PRINCIPES GÉNÉRAUX. I
il en résulte, pour l'expression de ce travail,
ou, plus simplement,
Cette expression peut aussi s'écrire
et, d'après ce qui a été remarqué (n** 7), si l'on change la fonction V en l'astreignant toutefois aux conditions aux limites, auxquelles satisfait le potentiel de l'électricité, T sera un minimum quand V représentera ce potentiel.
12. On peut transformer l'équation (a) de la manière suivante
T= rv('^4- J^ + ^^^BT-H rV(?cosX4-rîCos/ji-+-;cosv)</(T,
la dernière intégrale s'étendant à tous les éléments da de la surface du conducteur, et X, [x, v étant les angles de la normale intérieure n avec les axes de coordonnées.
Comme le mouvement est permanent, on a en tout point de l'intérieur du corps
d^ ch di:
dx dy dz
et la première intégrale du second membre est nulle. A la surface libre, on a
^ COSX -h C0S|Jt H- ï COSV z=z o,
de sorte qu'il suffit d'appliquer la seconde intégrale aux surfaces co par lesquelles entrent et sortent les courants, et il reste
ou
ï = / V(ç COSX 4- T^ COS/JL -i- C cosv)éfoj T = / Vi cos(/, n )d(»).
l4 CHAPITRE 1.
Considérons le cas oii le courant entre et sort normalement à la surface du conducteur. Désignons par a>, et co^ les surfaces d'entrée et de sortie; nous aurons cos(i, n) = ±i sur ces deux surfaces, et, en employant les indices i et 2 pour les quantités relatives à ces surfaces, nous aurons
Mais alors la force électromotrice est normale sur les surfaces (Oi et co^, qui sont donc des surfaces de niveau ; par suite, V, et V^ sont constants
respectivement sur (0, et w^; /i,^co, et /«a^coa, qui représentent les
quantités d'électricité qui traversent ces deux surfaces dans l'unité de temps, doivent être égales à une même quantité Q, et Ton a
Echauffement du conducteur,
13. Un corps conducteur étant mis en communication avec une pile constante, il en résultera bientôt dans ce corps un mouvement permanent de l'électricité.
Le travail engendré pendant l'unité de temps dans le conducteur par le mouvement de l'électricité, puisqu'il n'existe aucun travail extérieur, doit être employé entièrement à produire de la chaleur. Or ce travail est représenté par
où l'intégrale s'étend à tout le volume du conducteur. En divisant cette quantité par l'équivalent mécanique de la chaleur, on aura la chaleur produite dans le conducteur pendant l'unité de temps.
On dippelle conducteur linéaire un fil métallique dont deux dimensions sont regardées comme très petites par rapport à la troisième. Ordinairement ces fils sont de section circulaire et leur volume peut être considéré comme engendré par le mouvement d'une sphère dont le centre se meut sur une ligne qu'on appelle Vaxe du fil; mais, en théorie, on peut supposer que la section du fil a une forme quelconque et que sa grandeur varie le long du fil.
Zo/ de Olun.
1. Si le fil, traversé par un courant permanent, se trouve dans un milieu isolant, on peut négliger les composantes de l'intensité du courant, perpendiculaires à l'axe, et ne tenir compte que du courant dirigé suivant l'axe.
Désignons par s la longueur d'un arc, pris sur l'axe du fil à partir d'un point déterminé, et par t sa section. Si le fil est formé d'un seul métal, l'équation qui donne l'intensité du courant est
Kl = 7->
as
OÙ i est l'intensité du courant, V le potentiel électromoteur et R la résistance spécifique du métal.
Mais, si le fil présente des passages d'un métal à un autre et n'a pas la même température dans tous ses points, il en résultera en différentes parties du fil une force électromotrice intérieure W que nous
lO CHAPITRE II.
considérerons comme une fonction de s^ et nous avons alors l'équation
as
On a ensuite, pour le travail accompli par le mouvement de Télectricilé pendant le temps di et sur une longueur ds du fiU
dm désignant une molécule d'électricité située dans Tjélément du fil qui a pour hauteur ds et dl étant la longueur décrite par dm dans di. Or nous avons (Chap. I, n** 3)
di
^di^'^^ ''^^**'
Tflfe étant l'élément de volume. Nous avons donc
Si nous posons
I représente la somme algébrique de la masse électrique qui traverse 'Z pendant Tunité de temps dans le sens où s croit; c'est une quantité qui reste constante d'une section à une autre; I s'appelle Vintensité du courant linéaire.
D'après cela» si nous désignons par T le travail produit pendant l'unité de temps dans le fil compris entre ^ == ^, et ^ = ^^, nous aurons
D'après la seconde expression de d^^ on a aussi, pour la valeur de 1\
ds
/• di.
COURANTS UNÉATRES PERMANENTS. 17
Posons
fn ^' ^ ir,
dV
les intégrales étant prises entre 5 == s^ et s ~ s.^. La quantité — -j- -{-W
est la force électromotrice en chaque point du fil; 7 E est donc la force
électromotrice moyenne le long du fil, et, pour nous conformer à l'usage, nous appellerons E la force électromotrice totale qui agit sur toute la longueur du fil, bien que E ne soit pas homogène avec la quantité précédente. Enfin H est appelé la résistance du fil.
En égalant les deux expressions (b) et (c), on obtient la formule
qui donne la loi de Ohm :
La force électromotrice totale qui agit sur une portion d* un fil traversé par un courant est égale au produit de l'intensité du courant linéaire par la résistance de cette portion de fil.
C'est à tort que Ton a coutume de restreindre la loi de Ohm à un conducteur homogène; car Ohm a démontré dans son Livre le théorème précédent avec toute la généralité que nous lui avons donnée.
2. Si le fil est homogène, W se réduit à zéro sur toute la longueur du fil, l'expression de E se réduit à son premier terme, et par conséquent la force électromotrice totale se réduit à V, — V^, en désignant par V| et Vj la valeur du potentiel aux deux extrémités du fil, et la résistance du fil sera
ds
Si le fil est composé de parties homogènes, mais hétérogènes entre elles de longueurs /, /', T, ..., la quantité W n'aura de valeurs sensibles que dans les environs des contacts de deux métaux où elle aura
une valeur extrêmement grande; ainsi, auprès de ces contacts, W sera
l8 CHAPITRE II.
extrêmement grand en comparaison de Ri, et Ton pourra réduire l'équation (a) à
ds
En intégrant dans une étendue très petite d'un point situé en deçà du contact à un point situé au delà et désignant par V« et V^ le potentiel en ces deux points, on aura
K est la force électromotrice due au contact. En désignant par £K la somme de toutes ces quantités prises sur la longueur du fil et par ¥« et Va la valeur du potentiel aux extrémités de ce fil, nous aurons
V< — Va peut être considéré comme la force électromotrice qui provient de l'extérieur; si les deux extrémités du fil sont jointes aux pôles d'une pile, ce sera la force électromotrice produite par la pile. Si l'on suppose que chaque portion homogène a la même section qui est désignée par t, on aura pour la résistance
le signe S s'étendant à toutes les portions homogènes du fil.
D'après la formule (rf), K représente la différence de potentiel de deux métaux en contact aux environs de ce contact; d'après cela, K doit représenter la tension entre les deux métaux, indiquée par le principe de Volta. C'est ce qu'admettait Ohm; cependant, suivant Thomson, l'expérience donnerait en général pour K une quantité plus petite en valeur absolue que celle-là.
Si certains contacts des métaux sont échauffés à des températures déterminées, les quantités K changeront et dépendront de ces températures.
Loi de Joule et phénomène de Peltier.
