IR , IR

On a ainsi déterminé R, I, i, i\

Ces formules élémentaires ont été données pour la première fois par Ohm.

5. Dans ce qui précède, nous avons considéré des conducteurs linéaires traversés par des courants, en faisant abstraction de la pile qui excite le mouvement de l'électricité. Or Ohm a admis, puis vérifié par l'expérience, qu'une pile hydro-électrique a une résistance constante, c'est-à-dire indépendante de l'intensité du courant. Ainsi, considérons dans un circuit galvanique la pile et deux portions de fil homogène PA et P'B, fixées aux pôles P et P' de la pile, et que nous regardons comme terminées en A et B. Désignons par V| et V2 les potentiels des fils aux points A et B, par Ë la force électromotrice produite par la pile et par r,/^,r" les résistances des fils PA,P'B et de la pile; R = r4-/^-f-r" sera la résistance de l'ensemble, et nous aurons

Si l'on considère un circuit entier formé par la pile et un fil, il faudra faire coïncider les points A et B, et l'on aura

Rl-^E,

R étant la résistance de la pile et du fil conducteur homogène qui joint les deux pôles.

22 CIIAPITKK 11.

Sur la distribution des courants dans un réseau linéaire.

6. On a un système de n fils conducteurs, reliés entre eux par leurs extrémités; dans chacun d'eux peut se trouver le siège d'une force électromotrice, et il s'agit de déterminer les intensités I^I^, ..., l^des courants qui traversent chacun de ces n fils.

Nous allons donner les équations employées par Kirchhoff pour résoudre ce problème.

Étant donnés deux points quelconques G et D pris sur les fils du système, nous admettrons qu'on puisse aller de G à D en suivant les fils. S'il en était autrement, on pourrait diviser le système en deux ou plusieurs qui satisferaient à cette condition et qui seraient indépendants l'un de l'autre.

Rappelons ce théorème de Géométrie élémentaire trouvé par Euler :

Si 9 dans un polyèdre, on désigne parS le nombre des sommets, par F le nombre des faces et par A le nombre des arêtes, on a cette formule

On voit facilement que ce théorème revient à celui-ci : Découpons toute la surface d'une sphère en différents polygones sphériques et désignons par F le nombre des polygones, par S le nombre de leurs sommets distincts et par A le nombre de leurs côtés distincts; alors nous aurons encore l'équation (a).

Gela posé, a, p, y» • •• étant les points de croisement dans le réseau des fils, prenons sur la surface d'une sphère des points correspondants a', (3', y'» • • • et joignons par un arc de grand cercle tout couple de ces points qui correspond à deux points réunis par un fil. Nous pourrons choisir les points a', P', y', . . ., de manière qu'il n'y ait pas d'autres points de rencontre des arcs de grands cercles que a', P', y't ....

Désignons par N le nombre des fils, par G le nombre des points de croisement du réseau et par P le nombre des polygones sphériques renfermés dans la projection du réseau sur la sphère, ces polygones étant supposés extérieurs les uns aux autres. Puis appliquons le théorème précédent. Les sommets correspondent aux points de croisement;

donc S = C. Les côtés sont les images des fils; donc A = N. La surface

de la sphère renferme, outre les P polygones, un polygone extérieur à

la projection du réseau; on a donc F = P-hi. Ainsi Téquation (a)

donne

On peut aussi définir P comme le plus petit nombre de fils qu'il faut supprimer dans le réseau pour qu'il n'y ait plus de circuit fermé.

En effet, considérons les circuits qui se projettent sur les polygones sphériques. Si l'on enlève un fil situé sur le bord extérieur, on supprime un circuit; si l'on enlève un fil intérieur, deux circuits qui se touchent par ce fil se changeront en un seul. Et, si l'on ôte successivement un fil de manière à diminuer à chaque fois d'une unité le nombre des circuits, on voit qu'il faut retirer P fils pour supprimer les P circuits.

On aurait pu considérer P circuits autres que ceux qui ont pour images les polygones tracés sur la sphère.