)n ^- \gyzP :-o,

En éliminant /w, n,p entre ces trois équations, nous obtiendrons cette équation en s

i{s — '^x){s — '^y){s — '^z)—glz{''^ — '^x)—glx{''!—'^y)—g%y(s — ^z)—gyzgzxgx^^

Les trois racines de cette équation sont réelles, et elles représentent des dilatations ou des contractions, suivant qu'elles sont positives ou négatives.

Ellipsoïde des dilatations,

17. Soit M un point quelconque du corps; comme au n** 13, menons par ce point une ligne / infiniment petite. Après la déformation, / deviendra égal h /' et l'on aura

COXSIDÊaxVïlONS GÉNÉRALES. 25

X étant donné par la formule (c), on aura

-j~ COS-^a -r- . . .-- gyz COSp ces*/ -t . . . ) .

Comme la quantité comprise entre parenthèses est très petite, on peut remplacer le facteur /% qui la multiplie, par / ^ et l'on a

(a) /-=/'-— 2 /'M y- cos'-a ! ... t-^'y;C0Si3 COS7 -;

Par le point //2, où s'est placé M, menons des axes de coordonnées des x'i y\ z' parallèles aux premiers, et, en désignant par x\ y\ z' les coordonnées de l'extrémité de /', nous aurons

la direction de la droite / s'étant modifiée extrêmement peu. Donc l'équation (a) devient

dx

OU

du

dz)

1 — 2— ]z'^ — 2g^j,yx y.

Ainsi la sphère, dont le centre était en M et dont le rayon était /, s'est changée en un ellipsoïde dont le centre est en m.

En remplaçant les glissements g par leurs valeurs, on obtient

f^ / du\ ,, ( dv d\v\ , ,

divX ,, /du dv \ , ,

M. — /'Jasf. 4

et, comme on néglige les carrés des dérivées de i/, v, w, cette équation peut s'écrire

\ dx ^ dy " dz )

. / , ,dv ,dv fdvy

(, ,div ,d\v , div\'

dx ^ dy ^ dz

En égalant à zéro ces trois carrés, on obtient, comme on sait, trois plans diamétraux conjugués de rellipsoide. Les équations de ces plans sont

, ,du , du , du

x' ~ x' -j- -\- y' -r- -h^'— -, dx ^ dy dz

, , dv , dv , d\'

•^ dx "^ dy dz

, , dw , d\v , div

dx " dy dz

Or, avant la déformation, //, c, w étaient nuls, et ces trois équations se réduisaient à

.r'zriO, v'~0, z'=:0,

qui sont les plans de coordonnées pris rectangulaires. On en conclut ce théorème ;

Trois droites rectangulaires entre elles a^ant la déformation se changent, après la déformation, en un système de trois diamètres conjugués de V ellipsoïde des dilatations.

Expressions des composantes des forces élastiques au moyen

des déformations.

18. Nous avons déjà dit que, lorsqu'un corps a subi une déformation dans laquelle on n'a pas dépassé la limite d'élasticité, on peut de la déformation de chaque élément du corps conclure les forces élastiques qui y sont développées. Or cette déformation est indiquée, comme nous avons vu n® 13, par les trois dilatations linéaires î)^., D^., î)^ et par

les trois glissements gy^, g^j., g^ donnés par les formules

du d.v

dv ^ div

gyz--^

dv div dz dy'

^ ZJC

dw du

dx + dz ' ^'^

du dv dy dx

Donc les six composantes des forces élastiques sont des fonctions de ces six quantités.

Concevons ces composantes développées d'après la série de Maclaurin suivant les puissances de ces six déformations; puis, regardant ces six quantités comme très petites, supprimons les termes qui les renferment à un degré supérieur au premier. Comme les forces élastiques sont nulles s'il n'y a pas de déformation, nous poserons

Z3 — A3^j,+ Bjc^-t- C3^z-+- Ha^'^c-h ^:igzx~^ ^zgxyn

Y3 =.1.1^^-1- 111», ^y-+- C,c\-f- 5,^yc+ ^1^5^ 4-4:, ^^.y,

Z, '-^ .Vj^;^-4- \\\>^^y-\- Cjc^-i- }ngyz-^ <Hj^'ca:4- Cî^^r' \,— .1.3^^+ ll^aD^H- C3^z-+- c!)3éV=+ ^^^gzx-y- -CaA'a-y.

Il résulte de ces formules que, lorsque les dilatations î) et les glissements g changent de signe en conservant leurs grandeurs, les forces élastiques conservent aussi leurs grandeurs en changeant seulement de sens.

Nous venons d'obtenir ces formules en regardant les ^ et les g comme très petits; il est évident qu'on peut les prendre suffisamment petits pour que ces formules soient admissibles; mais on ne peut affirmer, a priori, que ces formules soient suffisamment exactes dans la pratique. C'est à l'expérience à vérifier que les résultats théoriques qu'on déduit de ces formules sont conformes aux faits, et cette vérification a lieu effectivement. Au reste, la proportionnalité des forces aux déformations qu'elles produisent dans les limites d'élasticité est un fait qui a été remarqué dans des cas particuliers, bien avant la création de la théorie de l'élasticité.

Le corps étant supposé homogène, les trente-six coefficients des for-

28 CHAPITRE ï.

mules précédentes sont constants; ils dépendent non seulement de la nature du corps, mais encore de son orientation par rapport aux axes de coordonnées.

Travail élémentaire des forces élastiques.

19. Considérons l'instant où un corps solide homogène passe d'une déformation à une déformation infiniment voisine, en sorte que les déplacements w, ^, w de chaque point {oo,y, z) do ce corps subissent des variations 5w, or, ^w. Le mouvement est donné par les trois équations (n° 7)

^TTt^ '" ci,r -^-717 ^'dz '^^'^'

rf-r (i\\ dY. dV, '" d? -^ d.f "^ dr '^ (h "^ ■' '

dUx' d7,^ dL:, fTLj^ ' dt^ d.v dy dz

A, B, C étant les sommes des composantes des forces extérieures.

Multiplions ces trois équations respectivement par cudjos, ùvdxn, Oivdxs, dm étant un élément de volume du corps, et intégrons dans toute l'étendue du corps; nous aurons

en posant el

• (d^'U , dU' . d'iv .....

r, -. / ( A Ofi -f- H ot' -\- C or) p dzn

V/V, d\\ d\,\ , dr dy dz

\ /'/./• f/y (tz I I

Ç^ est le travail des forces extérieures et c^^, est un travail qui provient des forces élastiques.

CONSIDÉRATIONS GÔÉRALES. 2()

Désignons par X, (jl, v les angles de la normale extérieure à la surface du corps avec les axes de coordonnées, et soient U, V deux fonctions des coordonnées .r, j, :; d'un point du corps. Alors, (h étant l'élément de la surface, on a les formules connues

Ç\] ^y dm :=z ^'u V cos À d^ - f\ -^^ r/m,

/ L' —dm^^ I [jV cos |jl da — f ^ f-, ^^y C\\ '!X. dm=i f U V cos vd:;- fy jj^ dm.

Si l'on applique ces formules h tous les termes de ^.y, on obtient

en posant

dCi=.-^ f[ (\, cosX -hX, cos;ji-i- XsCosv)ôw -h ( Y, cosX --- Yj cos/jL -h Y, cosv) ôr

H- ( Zi cos). + Zj COSfJl -^- Za COSv) ôiv] d<j,

o^î = - fT ( Xi0^7:: I "^20':^:': - \,o~ )

du - . ^ dif , ^ /7^/ \

(r/c d\' dv ^

Dans l'expression de o(/, les coefficients de ou, or, oiv sont égaux aux composantes des forces exercées k la surface du corps (n° 6). Désignons ces composantes par F^., F,, F-, et nous aurons

(5(,' -^.f( F^ Su -h Fy dv H- F. Siv) drj.

Ensuite oi s'écrit immédiatement

(b) o.f — — / (X,«îi\4- Y 2 oe\y 4- Z, oc\ ^ \\o£ryz-^- Z,oj?--x-h XiO^-jcy) ff^ ;

âfi* représente le travail élémentaire des forces exercées à la surface et S.f représente évidemment le travail intérieur des forces élastiques.

20. Si Ton regarde ou, ùv, 8w comme des déplacements virtuels, Téquation (a) représente le principe des vitesses virtuelles étendu au cas du mouvement. Dans le cas de l'équilibre d'élasticité, le premier membre de la formule (a) sera nul et elle se réduira à

ou à

OU encore à

c^ étant donné par la formule (b).

C'est sous cette forme que, dans la suite, nous appliquerons l'équation du principe des vitesses virtuelles. Elle sera très commode dans l'emploi des divers systèmes de coordonnées; elle donnera non seulement les équations qui régissent le déplacement de chaque point du corps, mais encore elle fournira les conditions à la surface, Fj,, F^., F. étant les composantes données de la force appliquée a chaque point de la surface.

On passera du cas de l'équilibre au cas du mouvement en rempla-

çant, dans l'équation (/?), A par A ^> ....

Réduction à 2 1 du nombre des coefficients des expressions

des composantes élastiques,

21. D'après l'expression de o^f, le travail des forces élastiques sur l'élément dxSy estimé par unité de volume, a pour valeur

Selon ce qui a été remarqué par Green, cette expression doit être la différentielle totale d'une fonction P par rapport aux dilatations et aux glissements; car, si cette expression est une telle différentielle totale, en imaginant une suite de déformations qui ramènent le corps à l'état primitif, il ne se produira aucun travail, tandis que, dans le cas contraire, la même suite de déformations engendrerait un travail, qu'on

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES. 3f

obtiendrait en regardant le signe S comme la caractéristique d'une différentiation par rapport au temps t et en intégrant par rapport à /. L'expression (a) étant une différentielle totale, il en résulte

--^ =: i5 équations de condition, ce qui réduit à 21 les 36 coefficients,

ainsi que l'a remarqué Green.

Les quinze équations de condition sont de cette forme

d\^ d\i d\^ t/Yj ddy f/c»^' dgy^ ddj.'

yant de nouvelles notations, nous poserons

Bi — Aj — d, tl A3 — e.

Hj tvi *|, IV| 'î-'v'j — fil,

Lil C/V)3 A j ,

Hj iiî>,- /j, K, iil>s -A„

Li 1H.3 A-2,

'>^'i— /)î "«?M -Li -/)3 —eu

La — ^"^3 — /i«

Forme générale des équations de V élasticité.

22. D'après les réductions que nous venons d'obtenir dans les coefficients des expressions des composantes élastiques données au n^* 18, nous obtenons les formules suivantes :

Xl — r/ i)^ -h d^y + e ^- 4- /, gyz 4- /il gzX + kl g^y, Y2 — d C>^ 4- b:>y -h/ C> . 4- /, gyz 4- /ij gzX 4- ki gjryy

Z3 - - e ;)^ 4- /i\ 4- C ^- 4- Iz gyz 4- ^3 ^=:c "H A3 ^:ry, Y, =: /, cV 4- /j ^y 4- /a ^c -+- (Il g y- 4- fl^i gzx -H ^i é'xy» Zi = hi ^^ 4- //j ^y 4- /«3 ^z + di gy. 4- ^>i é'':u- -H /, ^^y, Xs — A', t^^ 4- k^ }>y 4- X-3 ^- 4- ^1 ^ys 4- /i ^-a: 4- C, ^^y.

Les équations de l'équilibre d'élasticité sont (n"" 4)

d\i dXi dXs .

du: dy dz "

j dYi dY, dY,

dlé, d/j» dïjn

' 4- -~ 4- -p5 4- r>t. — o, dju dy dz

32 CHAIMTRK I.

et, comme les composantes élastiques contiennent au premier degré les dérivées de //, i\ v^\ les équations (a) seront linéaires et du second ordre par rapport à ces quantités.

Représentons par les symboles $, y;, t les signes de dérivation -.->

-T-i ~r\ ainsi ^w/, ^r^v représenteront respectivement -p^> d~~d" ^^^^*^

les équations (a) pourront se mettre sous la forme symbolique suivante

{b) 1 P// t-Ortr t-Lii' -hpH -o,

( M // -\' L i' -\- ^JtNr 4- pC --- o,

4^, OÏL, u-, L, M, P étant des polynômes symboliques homogènes et du second degré par rapport à i, r^ T, et Ton trouvera

.OU : C'i l^ -h ^yj^ -h <7| C^ -H 2 /jY^r f- if', C; -f- 2 / ji/y,

M r=rh,^-\-e,r^^-.^h,^'' -(/.Vt-^/i)o:--(6' -,- ^;,)C,: -+-(/, 4- /,);r,, P --= Xu:^-+- k.rC' -I- ^/,î-4- (e, 4- /^,)-0C -t- (/, -H/|)C; -h (^ -i- c, )£r,.

Considérons ensuite la fonction des six symboles ^*, r^*, ÎI^; ar^^, 2*C^, 2^yi, regardés comme indécomposables,

-4-/^,2;î.;»4-/,•V0^Yl2 4-/32-0^:*4-c,;^ri'4-^?^Ç^ 4- «10*. C* 4-/,2r)^^-4- 6'i2çJ. rr+ ^i2;Yî.;*

+ .^±:ii.(,,ç)'-^ î±^(.?o^-^ ^-'(^|r,)«

4 ^ - 2rÇ.2ï)^ 4- — 2;ri.2r3Ç4- -- — 2ryî.2cC.

Nous obtiendrons les quantités j^, oiv, a\ L, M, P, en prenant les dérivées de respectivement par rapport à ^-, r^-, s^, 3y;J[, 9.!^?, 2$/;; ainsi

les équations (b) prendront cette forme

■d% dS d%

r d% dS dS „

que j'ai déjà donnée dans mon Mémoire Sur la dispersion de la lumière {Journal de LiouviUe, 1866).

23. Faisons une transformation de coordonnées rectangulaires, indiquée par les formules